1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Получившаясяобласть интегрирования приведена на рис. 10.Функция z a−1 e−z является аналитическойобS SS в замкнутойласти D, ограниченной контуром L = γ0 CR γ1 Cε . Беря этот контур интегрирования L, найдем по теореме Коши,52примененной к функции z a−1 e−z , интеграл:ZZa−1 −zz e dz = z a−1 e−z dz+γ0L=+Zza−1 −zedz +Zza−1 −zedz +γ1CRZz a−1 e−z dz = 0.(18)CεРис. 10.
Контур интегрирования LНа отрезке γ0 имеем z = x, dz = dx и интегралI0 =Zza−1 −zedz =ZRxa−1 e−x dx.εγ0На дуге CR получаем z = Reiϕ , dz = iReiϕ dϕ, 0 < ϕ < ϕ0 иинтегралZZiϕa−1 −zaI1 = z e dz = iReiaϕ e−Re dϕ =CR53|z|=R= iRaZϕ0iaϕ −R cos ϕ −iR sin ϕeeedϕ = iRaZϕ0e−R cos ϕ ei(aϕ−R sin ϕ) dϕ.00На дуге Cε переменная z = εe , dz = iεeiϕ dϕ, 0 < ϕ < ϕ0и интегралZZiϕa−1 −zaI3 = z e dz = iεeiaϕ e−εe dϕ =iϕCε|z|=ε= iεaZ0e−ε cos ϕ ei(aϕ−ε sin ϕ) dϕ.ϕ0Оценим интеграл I1 при R → +∞Zϕ0 aR a ϕ0−Rcosϕi(aϕ−Rsinϕ)eedϕ ≤ R cos ϕ0 → 0.|I1 | = iR e0Здесь мы воспользовались тем, что|i| = 1, ei(aϕ−R sin ϕ) = 1, e−R cos ϕ ≤ e−R cos ϕ0 .Последнее неравенство выполняется вследствие того, что косинус убывает при увеличении угла от ϕ = 0 до ϕ = ϕ0 .
Приπэтом cos ϕ0 > 0, так как 0 < ϕ0 < .2Оценим интеграл I3 при ε → +0 Z0 aε a ϕ0−ε cos ϕ i(aϕ−ε sin ϕ)eedϕ ≤ ε cos ϕ0 → 0.|I3 | = iε eϕ0Следовательно, из равенства (18) вытекает, чтоZZa−1 −zz e dz = − z a−1 e−z dz.γ054γ1Учитывая, что интегрирование по отрезку γ1 идет в направлении, противоположном направлению интегрирования по отрезку γ1− , получаем при ε → +0 и R → +∞Zz a−1 e−z dz = Γ(a).γ1−Таким образом, мы нашли, что преобразование Фурье функции fa равно1fba (y) = √.2π(β + iy)aПроизведение преобразований Фурье функций fa и fb равно11fba · fbb =,2π (β + iy)a+bа преобразование Фурье функции fa и fb равноСледовательно,fda+b (y) = √F+ [fa+b ] (y) =√1.2π(β + iy)a+b2πF+ [fa ] (y) · F+ [fb ] (y).Используя свойство преобразования Фурье для быстроубывающих функций F± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g] приn = 1 и формулу обращения, получаем√fa+b = F− [F+ [fa+b ]] = 2πF− [F+ [fa ] · F+ [fb ]] =1 √2π (F− [F+ [fa ]] ∗ F− [F+ [fb ]]) = fa ∗ fb ,=√2πчто и требовалось доказать.552.2.6.
Формула ПуассонаТеорема (формула Пуассона). Если f : R → C — быстроубывающая функция, то√2π+∞Xf (2πn) =n=−∞+∞Xn=−∞fb(n).(19)ПРИМЕР 27.Докажите следующее соотношение, называемое θ-формулойи играющее важную роль в теории эллиптических функцийи теории теплопроводности:+∞X−tn2en=−∞=r+∞π X − π 2 n2e t ,t n=−∞t > 0.Решение. Определимся с тем, что́ взять за функцию f —2π22e−tn или e− t n . В силу формулы обращения это не существенно, от этого выбора будет зависеть только то, насколькогромоздкими будут выкладки.Пусть2f (2πn) = e−tn .Совершив замену x = 2πn от дискретной переменной n, перейдем к непрерывной переменной x. Тогдаx2f (x) = e−t 4π2 .По формуле (15) из примера 18 имеем√2π π2 2bf (y) = √ e− t y .t56Подставив в формулу Пуассона (19) значение преобразования Фурье функции в точке n, получим√2b = √2π e− πt n2 ,f(n)tоткуда√2π+∞Xf (2πn) =n=−∞+∞Xn=−∞что требовалось доказать.fb(n),ПРИМЕР 28.С помощью формулы Пуассона вычислите сумму ряда+∞X1.2 + a2nn=−∞Обратите внимание, что участвующая в вычислениях функция не является быстро убывающей.
Обоснуйте для нее законность применения формулы Пуассона.Решение. В примере 22 мы вычислили преобразованиеФурье функцииf (x) = e−a|x| , a > 0,и показали, что функция2afd(x)(y) = √ 2π a + y2не является быстро убывающей.По формуле обращения имеем√π −a|x|1(x) =e.F− 22a +y2a57Применив формально формулу Пуассона для функции√π −a|x|e,g(x) =2aне являющейся быстро убывающей, получим+∞+∞Xπ X −2πa|n|1e=.2a n=−∞n + a2n=−∞Представим ряд+∞Xe−2πa|n|n=−∞в виде суммы рядов с положительными и отрицательнымииндексами суммирования+∞X−2πa|n|e=n=−∞В сумме−1X−2πa|n|en=−∞−1X++∞Xe−2πa|n| .n=0e−2πa|n|n=−∞сделаем замену n = −k и раскроем модуль, в результате получим+∞−1XX−2πa|n|e−2πak .e=n=−∞k=1Сумма в правой части равенства является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем, равнымq = e−2πa < 1.Найдем сумму ряда по формуле суммы геометрической прогрессии+∞Xe−2πa.e−2πak =−2πa1−ek=158Аналогично найдем сумму для n ≥ 0+∞Xe−2πa|n| =n=01.1 − e−2πaТогда+∞i1π X −2πa|n| π h e−2πae==+a n=−∞a 1 − e−2πa 1 − e−2πaπ e−2πa + 1.a 1 − e−2πaПреобразуем последнюю дробь=π e−2πa + 1π e−2πa + 1 eπaπ eπa + e−πaπ===cth πa.a 1 − e−2πaa 1 − e−2πa eπaa eπa − e−πaaТеперь докажем, что мы имели право использовать формулуПуассона для функции√π −a|x|e,g(x) =2aкоторая не является быстро убывающей.При доказательстве теоремы (формулы Пуассона) использовалось неравенство dfCp (x + 2πn) ≤ dx 1 + |x + 2πn|p ,выполняющееся для быстро убывающей функции, для обоснования равномерной сходимости ряда+∞Xdf(x + 2πn),dxn=−∞59где x ∈ [−π; π].
В свою очередь, равномерная сходимость этого ряда нужна для обоснования почленного интегрированиярядаZπ √+∞X12πf (x + 2πn)e−inx dx.2πn=−∞−πСледовательно, показав, что ряд, составленный из производных,+∞X0f (x + 2πn) =n=−∞+∞ Xn=−∞1(x + 2nπ)2 + a20(20)сходится равномерно, мы убедимся в законности примененияформулы Пуассона.+∞ Xn=−∞1(x + 2nπ)2 + a20=+∞X−2(x + 2nπ).((x + 2nπ)2 + a2 )2n=−∞Оценим рядn=−∞,≤+∞Xn=−∞, n6=0−2(x + 2nπ) ≤((x + 2nπ)2 + a2 )2 n6=0+∞X −2(x + 2nπ) ((x + 2nπ)2 + a2 )2 ≤−1X+∞Xn=−∞,2=|(x + 2nπ)3 |n6=0+∞X22=+≤3|(x + 2nπ) | n=1 |(x + 2nπ)3 |n=−∞−1X+∞X22≤+.33|(x+2nπ)||(x+2nπ)|n=−∞n=160В первой сумме выполним замену n = −k, и приняв во внимание, что x ∈ [−π; π], получим+∞Xk=1≤+∞X22+≤3|(x − 2kπ) | n=1 |(x + 2nπ)|3+∞Xk=1+∞X22+.3(π(2k + 1))(π(2n − 1))3n=1Слагаемое с индексом n = 0 оценим следующим образом: −2x 2|x|2π0≤|f (x)| = ≤.2a4a4(x2 + a2 )Собрав вместе все слагаемые, получим+∞X0n=−∞|f (x + 2πn)| ≤+∞Xn=1+∞Xπ22++ 4.33(π(2n + 1))(π(2n − 1))an=1Мы показали, что каждое слагаемое функционального ряда(20) не превосходит соответствующее слагаемое сходящегосячислового ряда, следовательно, ряд (20) сходится равномернои применение формулы Пуассона законно.ЗАДАЧИНайти преобразование Фурье следующих функций10.
f (x) =11. f (x) =1, если | x |≤ a,0, если | x |> a.sin x, если | x |≤ π,0, если | x |> π.6112. f (x) =13. f (x) =14. f (x) =(15. f (x) =x sin x, если | x |≤ π,0, если | x |> π.cos x, если | x |≤ π,0, если | x |> π.xcos , если | x |≤ π,20, если | x |> π.cos 2x, если | x |≤ π,0, если | x |> π.16. f (x) = x2 e−a|x| , a > 0.17. f (x) = sin x e−a|x| , a > 0.18. f (x) = cos x e−a|x| , a > 0.
19. f (x) = x sin x e−a|x| , a > 0.1d32−a|x|.20. f (x) = x cos x e, a > 0. 21. f (x) = 3dx1 + x2 ix e , если | x |≤ π,22. f (x) =0, если | x |> π. ixxe , если | x |≤ π,23. f (x) =0, если | x |> π.sin xeix , если | x |≤ π,24. f (x) =0, если | x |> π.x sin xeix , если | x |≤ π,25. f (x) =0, если | x |> π.6210. fb(y) =rОтветы2 sin ay.π yrb =i11. f(y)2 sin πy.π y2 − 11 π(1 − y 2) cos πy + 2y sin πy12. fb(y) = √.(1 − y 2 )22πrr2ysinπyb = 2 2y sin 2πy ..14.
f(y)13. fb(y) =2π 1−yπ 1 − 4y 2rrπy22ysin22b(y) = 2a 2 1 − 3y ..16.f15. fb(y) =π 4 − y2π (1 + y 2 )34ay17. fb(y) = −i √.4222π a + a (y + 1) + (y 2 − 1)2r2a2 + y 2 + 1.18. fb(y) = aπ a4 + a2 (y 2 + 1) + (y 2 − 1)24a a4 + (1 − y 2 )(a2 + 1 + 3y 2 )b.19. f (y) = √2π (a4 + a2 (y 2 + 1) + (y 2 − 1)2 )2r 00222a+y+120. fb(y) = −a.π a4 + a2 (y 2 + 1) + (y 2 − 1)2rrπ2 sin πy3−|y|y e .22. fb(y) =.21.
fb(y) = −i2π 1−yr2 π(1 − y) cos πy + sin πy23. fb(y) = i.π(1 − y)2r2 (y − 1) sin πy.24. fb(y) = iπ y(2 − y)25. fb(y)r=2 (3y 2 − 2y + 1) sin πy + πy(y − 1)(y − 2) cos πy=.πy 2(2 − y)2632.3. О некоторых применениях преобразованияФурьеПреобразование Фурье широко применяется для решенияразличных задач математической физики. ПреобразованиеФурье искомой функции часто удовлетворяет значительноболее простому уравнению, чем сама искомая функция. Поэтому для решения краевых задач математической физикипреобразование Фурье применяется по следующей схеме: сначала подвергают преобразованию Фурье уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, и таким путем получаютуравнение для ее образа Фурье; затем, найдя из этого уравнения преобразование Фурье используемой функции, находятс помощью обратного преобразования Фурье саму искомуюфункцию.2.3.1.
Краевые задачиОбщее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных, т. е. обладаетn степенями свободы. Чтобы выделить из общего решениякакое-либо частное, мы пользуемся начальными и граничными условиями. При задании начальных условий искомаяфункция и ее производные задаются при одном значении аргумента. Это особенно естественно, если независимой переменной служит время, т. е. изучается развитие некоторогопроцесса: тогда начальные условия просто служат математической записью начального состояния процесса.
Именнопоэтому применяются наименования начальные условия,начальная задача и в случае, если независимая переменнаяимеет другой физический смысл (задача Коши). Однакобывают задачи с другой постановкой, например, задаются значения функции в двух точках. Так, в простейшейзадаче о поперечных колебаниях струны, закрепленной64на концах, фиксируются положения концов струны, т. е.задаются граничные условия. Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальныхусловий, которые вполне определяют частное решениедифференциального уравнения, а задача о решении дифференциального уравнения при заданных граничных иначальных условиях называется краевой задачей.2.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
