1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 4
Текст из файла (страница 4)
С помощью векторов y [k] составим матрицуY (t) = (y [1] (t), ..., y [N ] (t)).В силу линейной независимости векторов y [k] :det Y (t) 6= 0 при всех t ∈ R1 ,в том числе и при t = 0:det Y (0) 6= 0,где[1][N ]Y (0) = (y0 , ..., y0 ) = Y0- матрица, составленная из N линейно-независимых начальных[k]векторов y0 , k = 1, N . Посколькуd [k]y (t) = Ay [k] (t), k = 1, N ,dtто эти N векторных систем можно объединить в одну матричнуюсистему (см. §1):Y 0 (t) = AY (t)Лекция №3, НГУ, ММФ, 20098и для нее поставить Задачу Коши:(Y 0 (t) = AY (t), t ∈ R1 ,Y (0) = Y0 ,(11)где Y0 - произвольная, невырожденная матрица.Замечание 2.
В принципе Задачу Коши (11) можно рассматривать с любой матрицей Y0 .Сконструированная выше из N линейно-независимыхрешений системы y 0 = Ay матрица Y (t) называется фундаментальной матрицей решений системы y 0 = Ay.Для Задачи Коши (11) имеет место факт однозначной разрешимости (т.е. корректности): какова бы ни была квадратнаяматрица Y0 , det Y0 6= 0, существует матрица Y (t), элементы которой являются непрерывными и непрерывно-дифференцируемыми функциями, определенными для всехt ∈ R1 и такая, чтоY 0 (t) = AY (t), Y (0) = Y0 .Этими условиями матрица Y (t) определяется однозначно.Докажем, теперь, следующую замечательную формулу: на решениях Задачи Коши (11) выполняется следующее соотношение∆(t) = ∆0 exp {T r(A)t} ,(12)где∆(t) = det Y (t), ∆0 = det Y0 ,T r(A) =NXakk - след матрицы A.k=1Кстати, из (12) еще раз получаем, что матрица Y (t), составленная из N линейно-независимых решений системы y 0 = Ay невырождена.
Перейдем к доказательству формулы (12). По правилуЛекция №3, НГУ, ММФ, 20099дифференцирования определителя матрицы получаем:y11 . . . y1N. . . . . . . . . . . . .NX 00 ∆0 (t) =det y...ykN . k1. . . . . . . . . . . . .k=1yN 1 . . . y N NС учетом покомпонентной записи матричной системы Y 0 = AY :0ykl=NXakj yjl , l = 1, Nj=1получаем:y11 . . . y1Ny11 . . . y1N. . . . . . . . . . .
. .. . . . . . . . . . . . .NX 00 yj1 . . . yjN =det y...y=adetkjkN k1. . . . . . . . . . . . . j=1. . . . . . . . . . . . .yN 1 . . . y N NyN 1 . . . y N N= akk det Y (t) = akk ∆(t).Следовательно:∆0 (t) = ∆(t)T r(A), т.е.∆(t) = ∆(0)eT r(A)t = ∆0 eT r(A)t ,что и требовалось доказать.В заключении отметим, что общее решение системы y 0 = Ayопределяется так:y(t) =NXCi y [i] (t) = Y (t)C,(13)i=1C1 .. [k]где C = . , y (t), k = 1, N - линейно-независимые решенияCN0системы y = Ay (столбцы матрицы Y (t)). С помощью формулыЛекция №3, НГУ, ММФ, 200910(13) легко решить Задачу Коши (1). В самом деле при t = 0 получаем:y0 = Y (0)C = Y0 C, т.е.C = Y0−1 y0 .Следовательноy(t) = Y (t)Y0−1 y0- решение Задачи Коши (1).(14)§4.
Фундаментальная матрица решений и матричнаяэкспонента.В предыдущем параграфе мы ввели очень важное понятие фундаментальной матрицы решений для линейной системы y 0 =Ay. Обсудим теперь понятие фундаментальной матрицы решенийдля одного линейного уравнения высокого порядка. Итак, вновьрассмотрим Задачу Коши следующего вида (см. Задачу Коши (6)из §3):(Lx = x(N ) + a1 x(N −1) + ...
+ aN −1 x0 + aN x = 0, t ∈ R1 ,(1)x(0) = α1 , ..., x(N −1) (0) = αN ,где α1 , ..., αN - некоторые постоянные. Мы знаем, что задача Коши(1) эквивалентна Задаче Коши для линейной системы специального вида:(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(2)y(0) = y0 ,гдеx(t) α1y1 (t) 0x (t) .. , y0 = ... y(t) = .,=. ..αNyN (t)(N −1)x(t)01...
00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..A= 00... 01 −aN −aN −1 . . . −a2 −a11Лекция №4, НГУ, ММФ, 20092Найдем N линейно независимых решений системы y 0 = Ay:xk (t)y1k (t) x0 (t)k , k = 1, N .y [k] (t) = ...= ...yN k (t)(N −1)(t)xkТогда фундаментальную матрицу решений для системы y 0 = Ayестественно назвать, также, фундаментальной матрицей решенийдля уравнения Lx = 0. Эта матрица будет иметь такой вид:x1 (t). . . xN (t)....Φ=(3)...(N −1)(N −1)(t)x1(t) . . . xNПонятно, что для матрицы Φ(t) справедлива формула (12) из §3:det Φ(t) = eT r(A)t det Φ(0) = e−a1 t det Φ0 ,(4)поскольку T r(A) = −a1 . Формула (4) называется в литературеформулой Лиувилля, а det Φ(t) - определителем Вронскогоили вронскианом и обозначается обычно через W (t):W (t) = det Φ(t) = e−a1 t W (0) = e−a1 t W0 .Вернемся, теперь, снова к Задаче Коши для линейной системыy = Ay:(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(5)y(0) = y0 ,0и обсудим некоторые свойства фундаментальной матрицы решений Y (t).
Напомним, что решение Задачи Коши (5) задается либоформулойÃ∞!X tky(t) =Ak y0 ,(6)k!k=0либо формулойy(t) = Y (t)Y −1 (0)y0 .(7)Лекция №4, НГУ, ММФ, 20093Пусть Y (t) - фундаментальная матрица решений для системыy = Ay, т.е. матрица Y (t) является решением следующей ЗадачиКоши для матричного уравнения:(Y 0 = AY, t ∈ R1 ,(8)Y (0) = Y0 , det Y0 6= 0.0Поскольку (см. формулу (12) из §3):∆(t) = det Y (t) 6= 0,то существует обратная матрица Y −1 (t).
Так какY −1 (t)Y (t) = IN ,тоилиd −1dY −1dY(Y Y ) =Y + Y −1=0dtdtdtdY −1= −Y −1 A.dtявляется решением Задачи Коши следующегоИтак, матрица Y −1вида:−1 dY= −Y −1 A, t ∈ R1 ,dt −1Y (0) = Y0−1 .(9)Найдем решения Задачи Коши (8) Y [1] (t), Y [2] (t), отвечающие[1][2]начальным данным Y0 , Y0 .
Продифференцируем матрицуD = (Y [1] (t))−1 Y [2] (t) по t :[2]dDd(Y [1] )−1 [2][1] −1 dY=Y + (Y )=0dtdtdt(в силу (8) и (9)). Следовательно[1][2]D(t) = D0 = (Y0 )−1 Y0 ,причем det D0 6= 0. ЗначитY [2] (t) = Y [1] (t)D0 .(10)Лекция №4, НГУ, ММФ, 20094Мы показали, что если известна фундаментальная матрица решений Y [1] (t) для системы y 0 = Ay, то любая другая фундаментальная матрица решений Y [2] (t) для системы y 0 = Ay может быть най[2][1]дена по формуле (10). В частности, если Y0 = IN , то D0 = (Y0 )−1[1]и Y [2] (t) = Y [1] (t)(Y0 )−1 .
Следовательно, из всех фундаментальных матриц решений Y (t) для системы y 0 = Ay мы выделилитакую, которая является решением Задачи Коши (8) с начальнойматрицей Y0 = IN .Как и в случае Задачи Коши (5), мы можем решение ЗадачиКоши записать в виде ряда (мы полагаем Y0 = IN ):Ã∞!∞ kX tkXt kkY (t) =A IN =A .(11)k!k!k=0k=0Сравним ряд (11) с рядом Маклорена для экспоненциальной функции eat (a - некоторая постоянная):ate =∞ kXtk=0k!ak ,мы по аналогии назовем фундаментальную матрицу Y (t) матричной экспонентой и обозначим ее так:∞ kXt ktA defY (t) = e =A .(110 )k!k=0Получим теперь оценку нормы матрицы etA .
В самом деле, поскольку (см. Упражнение 3 к §1)||Ak || ≤ ||A||k , k = 0, 1, 2, ...и (см. Упражнение 1 к этому параграфу)||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||,где A, B - квадратные матрицы порядка N , то:¯¯¯¯¯¯∞ k∞ ¯¯¯¯Xt k ¯¯¯¯ X ¯¯¯¯ tk k ¯¯¯¯¯¯tAA ¯¯ ≤||Y (t)|| = ||e || = ¯¯¯¯ k! A ¯¯ =¯¯k! ¯¯k=0k=0Лекция №4, НГУ, ММФ, 2009=∞X|t|kk=0k!5k||A || ≤∞X|t|kk=0k!||A||k = e|t|·||A|| .(12)Докажем, теперь, важное свойство матричной экспоненты etA - ееперестановочность с матрицей A:tAe::::::A = AetA .(13)Свойство (13) очевидно (в силу формулы (110 )).
Однако приведемдругое доказательство формулы (13). Посколькуd tAdetAtA(e::::::A) =A = AetA A = A(e::::::A)dtdtиddetA(AetA ) = A= AAetA = A(AetA ),dtdttAtAто матрицы e::::::A и Ae удовлетворяют одной и той же матричнойсистеме Y 0 = AY , причемtA(e::::::A)|t=0 = A = (AetA )|t=0 .В силу теоремы единственности решений Задачи Коши для системы y 0 = Ay (см. §2) вышеупомянутые матрицы совпадают.Из формулы (12) (см. §3) следует:det Y (t) = det etA = eT r(A)t 6= 0 при всех t ∈ R1 ,т.е. матрица etA - невырожденная и поэтому существует обратнаяматрица (etA )−1 .
Эта матрица является решением Задачи Коши(9): d (etA )−1 = −(etA )−1 A, t ∈ R1 ,dt¯(90 )¡¢−1¯ etA ¯ = IN−1 = IN .t=0В то же время из (13) следует:A(etA )−1 = (etA )−1 A.(130 )Лекция №4, НГУ, ММФ, 20096Следовательно, с учетом перестановочности матриц (etA )−1 и A(см. (130 )), Задача Коши перепишется так: d (etA )−1 = −A(etA )−1 , t ∈ R1 ,dt¯(900 )¡¢−1 etA ¯¯ = IN ,t=0т.е. (см.
(110 )):∞ k∞kX¡ tA ¢−1 Xtkkte(−A) =(−1) Ak = e−tA .=k!k!k=0k=0Итак, мы доказали замечательную формулу:(etA )−1 = e−tA .(14)Пример 1. Матрицаµ 2t t ¶e eY (t) = 2t, det Y (t) = −e3t 6= 0e 0являетсяÃфундаментальнойматрицей решений для системы y 0 =!µ¶y11 1,A=. Матрица Y (t) удовлетворяет матричAy, y =0 2y2µ¶−2t0eной системе Y 0 = AY . Обратная матрица Y −1 (t) =e−t −e−tудовлетворяет системе (Y −1 )0 = −Y −1 A. Матрица etA получаетсяиз Y (t) умножением справа на матрицу D0 = Y −1 (0) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
