1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Можно поставить вопрос о нахождении так называемого приближенного решения Задачи Коши (1). Первыйспособ заключается в том, что вместо ряда (7) мы берем его частичную сумму Sn (t):Sn (t) =nXtkk=0k!Ak y0 .(10)Ясно, что чем больше n, тем точнее мы находим решение ЗадачиКоши (1).Другой способ (чрезвычайно широко используемый на практике) заключается в следующем. Рассмотрим Задачу Коши (6) из§1:(y 0 = ay, t ∈ R1 ,(З.К.)(11)y(0) = b,где a, b - некоторые вещественные числа. Точное решение этой задачи задается формулой (7) из §1y(t) = beat .(12)Лекция №2, НГУ, ММФ, 20098Зададим некоторое число h > 0 и вместо функции y(t) будем искать таблицу ее значений (для определенности будем считать,что t ≥ 0)y(0), y(h), ..., y(kh), ...

.Заменим производную y 0 (t) разностным отношениемy(t + h) − y(h).hПосле такой замены мы вместо Задачи Коши (11) получим задачунахождения решения разностного уравнения(y(t + h) = (1 + ah)y(t),(Р.З.К.)(110 )y(0) = b.Последовательно полагая в (110 ) t = 0, h, 2h, ..., мы получим:y(h) = (1 + ah)b,y(2h) = (1 + ah)2 b,................y(kh) = (1 + ah)k b,Выбрав h =T, получим:ky(T ) = (1 +aT k) bkвместо точного решенияy(T ) = eaT b.Однако, понятно, что при достаточно большом k величина (1 +aT k) мало отличается от eaT . Тем самым показано, что приблиkженное решение, полученное с помощью Разностной ЗадачиКоши (110 ) и зависящее от шага h, при измельчении шага h сходится к точному решению Задачи Коши (11).

Полагая yk = y(kh),Лекция №2, НГУ, ММФ, 2009перепишем (110 ) так:((Р.З.К.)9yk+1 = (1 + ah)yk , k = 0, 1, 2, ...,y0 = b.(1100 )Решение (1100 ) записывается так:yk = (1 + ah)k b.В векторном случае решение Разностной Задачи Коши записывается аналогичноyk = {IN + hA}k y0 ,где IN - единичная матрица порядка N.

∗Заканчивая этот параграф, рассмотрим Задачу Коши для системы (8) из §1:(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(13)y(0) = y0 ,гдеà !à !Ã!y1y100 −1y=, y0 =,A =.y2y201 0Будем искать решение этой задачи с помощью формулы (7). С этойцелью вначале найдем Ak , k = 0, 1, ... : A0 = I2 , A1 = A, A2 =−I2 , и т.д., т.е.I2 , если k = 2m, m − четное или 0, − I , если k = 2m, m − нечетное,2(14)Ak =A, если k = 2m + 1, m − четное или 0,− A, если k = 2m + 1, m − нечетное.Тогдаy = y(t) =∞ kXtk=0tt2t3A y0 = {I2 + A − I2 − A + ...}y0 =k!1!2!3!kЛекция №2, НГУ, ММФ, 200910∞2m2m+1Xtt(−1)m−(−1)m(2m)!(2m+1)! m=0m=0 y0 ==∞∞X2m+12m Xtt(−1)m(−1)m(2m + 1)!(2m)!m=0m=0Ã!Ã!cos t − sin ty10 cos t − y20 sin t=y0 ==sin tcos ty10 sin t + y20 cos tÃ!Ã!cos t− sin t=y10 +y20 .sin tcos t∞XЗаметим, что вектораy [1] =Ã!Ã!cos t− sin t, y [2] =sin tcos tудовлетворяют векторной системе y 0 = Ay.Лекция №2, НГУ, ММФ, 200911Упражнения к §21.

НайтирешениеЗадачи Коши для векторной системы y 0 = Ay,y12 2 0 где y =  y1  , A = 0 2 2 , с помощью формулы (7).0 0 2y3Указание. Решение задачи надо начинать с получения формул, представляющих коэффициенты матриц Ak , k = 0, 1, 2, ....2. Доказать равномерную сходимость рядов∞X tkttk kа) y0 + Ay0 + ... + A y0 + ...(=Ak y0 ).1!k!k!k=1∞X tktk−1kб) 0 + Ay0 + ... +A y0 + ...(=Ak+1 y0 ).(k − 1)!k!k=0где y0 - постоянный вектор (y0 ∈ RN или CN ), A - квадратнаяматрица порядка N с постоянными коэффициентами, t ∈ [−T, T ],где T > 0 - любое число.Указание. При решении этой задачи надо воспользоваться некоторыми сведениями из математического анализа.I.

Последовательность функций S0 (t), S1 (t), ..., Sn (t), ... равномерно сходится на множестве значений t к функцииS(t) = lim Sn (t),n→∞если для ∀ ε > 0 ∃ такой номер K = K(ε) > 0, что при ∀ n > K ипри ∀ t из множества значений выполняется неравенство:|Sn (t) − S(t)| ≤ ε.II. Предел S(t) равномерно сходящейся на множестве значений t последовательности функций S0 (t), S1 (t), ..., Sn (t), ...,непрерывных на этом множестве, есть функция, непрерывная наэтом же множестве.Лекция №2, НГУ, ММФ, 2009III. Пусть имеется ряд12∞Xak (t) и Sn (t) =k=0nXak (t) - частичныеk=0суммы ряда. Ряд равномерно сходится к функции S(t) на множестве значений t, если на этом множестве к функции S(t) равномерно сходится последовательность его частичных сумм Sn (t).IV.

Критерий Коши равномерной сходимости рядов: для∀ ε > 0 ∃ такой номер K = K(ε, T ), не зависящий от t, что кактолько m, n > K для всех t ∈ [−T, T ] следует: |Sn (t) − Sm (t)| ≤ ε.При формулировке Критерия Коши мы для определенности вкачестве множества значений t взяли отрезок [−T, T ].V. Дифференцирование рядов функций: пусть ряд∞Xak (t)k=0сходится, по крайней мере, в одной точке t0 ∈ (a, b). Тогда, еслипроизводные a0k (t), k = 0, 1, ... существуют на (a, b) и ряд∞Xa0k (t)k=0равномерно сходится на интервале (a, b), то ряд∞Xak (t)k=0сходится на (a, b) и(∞)∞XXdak (t) =a0k (t), t ∈ (a, b)dtk=0(теорема верна и для [a, b]).k=0∗§3.

Фундаментальная система решений и определительеё матрицы.В §2 мы установили, что Задача Коши(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,y(0) = y0 , y0 ∈ RN (или CN )(1)имеет единственное непрерывное и непрерывно-дифференцируемое решение y = y(t), которое определяется так:!Ã∞∞ kkXXt kt k(2)y = y(t) =A y0 =A y0 .k!k!k=0k=0Поскольку решение Задачи Коши (1) однозначно определяетсяначальным вектором y0 , то, следовательно, мы имеем однозначное соответствие между векторами y(t), t ∈ R1 и y0 .В §2 мы уже пользовались тем фактом, что алгебраическая сумма двух решений системы y 0 = Ay снова является ее решением.В самом деле, пусть y = y I (t), y = y II (t) два решения системыy 0 = Ay, отвечающие следующим начальным данным:y I (0) = y0I , y II (0) = y0II .Тогда :© Iª0αy (t) + βy II (t) = αAy I (t) + βAy II (t) =©ª= A αy I (t) + βy II (t) ,т.е.

вектор-функция z = z(t) = αy I (t) + βy II (t), где α, β ∈ R1 (илиC1 ) - некоторые постоянные, есть снова решение системы y 0 = Ayс начальными данными z(0) = z0 = αy0I + βy0II . Таким образом,1Лекция №3, НГУ, ММФ, 20092все решения системы y 0 = Ay образуют линейное пространство L. Легко видеть, что в силу теоремы единственности (см.§2) размерность пространства L равна N (т.е. размерности пространства RN (или CN ) - пространства начальных векторов y0 ).В самом деле, возможные значения начальных векторов y0 образуют N -мерное векторное пространство (RN или CN ). Это означает, что:[k]1. Существуют такие N векторов y0 , k = 1, N не равных нулюи таких, что из равенстваNX[k]α k y0 = 0k=1следует равенство нулю всех скаляров αk , k = 1, N .[k]2. Какие бы N + 1 векторов y0 , k = 1, N + 1 из пространства возможных значений y0 мы не выбрали, они всегда окажутсялинейно-зависимыми, т.е.

всегда существуют не все равные нулю скаляры βk , k = 1, N + 1, такие, что:N+1X[k]βk y0 = 0.k=1Отсюда нетрудно заключить, что и решения системы y 0 = Ay образуют линейное пространство размерности N . В самом деле, усистемы y 0 = Ay существует N линейно-независимых решенийy = y [k] (t), k = 1, N , отвечающие N линейно-независимым на[k]чальным векторам y0 , k = 1, N . Допустим противное: существуют такие не все равные нулю постоянные αk , k = 1, N , что хотябы в одной точке t = t∗ , t∗ ∈ R1 :NXk=1αk y [k] (t∗ ) = 0.Лекция №3, НГУ, ММФ, 20093Но тогда для вектор-функцииz = z(t) =NXαk y [k] (t)k=1являющейся решением Задачи Коши(z 0 = Az, t ∈ R1 ,z(t∗ ) = 0выполняется условие z(t) ≡ 0, т.е. в том числе и при t = 0:z(0) =NX[k]αk y0 = 0.k=1Следовательно, мы пришли к противоречию.С другой стороны, какие бы N + 1 решений системы y 0 = Ayмы не взяли, можно утверждать, что существуют скаляры βk , k =1, N + 1 не все равные нулю и такие, чтоN+1X[k]βk y0 = 0.k=1Тогда, в силу теоремы единственности (см.

§2) вектор-функцияz(t) =N+1Xβk y [k] (t) ≡ 0,k=1т.е. при всех t ∈ R1 :N+1Xβk y [k] (t) = 0.k=1Итак, все решения системы y 0 = Ay образуют N -мерноелинейное пространство.В качестве важного примера рассмотрим уравнение (2) из §1:Lx = x(N ) + a1 x(N −1) + ... + aN −1 x0 + aN x = 0.(3)Лекция №3, НГУ, ММФ, 20094Введем следующие вспомогательные функции:0(N −1)y1 = x(t), y2 = y10 = x0 (t), ..., yN = yN(t).−1 = x(4)Тогда, в силу (3), (4), можно выписать следующую линейную систему с постоянными коэффициентами:y10 = y2 ,0 y2 = y3 ,.........(5)0yN −1 = yN , y 0 = −a y − a y1 N2 N −1 − ... − aN −1 y2 − aN y1 .NИтак, для любого решения x = x(t) уравнения (3) можно построить N -мерный вектор y:x y1 0x ..  ,y = y(t) =  .

 =  ...yNx(N −1)удовлетворяющий системе (5). Обратно, если известно какое-либорешение системы (5): y1 y = y(t) =  ...  ,yNто, обозначая первую компоненту вектора y через x (y1 = x), мыиз первых N − 1 уравнений системы (5) последовательно найдем:y2 = x0 (t), ..., yN = x(N −1) (t).Последнее же уравнение системы (5) тогда перепишется так:x(N ) + a1 x(N −1) + ...

+ aN x = 0,Лекция №3, НГУ, ММФ, 20095т.е. функция y1 = x(t) удовлетворяет уравнению (3). Систему (5)запишем в векторном видеy 0 = Ay,где010... 00 001... 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..A= 000...10 000... 01 −aN −aN −1 −aN −2 . . . −a2 −a1Задача Коши для уравнения (3) ставится так (см.

§1, Определение 3):(Lx = 0, t ∈ R1 ,(6)x(0) = x1 , ..., x(N −1) (0) = xN ,где xk , k = 1, N - некоторые постоянные.Замечание 1. Как и в случае Задачи Коши (1) из §2 мы полагаем, не нарушая общности, что начальные условия в (6) поставленыпри t = 0.Понятно, что задача Коши (6) эквивалентна Задаче Коши длясистемы (5):(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(7)y(0) = y0 .Здесьx1 x2y0 =  ....xNСледовательно, из однозначной разрешимости (корректности) Задачи Коши (7) (см. §2) следует корректность Задачи Коши(6), а именно: каковы бы ни были постоянные xk , k = 1, N ,Лекция №3, НГУ, ММФ, 20096существует и при том единственное решение x = x(t) Задачи Коши (6).

В случае, если xk = 0, k = 1, N , то такимрешением является x(t) ≡ 0. Очевидно, что решение задачи Коши (6) образует линейное пространство размерности N .Примеры.1. В качестве первого примера опять возьмем систему (8) из §1:y 0 = Ay,гдеÃy=!y1, A=y2(8)¶µ0 −1.1 0В конце §2 мы выяснили, что вектораÃ!Ã!cost−sint, y [2] =y [1] =sin tcos tудовлетворяют системе (8). Понятно, что y [1] , y [2] - линейно-независимыерешения системы (8), поскольку при t = 0 вектораà !à !10[1][2]y [1] (0) = y0 =, y [2] (0) = y0 =01линейно-независимы. Итак, можно принять вектора y [1] , y [2] за базис в пространстве решений системы (8) (размерность этого пространства равно 2).

Решение же Задачи Коши для этой системы спроизвольными начальными условиямиà !y10y(0) = y0 =y20представимо так (см. §2):y(t) = y10 y [1] (t) + y20 y [2] (t).2. В качестве второго примера рассмотрим линейное уравнениеx000 − 4x00 + x0 + 6x = 0.(9)Лекция №3, НГУ, ММФ, 20097Покажем, что формулаx(t) = C1 e−t + C2 e2t + C3 e3t(10)является формулой общего решения для уравнения (9) (см. Определение 2 из §1), причем с помощью (10) может быть решена Задача Коши для уравнения (9) с произвольными начальными условиями xk , k = 1, 2, 3. В самом деле, для нахождения произвольныхпостоянных C1 , C2 , C3 мы имеем систему: C1 + C2 + C3 = x1 (= x(0)),− C1 + 2C2 + 3C3 = x2 (= x0 (0)),C1 + 4C2 + 9C3 = x3 (= x00 (0)).Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому постоянныеC1 , C2 , C3 можно выразить через начальные данные x1 , x2 , x3 .Теперь снова вернемся к Задаче Коши (1). Пусть y [k] (t), k =1, N система из N линейно-независимых решений системы y 0 =Ay.

Характеристики

Список файлов лекций