1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найдите такие вектора y, на которых достигаются равенства влевом и правом неравенствах Куранта (13).2. Докажите неравенство||Ay|| ≤ ||A|| · ||y||.Здесь A - квадратная матрица порядка N , y ∈ CN (или RN ).3. Докажите неравенство||Am || ≤ ||A||m ,где m > 0 - целое число.4. Докажите, что||A|| = 0 ⇔ A = ON .Здесь ON - нулевая матрица порядка N .§2. Разрешимость Задачи Коши для однородныхлинейных систем с постоянными коэффициентамиПо аналогии с Задачей Коши для уравнения (1) из §1 будемпонимать под Задачей Коши для векторной системыy 0 = Ayзадачу определения неизвестной (искомой) вектор-функции y =y(t)(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(З.К.)(1)y(t0 ) = y0 , t0 ∈ R1 ,где y0 ∈ RN (или CN ) - некоторый заданный вектор.

Заметим,что в задаче (1) начальные условия задаются при некоторомзначении t = t0 независимой переменной t. С другой стороны, ненарушая общности, можно считать, что в (1): t0 = 0. В самомделе, сделаем в Задаче Коши (1) замену независимой переменнойt и зависимой векторной переменной y по правилу:τ = t − t0 , z(τ ) = y(τ + t0 ).Тогда задача (1) в новых переменных перепишется так: d z(τ ) = Az(τ ), τ ∈ R1 ,(З.К.)dτz(0) = y0 .(10 )Возвращаясь в (10 ) к старым обозначениям, мы вновь получимзадачу (1) с t0 = 0.В дальнейшем, при изучении Задачи Коши для различных дифференциальных уравнений и систем уравнений мы будем придерживаться классического определения корректности Задачи Коши (на примере Задачи Коши (1)).1Лекция №2, НГУ, ММФ, 20092Определение 1. Задача Коши (1) называется корректной, если:а) Ее решение существует при любых y0 ∈ RN (или CN ).б) Ее решение единственно для заданного вектора y0 .в) Ее решение непрерывно зависит от вектора начальных условий y0 .Итак, следуя Определению 1 приступим теперь к изучениюкорректности Задачи Коши (1).

Весь процесс изучения разобьем на несколько этапов.1 этап. Пусть Задача Коши (1) имеет непрерывное и непрерывнодифференцируемое решение y = y(t) на интервале (−T, T ),где T > 0 - некоторая постоянная (это значит, что каждая компонента yj (t), j = 1, N вектор-функция y = y(t) - непрерывная и непрерывно-дифференцируемая функция). Тогда на решении y = y(t) имеем:dd(y, y) = ||y(t)||2 = (y 0 , y) + (y, y 0 ) =dtdt= (Ay, y) + (y, Ay) = ([A + A∗ ]y, y) = (By, y) ≤ M+ ||y(t)||2 .Здесь M+ = λmax (B) = λmax (A + A∗ ) (заключительное неравенство в этой выкладке получено с помощью правого неравенстваКуранта (13) из §1). Пусть для определенности 0 ≤ t < T .

Тогда,переписав, вначале, полученное неравенство такd||y(t)||2 − M+ ||y(t)||2 ≤ 0dtи умножив последнее неравенство на e−M+ t , в итоге получаем:d −M+ t{e||y(t)||2 } ≤ 0,dtт.е.||y(t)||2 ≤ eM+ t ||y(0)||2 ≤ e|M+ |t ||y0 ||2 ≤≤ e|M+ |T ||y0 ||2 , 0 ≤ t < T.(2)Лекция №2, НГУ, ММФ, 20093Пусть, теперь, −T < t ≤ 0. Тогда, сделав в (1) замену независимойвекторной переменнойτ = −tи зависимой векторной переменнойz(τ ) = y(−τ ),мы перепишем Задачу Коши (1) так: d z(τ ) = −Az(τ ), 0 < τ < T,(З.К.)dτz(0) = y0 .(100 )Повторяя рассуждения, которые привели нас к оценке (2), мы получим для (100 ):||z(τ )||2 = ||y(t)||2 ≤ eM− τ ||z(0)||2 ≤≤ e|M− |τ ||y0 ||2 = e−|M− |t ||y0 ||2 ≤≤ e|M− |T ||y0 ||2 , −T < t ≤ 0.(3)Здесь M− = λmax (−B) = −λmin (B).Объединяя (2), (3), мы в итоге получим так называемую априорную оценку, которой удовлетворяет любое непрерывное и непрерывно-дифференцируемое решение Задачи Коши (1) на интервале(−T, T ):||y(t)||2 ≤ eM |t| ||y0 ||2 ≤ eM T ||y0 ||2 ,(4)где M = max(|M+ |, |M− |).Теперь мы готовы доказать, что решение Задачи Коши (1) единственно (см.

пункт (б) в определении 1).Теорема единственности. Если у Задачи Коши (1) существует непрерывное и непрерывно-дифференцируемое решение y =y(t), t ∈ R1 , то оно однозначно определяется по значению вектора y(t) при t = 0 (т.е. по начальным условиям).Доказательство. Предположим противное: существуют два решения y = y I (t), y = y II (t) Задачи Коши (1), принимающие приЛекция №2, НГУ, ММФ, 20094t = 0 одни и те же начальные условия, т.е. y I (0) = y II (0) = y0 .Тогда для разности y(t) = y I (t) − y II (t) получаем следующую однородную (т.е. с нулевыми начальными условиями) Задачу Коши:(y 0 = Ay, t ∈ R1 ,(З.К.)(5)y(0) = 0.Следовательно для вектор-функции y = y(t) (как для решенияЗадачи Коши (5)) справедлива априорная оценка (4), которая сучетом того, что y(0) = 0 перепишется так:||y(t)||2 ≤ 0 при t ∈ (−T, T ) для любого T > 0.Поэтому, y(t) ≡ 0 при всех t ∈ (−T, T ), т.е.

y I (t) ≡ y II (t) для всехt ∈ R1 .2 этап. Приступим теперь ко второму этапу в изучении корректности Задачи Коши (1). Предположим, что на отрезке [−T, T ],где T > 0 - некоторая постоянная, существует непрерывное инепрерывно-дифференцируемое решение Задачи Коши (1). Из покомпонентной записи векторной системы y 0 = Ay (см. (90 ) из §1):yi0=NXaij yj , i = 1, Nj=1видно, что функции yi0 - непрерывные и непрерывно-дифференцируемыена отрезке [−T, T ]. Следовательно, мы можем продифференцировать исходную систему:(y 0 )0 = y 00 = Ay 0 = AAy = A2 y.При t = 0 имеем:y 00 (0) = A2 y0 ,поскольку y(0) = y0 (см. (1)).Повторяя эти рассуждения, мы в итоге придем к следующему выводу: если на отрезке [−T, T ] существует непрерывное инепрерывно-дифференцируемое решение Задачи Коши (1), то наЛекция №2, НГУ, ММФ, 20095самом деле это решение будет бесконечно дифференцируемо, а любая производная от решения y = y(t) задается с помощью следующей формулы:y (k) (t) = Ak y(t), k = 0, 1, 2, ...,причемy (k) (0) = Ak y0 .Как следует из математического анализа, вектор-функция y =y(t) в этом случае представляется в виде ряда Маклорена:∞X tkttky(t) = y0 + Ay0 + ...

+ Ak y0 + ... =Ak y01!k!k!(6)k=0и ряд (6)равномерно сходится на отрезке [−T, T ], T > 0. Последнеесправедливо, поскольку¯¯ k¯¯¯¯ t k ¯¯ |t|k(|t| · ||A||)k(T ||A||)kk¯¯ A y0 ¯¯ ≤||y0 ||·||A|| =||y0 || ≤||y0 || → 0¯¯ k!¯¯k!k!k!при k → ∞ для любого значения постоянной T > 0 и любоговектора начальных условий y0 .Замечание 1. На самом деле, при обосновании формулы (6)требуется доказать, что при k → ∞ стремится к нулю остаточный член формулы Тейлора. ∗3 этап.

Очень кратко теперь обсудим вопрос о доказательствесуществования решения Задачи Коши (1). Из 2 этапа следует,что если решение Задачи Коши (1) существует на отрезке [−T, T ],то оно представимо в виде ряда (6). Поэтому, вначале, давайтесконструируем так называемое формальное решение ЗадачиКоши (1), естественно, принимая во внимание результаты 2 этапа:∞ kXt ky(t) =A y0 .(7)k!k=0Лекция №2, НГУ, ММФ, 20096Подставляя ряд (7) в (1), убеждаемся, что (7) формально удовлетворяет Задаче Коши (1):0y (t) =∞Xk=1∞X tk−1tk−1kA y0 = A{Ak−1 y0 } = Ay(t),(k − 1)!(k − 1)!k=1y(0) = A0 y0 = y0 .Однако, чтобы превратить (7) в неформальное решение ЗадачиКоши (1) (непрерывное и непрерывно-дифференцируемое), надопоказать, что ряд (7) равномерно сходится при любых T > 0(t ∈ [−T, T ]) и y0 ∈ RN (или CN ) (см.

упражнение 2 к этому параграфу). Точно так же, продифференцировав формальноряд (7) можно далее показать, что и он равномерно сходится прилюбых T и y0 (см. упражнение 2). По известной теореме из математического анализа о дифференцировании рядов функцийотсюда вытекает, что вектор-функцияy = y(t) =∞ kXtk=1k!Ak y0непрерывно дифференцируема, причемy 0 (t) = Ay(t), t ∈ R1 .Итак, интересующее нас Решение Задачи Коши (1) в самом делезадается формулой (7). В силу Теоремы единственности (см.

1этап) оно определяется однозначно.4 этап. Докажем, теперь, непрерывную зависимость решения Задачи Коши (1) от начальных данных y0 ∈ RN (илиCN ). В самом деле, пусть y = y I (t), y = y II (t) - решения ЗадачиКоши (1), отвечающие начальным условиям y I (0) = y0I , y II (0) =y0II . Если ∆ = ∆(t) = y I (t) − y II (t), ∆0 = ∆(0) = y0I − y0II , товектор-функция ∆ = ∆(t) является решением Задачи Коши:(∆0 = A∆, t ∈ R1 ,(З.К.)(8)∆(0) = ∆0 .Лекция №2, НГУ, ММФ, 20097Рассматривая решение Задачи Коши (8) на любом интервале(−T, T ), T > 0, мы для вектор-функции ∆ = ∆(t) имеем априорную оценку (4):||∆(t)||2 ≤ eM |t| ||∆0 ||2 ≤ eM T ||∆0 ||2 .(9)Очевидно, что оценка (9) и доказывает факт непрерывной зависимости решения Задачи Коши (1) от начальных данных на любоминтервале (−T, T ). В самом деле, из оценки (9) следует, что длялюбого числа ε > 0 существует такое число δ = δ(ε, T ) > 0, чтокак только||∆0 || ≤ δ,то||∆(t)|| ≤ ε на (−T, T ),εпричем δ = M T /2 , что и требовалось доказать.eЗамечание 2.

Характеристики

Список файлов лекций