1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744)
Текст из файла
Лекция_12Лекция_213Лекция_325Лекция_435Лекция_543Лекция_652Лекция_758Лекция_867Лекция_978Лекция_1087Лекция_1198Лекция_12104Лекция_13109Лекция_14120Лекция_15132Лекция_16144Лекция_17151Лекция_18158Лекция_19164Лекция_20167Лекция_21172§1. Предварительные сведенияИзвестно, что при математическом моделировании физических процессов в науке и технике возникают самые различныеобыкновенные дифференциальные уравнения.Теория дифференциальных уравнений - это раздел математики, который изучает математические модели различных физических (а, также, биологических, химических,геологических и т.д.) явлений.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений это часть более общей математической дисциплины: теории дифференциальных уравнений.Для того, чтобы определиться с объектами, которые изучаютсяв нашем курсе, дадим следующее определение.Определение 1I.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-гопорядка называется соотношение видаF (t, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0(1)между независимой переменной t ∈ R1 , её функцией y(t),производными от этой функции (до порядка n включительно).II. Решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) на (a, b) ((a, b) - интервал, принадлежащий R1 ) называется функция y = ϕ(t), определенная на интервале (a, b)вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и, такая, что подстановка функции y = ϕ(t) в (1)превращает последнее в тождество по t на интервале (a, b).Простейшими примерами обыкновенных дифференциальных1Лекция №1, НГУ, ММФ, 20092уравнений (а, именно с этих примеров мы начнем изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений в нашем курсе)являются так называемые линейные уравнения с постоянными коэффициентами, т.е. когда в (1) функция F линейна поотношению к y, y 0 , ..., y (n) :Ly = y (n) + a1 y (n−1) + ... + an−1 y 0 + an y = 0,(2)причем коэффициенты a1 , ..., an - некоторые постоянные (вещественные или комплексные).
Кроме этого, мы обозначили в (2)через L дифференциальный операторdndn−1dL = n + a1 n−1 + ... + an−1 + an ,(3)dtdtdtдействующий на функцию y = y(t).Итак (2) - это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Если вместо (2) мы рассматриваем уравнение справой частьюLy = f (t),(4)где f = f (t) - известная функция от t, то уравнение (4) - линейноенеоднородное.Пример 1. Найти такие кривые на плоскости (t, y), чтобы тангенс угла наклона касательной (по отношению к оси абсцисс) в любой точке этих кривых равнялся бы ординате y этой точки, умноженной на некоторое вещественное число a (см. Рис.
1). Посколькуtgα = y 0 , то функция y = y(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядкаy 0 = ay.Это уравнение можно переписать так(e−at y)0 = 0,т.е.e−at y(t) = C,Лекция №1, НГУ, ММФ, 20093yy=y(t)y0t0t0Рис. 1:где C - произвольная вещественная постоянная. Следовательно,уравнение кривых с нужным для нас свойством записывается втаком виде:y = y(t) = Ceat .(5)Определение 2. Решение дифференциального уравненияn-го порядка (1), зависящее от n произвольных постоянныхCi , i = 1, n:y = ϕ(t, C1 , ..., Cn )называется общим решением этого уравнения.Следовательно в случае примера 1 формула (5) задает общеерешение уравнения y 0 = ay.Определение 3.
Задачей Коши для (1) называется задача о нахождении на интервале (a, b), так называемого частного решения y = ϕ(t) уравнения (1), удовлетворяющего nначальным условиям при t = t0 , t0 ∈ (a, b):ϕ(t0 ) = ϕ0 , ϕ0 (t0 ) = ϕ1 , ..., ϕ(n−1) (t0 ) = ϕn−1 ,Лекция №1, НГУ, ММФ, 20094где ϕ0 , ϕ1 , ..., ϕn−1 - некоторые заданные постоянные.Для уравнения y 0 = ay Задача Коши формулируется так(y 0 = ay, t ∈ (a, b),(З.К.)y(t0 ) = y0 , t0 ∈ (a, b),(6)где y0 - некоторая заданная постоянная.
Легко видеть, что имеяна руках формулу общего решения (5) уравнения y 0 = ay, можнорешить Задачу Коши (6). В самом деле, полагая в (5) t = t0 , мыполучаем, чтоC = y0 e−at0 ,т.е. искомое решение Задачи Коши (6) имеет следующий вид:y = y0 ea(t−t0 ) .(7)Геометрический смысл решения Задачи Коши (6) ясен: из всехкривых, описываемых формулой (5) надо выбрать такую, котораяпроходит через заданную точку (t0 , y0 ) (см.
формулу (7) и Рис.1). Заметим, что решение Задачи Коши (6) определено при всехt ∈ R1 , а также для любых t0 ∈ R1 , y0 ∈ R1 .Наряду с одним уравнением порядка n мы будем в нашем курсерассматривать и системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем приводить здесь строгого определения таких систем, а ограничимся рассмотрением несколькихважных примеров систем дифференциальных уравнений.Пример 2.
Рассмотрим систему следующего вида:(y10 = −y2 ,(8)y20 = y1 .Здесь y1,2 = y1,2 (t) - неизвестные функции. Обозначим через y(t)вектор-функцию с компонентами y1,2 (t):!Ãy1 (t).y(t) =y2 (t)Лекция №1, НГУ, ММФ, 20095В таком случае (8) удобно переписать в так называемом векторном виде:Ã !0Ã ! Ã!Ã ! Ã!0y1y10 −1y10 −1dy=y0 ====y0dty2y21 0y21 0илиy 0 = Ay,Ã!0 −1где A =- квадратная матрица порядка 2.1 0В общем случае систему линейных уравнений с постояннымикоэффициентами для N неизвестных функций y1 (t), ..., yN (t) запишем в таком же векторном виде:y0 =гдеdy= Ay,dt(9)y1a11 . . . a1N y = ... , A = (aij ) = . .
. . . . . . . . . . . , i, j = 1, N ,aN 1 . . . aN NyNaij - элементы матрицы A, вещественные (или комплексные) числа. Покомпонентная запись системы (9) состоит, естественно, изN уравнений следующего вида:Ndyi X=aij yj , i = 1, N .dtj=1(90 )Понятно, что (90 ) - однородная система, система жеdy= Ay + f (t),dt(10)f1 (t)где f (t) = ... - заданная вектор-функция, неоднородная.fN (t)Лекция №1, НГУ, ММФ, 20096Наконец, наряду с (9), (10) будем рассматривать так называемые матричные уравненияdY= AY,(11)dtгде неизвестные (искомые) функции объединены в матрицуy11 (t) . . .
y1N (t)Y = (yij ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . , i, j = 1, N ,yN 1 (t) . . . yN N (t)при этом, по определению 00y11 . . . y1NdY= . . . . . . . . . . . . . , i, j = 1, N .dt00yN1 . . . yN NПокомпонентная запись системы (11) такова:Ndyir X=aij yjr , i, r = 1, N .dtj=1(110 )Из (110 ) следует, что на самом деле систему (11) можно переписатьв векторном виде. Действительно, обозначим через y [k] (t), k =1, N следующие вектор-функции:y11y1Ny [1] = ... , ..., y [N ] = ....yN 1yN NТогда из (110 ) следует, что:илиdy [k]= Ay [k] , k = 1, Ndt y [1]y [1]A0 d . .. = . .
. ... ,dt [N ][N]0Ayy(1100 )Лекция №1, НГУ, ММФ, 20097т.е. вместо (11) мы получили вновь систему вида (9).Перейдем теперь к заключительной части этого параграфа, вкоторой приведем некоторые, необходимые нам в будущем, сведения из теории матриц. Пусть, как обычно, RN − N -мерное вещественное евклидово пространство, CN − N -мерное комплексноепространство. Далее, пусть мы имеем вектор-функциюy1 (t) ..y = . , причем при любом t ∈ R1 : y(t) ∈ RN (или CN ).yN (t)Как известно, для векторов из RN (или CN ) можно ввести длину (норму):vu NuXp||y|| = ||y(t)|| = (y, y) = t|yi |2 при любом t ∈ R1 . (12)i=1Здесь(y, x) =NXy i xi − скалярное произведение векторовi=1 x1y1 y = ... , x = ...
.yNxNЗаметим, что мы привели формулу для скалярного произведениявекторов в общем случае, когда x, y ∈ CN . Напомним, что скалярное произведение векторов x, y обладает следующими очевиднымисвойствами:а) (y, x) = (x, y), где черта сверху обозначает комплексное сопряжение;б) (αy, x) = α(y, x), α ∈ C1 ;в) (y, αx) = α(y, x), α ∈ C1 ;г) ||y|| = 0 ⇔ y = 0.Лекция №1, НГУ, ММФ, 20098В нашем курсе мы часто будем пользоваться известными неравенствами Куранта:λmin (B)||y||2 ≤ (By, y) ≤ λmax (B)||y||2 ,∗(13)∗где B = B - эрмитова матрица (B = (bij ), B = (bji ), i, j =1, N ), λmin (B), λmax (B) - наименьшее и наибольшее собственныечисла эрмитовой матрицы B. Заметим, что все собственные числаэрмитовой матрицы B вещественные.
Докажем неравенства (13).С этой целью вспомним известное утверждение из теории матрицо том, что любая эрмитова матрица B может быть приведена кдиагональному виду с помощью некоторого унитарного преобра∗∗зования U = U (B) (U −1 = U ): B = U DU, D = diag(λ1 , ..., λN ),где λi = λi (B), i = 1, N - собственные числа матрицы B, при∗чем λ1 = λmin (B), λN = λmax (B). Тогда (By, y) = (U DU y, y) =(DU y, U y) = λ1 |z1 |2 + ... + λN |zN |2 , где z1 z = ... = U y.zNС другой стороны2λ1 ||z|| ≤NXλi |zi |2 ≤ λN ||z||2(14)i=1(мы считаем, что диагональные элементы матрицы D расположены в порядке возрастания). Поскольку∗||z||2 = (z, z) = (U y, U y) = (U U y, y) = (y, y) = ||y||,то из (14) следуют неравенства (13), что и требовалось доказать.Кроме нормы (длины) вектора y ∈ RN (или CN ) можно ввести,также, норму матрицы A = (aij ), i, j = 1, N . В теории матрицдаются определения различных норм матрицы A.
Наиболее ходовыми являются: операторная и эвклидова нормы матрицы AЛекция №1, НГУ, ММФ, 20099(последняя называется еще Фробениусовой нормой матрицыA).Определение 4. Операторной нормой матрицы A называютвеличинуs||Ay||(Ay, Ay)||A|| = sup= sup.(15)(y, y)y6=0 ||y||y6=0Заметим однако, что исходя из определения 4 очень трудно вычислить норму конкретной матрицы A. С этой целью преобразуемправую часть формулы (15):ss∗(Ay, Ay)(A Ay, y) rsup= sup= max (A∗ Az, z) =(y, y)(y, y)||z||=1y6=0y6=0r= max (A∗ Ay, y).||y||=1В приведенной здесь цепочке преобразований мы вначале сделалиyзамену z =, а потом вернулись к прежнему обозначению:||y||∗∗y = z. Понятно, что матрица A A - эрмитова и A A ≥ 0, посколькуэрмитова форма(A∗ Ay, y) = (Ay, Ay) = ||Ay||2 ≥ 0.∗Заметим далее, что эрмитова форма (A Ay, y) - непрерывная функция от y, определенная на компакте ||y|| = 1.
Поэтому она достигает на этом множестве своего максимального и своего минимального значений. При этом в силу (13)max (A∗ Ay, y) = λmax (A∗ A) ≥ 0.||y||=1Таким образом, окончательно получаемp||A|| = λmax (A∗ A) ≥ 0.(16)В отличии от операторной нормы матрицы A Фробениусова нор-Лекция №1, НГУ, ММФ, 2009ма вводится так:10vu NuX|aij |2 .||A||E = t(17)i,j=1Покажем, что||A|| ≤ ||A||E .(18)С этой целью напомним вначале известное неравенствоБуняковского-Шварца:|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y),(19)где x, y ∈ RN (или CN ). Далее, посколькуvu¯!2 vï N!à N!u N à NuXN¯X¯XXXuu¯¯||Ay|| = t|aij |2aij yj ¯ ≤ t|yj |2 =¯¯¯i=1j=1i=1j=1j=1||Ay||≤ ||A||E , что и требовалось доказать.||y||Наконец, в конце параграфа, в качестве упражнения докажемнеравенство:||AB|| ≤ ||A|| · ||B||,(20)= ||y|| · ||A||E , тогде A, B - квадратные матрицы порядка N .В самом деле:s(ABy, ABy) r||AB|| = sup= max (A∗ ABy, By) ≤2||y||||y||=1y6=0r≤ max {λmax (A∗ A)(By, By)} = ||A|| · ||B||.||y||=1Лекция №1, НГУ, ММФ, 200911Упражнения к §11.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
