1611688965-49eb25192487de9ca8a71123a3c272a8 (826653), страница 7
Текст из файла (страница 7)
®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¨§£¨¡ ã¯à㣮£® áâ¥à¦ï ¯à®¯®à樮 «ì ¥£® ªà¨¢¨§¥. â® ®§ ç ¥â,çâ® ã¯à㣨© áâ¥à¦¥ì, è à¨à® § ªà¥¯«¥ë© ¢ â®çª å(xi; fi ) (¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨ïå, à §®¡à ëå0043¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ãªâ å), ®¡« ¤ ¥â ¬¨¨¬ã¬®¬ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¨§£¨¡ .®âॡ㥬, çâ®¡ë ¨áª®¬ ï ᣫ ¦¨¢ îé ï äãªæ¨ï S(x)¬¨¨¬¨§¨à®¢ « ª« áᥠW22 [x0; xn] äãªæ¨® «(u) =Z xnx0[u00(x)]2dx +nXi=0i [u(xi) fi ]2;(2:39)£¤¥ i { ¥ª®â®àë¥ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ç¨á« . äãªæ¨® «¥(u) ᪮¬¡¨¨à®¢ ë ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à®å®¦¤¥¨ï ¨áª®¬®© ªà¨¢®© ¢¡«¨§¨ § ¤ ëå â®ç¥ª ¨ ãá«®¢¨¥ ¬¨¨¬ «ì®á⨠®á।¥®© ªà¨¢¨§ë.
¥¬ ¡®«ìè¥ ¢¥á®¢ë¥ ª®íä䍿¨¥âë i , ⥬ ¡®«ì訩 ¢ª« ¤ ¢ äãªæ¨® « ¢®áïâ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¥ ãá«®¢¨ï, ⥬ ¡«¨¦¥ ª § ¤ ë¬ â®çª ¬ (xi ; fi)¯à®å®¤¨â ᣫ ¦¨¢ îé ï ªà¨¢ ï ¨ ⥬ ¡®«ìè¥ ã ¥¥ ®á।¥ ï ªà¨¢¨§ .®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¬¨¨¬ã¬ äãªæ¨® « (u) â ª¦¥ ¤®á⨣ ¥âáï ¥ª®â®à®¬ ªã¡¨ç¥áª®¬ ᯫ ©¥, §ë¢ ¥¬®¬ ᣫ ¦¨¢ î騬 ᯫ ©®¬. âáî¤ ¢®§¨ª ¥â á«¥¤ãî騩 ¯®¤å®¤ ª à¥è¥¨î § ¤ ç¨: ¯ãáâì ¨áª®¬ë© ᣫ ¦¨¢ î騩 ᯫ ©, ª ª ¨ ¨â¥à¯®«¨àãî騩, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ § 票ﬨ i (ª®â®àë¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®â«¨ç îâáï ®âfi )), ¨ ¥¬ äãªæ¨® « (2.39) ¤®á⨣ ¥â ᢮¥£® ¬¨¨¬ã¬ . ®áª®«ìªã ªã¡¨ç¥áª¨© ᯫ ©, ᮣ« á® (2.29), ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ᢮¨å § 票© i ; i = 0; 1; : : :; n ¢ ã§« åxi; i = 0; 1; : : :; n, â® ¬¨¨¬¨§ æ¨ï (u) ᢮¤¨âáï ª 宦¤¥¨î ¬¨¨¬ã¬ äãªæ¨¨ ®â ¯¥à¥¬¥ëå 0; 1; : : :; n. áᬮâਬ «£®à¨â¬ ¯®áâ஥¨ï ᣫ ¦¨¢ î饣® ᯫ © ¢ á«ãç ¥ M0 = 0; Mn = 0.
®£« á® ¯à¥¤ë¤ã饬ã ç áâ¨ç®¬ ¨â¥à¢ «¥ [xi 1; xi] ¨¬¥¥â ¬¥áâ® (2.26). ãç¥â®¬í⮣® (2.39) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥n Z xinXXxxxxii1 2[Mi 1 h +Mi h ] dx+ i (i fi )2 :(S) =iii=1 xii=01ëç¨á«ïï ¨â¥£à « ¢ ¯®á«¥¤¥© ä®à¬ã«¥, ¯®«ã稬n Z xiX[Mi 1 xi h x + Mi x hxi 1 ]2dx =iii=1 xinX1= Mi [ h6i Mi 1 + hi +3hi+1 Mi + hi6+1 Mi+1 ] = (AM; M):i=1144¤¥áì ª¢ ¤à â ï âà¥å¤¨ £® «ì ï ¬ âà¨æ A = faij g áí«¥¬¥â ¬¨ ai;i 1 = h6i , ai;i = hi +3hi+1 , ai;i+1 = hi6+1 ,i = 1; 2; : : :; n 1 ᨬ¬¥âà¨ç , ¨¬¥¥â áâண®¥ ¤¨ £® «ì®¥¯à¥®¡« ¤ ¨¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ .®£« á® (2.29) M «¨¥©® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ = (0 ; 1; : : :; n), ¯®í⮬ã (S) | ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï ä®à¬ ®â .
ª ç¥á⢥ íªáâ६㬠㠥¥ ¬®¦¥â ¡ëâì⮫쪮 ¬¨¨¬ã¬. ®®â®è¥¨ï@1 @ (Am; m) + 2 ( f ) = 0;s = 0; 1; : : :; ns ss@s @s| ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¥¥ íªáâ६㬠, £¤¥ ¢¥ªâ®à m ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (2.29) ç¥à¥§ § 票ï S(xi ) = i , i = 0; 1; : : :; n.¨á⥬ã (2.29) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à®© ä®à¬¥:Am = H(2:40)á ¯àאַ㣮«ì®© ¬ âà¨æ¥© H à §¬¥à (n 1) (n+1), ã ª®â®à®© í«¥¬¥âë hii = h1 ; hi;i+1 = ( h1 h 1 ); hi;i+2 = h 1 ,iii+1i+1i = 1; 2; : : :; n 1, ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë à ¢ë ã«î. âà¨æ A ¥ § ¢¨á¨â ®â . ®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï (2.40), ¯®«ã稬@(Am)@(H)@@s (Am; m) = 2( @s ; m) = 2( @s ; m) =@ ; H T m) = 2(H T m) ;= 2( @ss£¤¥ ¢¥à娩 ¨¤¥ªá T ®§ ç ¥â âà ᯮ¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æë.®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì ãá«®¢¨¥ ¬¨¨¬ã¬ ¢ ¢¨¤¥H T m + P = Pf;(2:41)£¤¥ P | ¤¨ £® «ì ï ¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨ pii = i ;i = 0; 1; : : :; n.
¬®¦ ï (2.41) HP 1, ¯®«ã稬HP 1H T m + H = Hf:§ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¨ (2.40) á«¥¤ã¥â(A + HP 1H T )m = Hf:45(2:42) âà¨æ á¨á⥬ë (2.42) ¯ï⨤¨ £® «ì , ᨬ¬¥âà¨ç ¨¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ . «ï ¥¥ à¥è¥¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£® å®à®è¨å ¬¥â®¤®¢. «ï á।¨å à §¬¥à®¢ íä䥪⨢¥ ¬¥â®¤ ª¢ ¤à ⮣® ª®àï. ®á«¥ ⮣® ª ª ©¤¥ m, ¢¥ªâ®à á¥â®çëå § 票© ᣫ ¦¨¢ î饣® ᯫ © ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®ä®à¬ã«¥ = f P 1H T m;(2:43)ª®â®à ï á«¥¤ã¥â ¨§ (2.41).
ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ § 票© ᯫ © ¯® ä®à¬ã«¥ (2.27) ¥®¡å®¤¨¬® § ¬¥¨âì ¢ ¥© ¢¥ªâ®à f .«ï ¯à ¢¨«ì®£® ¢ë¡®à ¢¥á®¢ëå ª®íä䍿¨¥â®¢ ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®¢¥á⨠«¨§ १ã«ìâ â . ãáâì i = r = const,i = 0; 1; : : :; n. ᫨ ¨§¢¥áâ ¯®£à¥è®áâì " ¢ § ¤ ¨¨ fi ¨® ®á¨â á«ãç ©ë© å à ªâ¥à, â® ¥¥ 㦮 áà ¢¨âì á® á।¥ª¢ ¤à â¨çë¬ ãª«®¥¨¥¬n ( f ) ! =Xii=:n+121 2i=0 ᫨ k ", â. ¥. ¯®£à¥è®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 áãé¥á⢥®¬¥ìè¥ ¯®£à¥è®á⨠¢å®¤ëå ¤ ëå, â® ¢ª« ¤ âॡ®¢ ¨ïò¬ «®á⨠ªà¨¢¨§ëó ¢ à¥è¥¨¨ (¨ ¢ ãá«®¢¨¨) § ¤ ç¨ § ¨¦¥ | ¢¥á r ¤® 㬥ìè¨âì.
᫨ ¯®£à¥è®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 áãé¥á⢥® ¡®«ìè¥ ¯®£à¥è®á⨠¢å®¤ëå ¤ ëå, â®á¯« © á¨«ì® á£« ¦¥ | ¤® 㢥«¨ç¨¢ âì r. ᫨ ",â® § 票¥ r = r0 ¡«¨§ª® ª ®¯â¨¬ «ì®¬ã. ਠ«î¡ëå ¬¥â®¤ å ¯à¨¡«¨¦¥¨ï äãªæ¨© á«¥¤ã¥â ¯à®ï¢«ïâì ®áâ®à®¦®áâì¢ ¢ë¡®à¥ á⥯¥¨ ᣫ ¦¨¢ ¨ï, çâ®¡ë ¯®«ã稫áï ¯à¨£®¤ë©¤«ï ¤ «ì©è¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï १ã«ìâ â. § ¢¨á¨¬®á⨠®âª®ªà¥â®© 楫¨, ¯®á«¥ «¨§ ¥áª®«ìª¨å à §«¨çëå १ã«ìâ ⮢ ¬®¦® ®â¤ âì ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ⮩ ¨«¨ ¨®© á⥯¥¨á£« ¦¨¢ ¨ï.¥á i ¬®¦® ¡à âì ¯¥à¥¬¥ë¬¨, 㢥«¨ç¨¢ ï ¢ª« ¤ã§«®¢ á ¬¥ì襩 ò¨¤¨¢¨¤ã «ì®©ó ¯®£à¥è®áâìî "i ¤ ëåfi , ® ᮡ«î¤ ï á®®â®è¥¨¥ ". ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ©¤¥®¬r = r0 ¢ äãªæ¨® «¥(S) ¢¥á ¬®¦® ¢§ïâì ¢ ¢¨¤¥ i = r0ri ,Pri 0, ni=0 ri = 1 ¨ ¯à¨ ¯®¤áç¥â¥ 㪫®¥¨ï ᯫ © ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢§¢¥è¥®¥ á।¥ª¢ ¤à â¨ç®¥=nXi=0!=ri(i fi )1 2246:¯à ¦¥¨ï1.
¡«¨æë exp x, sin x, x3 ¤ ë ®â 0 ¤® 1 á è £®¬ 0,01. ª®¢ë ¨¡®«ì訥 ¯®£à¥è®á⨠«¨¥©®© ¨ ª¢ ¤à â¨ç®©¨â¥à¯®«ï樨?2. ®ª § âì, çâ® à §¤¥«¥ ï à §®áâì n-£® ¯®à浪 ¬®£®ç«¥ n-© á⥯¥¨ à ¢ ª®íä䍿¨¥â㠯ਠxn ¥§ ¢¨á¨¬®®â ¢ë¡®à ã§«®¢ x0 ; x1; : : :; xpn.3. «ï äãªæ¨¨ f(x) = x20 x2, x0 2 [0; 1] ¯®áâநâì¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ £à ¦ L2 (x) ¯® § 票ï¬f(x) ¢ ã§« å x0 h, x0 , x0 + h. à® ¡«î¤ âì á室¨¬®áâì § 票ï L2 (x0 ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠á¥â®ª h = 0,1, 0,05, 0,025.¡êïá¨âì १ã«ìâ â.4.
®áâநâì ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¥ ¬®£®ç«¥ë £à ¦ ¨ ନâ á ªà â®áâìî ¢á¥å ã§«®¢ 2 ¯® § ç¥¨ï¬ ®¤®©¨§ äãªæ¨© exp x, sin x, x7, ¢§ïâë¬ ¢ ã§« å x0 h, x0 + h,x0 + 3h ¨§ ¨â¥à¢ « [0; 1]. à® ¡«î¤ âì á室¨¬®áâì § 票© ¬®£®ç«¥®¢ ¢ â®çª¥ x0 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠á¥â®ªh = 0,1, 0,05, 0,025.5. ¥â®¤®¬ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢ ©â¨ äãªæ¨îP(x) = kj=0 cj 'j (x)dx, ¯à¨¡«¨¦ îéãî äãªæ¨î f(x), § ç¥¨ï ª®â®à®© § ¤ ë á® á«ãç ©®© ¯®£à¥è®áâìî. ª ç¥á⢥ ¢å®¤ëå ¤ ëå ¢§ïâì ¨â¥à¢ «¥ [0; 1] § 票ïf(xi ) + ( 1)i " random(i); i = 0; 1; : : :; n, £¤¥ f(x) | ¨§¢¥áâ ï £« ¤ª ï äãªæ¨ï (sin (x=2); exp (x) ¨ â. ¯.) random(i) |¤ â稪 á«ãç ©ëå ç¨á¥« á® § 票ﬨ ¨§ ¨â¥à¢ « [0; 1].«ï à §«¨çëå n (10; 30; 100) ¨ " (0,01, 0,1, 0,3) ¯®¤®¡à â쮯⨬ «ì®¥ k ¨§ ãá«®¢¨ï ¨«ãç襣® á।¥ª¢ ¤à â¨ç®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï. á¯ëâ âì ¯à¨ ¡®«ì讬 n à §«¨çë¥ ¡®àë 'j (x), ¯à® ¡«î¤ ¢ á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã ¬®¤ã«ï¬¨ ¤¨ £® «ìëå ¨ ¢¥¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë á¨á⥬ë(2.17) ¢ á«ãç ïå, ª®£¤ ¡®àë ¢§ïâë ¨§ ¡ §¨á®¢ ®à⮣® «ìëå ¨ ¥®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢.
á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢ ᤥ« âì ¥®¡å®¤¨¬®¥ «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤«ï ¯¥à¥¢®¤ ¤ ëå ¨§ § ¤ ®£® ®â१ª ¢ ®â१®ª [ 1; 1]. à ¢¨âì ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¯®áâ஥ãî ¯¯à®ªá¨¬¨àãîéãî äãªæ¨î (x) ¨ f(x) ¯®¤à®¡®© à ¢®¬¥à®© á¥âª¥ xi , i = 0; 1; : : :; n ¢ëç¨á«¨¢ ¬ ªá¨¬ã¬ 㪫®¥¨ï = maxk(xi) f(xi )k.i6. ®áâநâì ¨â¥à¯®«¨àãî騩 ᯫ © ¯® § ç¥¨ï¬ ®¤®© ¨§ äãªæ¨© exp x, sin x, x7 , ¢§ïâë¬ ¢ ã§« å xi ,47i = 0; 1; : : :; n ¨â¥à¢ «¥ [0; 1] à ¢®¬¥à®© ¨ ¥à ¢®¬¥à®© á¥âª å; ¡®«¥¥ ¬¥«ª®© á¥âª¥ ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ãã§« ¬¨ ¨â¥à¯®«ï樨 ¢ëç¨á«¨âì § 票ï ᯫ © , ¯¥à¢®©¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤ëå ®â ᯫ © ; ®æ¥¨âì ¯®£à¥è®áâì १ã«ìâ â ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï áà ¢¥¨¥¬ á® § 票ﬨ f(x)¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ëå.
à® ¡«î¤ âì á室¨¬®áâì १ã«ìâ ⮢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠á¥â®ª h = 0,1, 0,05, 0,025.7. ®áâநâì ᣫ ¦¨¢ î騩 ᯫ ©; ¢ ª ç¥á⢥ ¢å®¤ëå¤ ëå ¢§ïâì ¨â¥à¢ «¥ [0; 1] § 票ïf(xi ) + ( 1)i " random(i); i = 0; 1; : : :; n, £¤¥ f(x) | ¨§¢¥áâ ï £« ¤ª ï äãªæ¨ï (sin (x); exp x ¨ â. ¯.), random(i) |¤ â稪 á«ãç ©ëå ç¨á¥« á® § 票ﬨ ¨§ ¨â¥à¢ « [0; 1].«ï à §«¨çëå n (10; 30; 100) ¨ " (0,01, 0,1, 0,3) ¯®¤®¡à âì ®¯â¨¬ «ì®¥ r0 (®¡®§ ç¥¨ï ¨ ᯮᮡ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ á¬. ¢ ¯.
2.4.3) ¨§ ãá«®¢¨ï " ¯ã⥬ ¯®áâ஥¨ï ¥áª®«ìª¨å ᯫ ©®¢ á à §«¨ç묨 ¢¥á ¬¨ r. à® ¡«î¤ âìá⥯¥ì ᣫ ¦¨¢ ¨ï ¢å®¤ëå ¤ ëå ¨ 㪫®¥¨¥ ᯫ © , Z¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ à ááâ®ï¨ï1=2 ¬¥¦¤ã S(x) ¨ f(x) ¢¥«¨ç¨xnã(S(x) f(x))2 dx , ª®â®àãî á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«¨âì áx¥®¡å®¤¨¬®© â®ç®áâìî ¯® ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«¥. ਠ¥¡®«ì讬 n, § ï ¢¥«¨ç¨ã ¯®£à¥è®á⨠¢ ª ¦¤®¬ ã§«¥, ¯®áâநâì ¥áª®«ìª® ᯫ ©®¢, ¯à¨¤ ¢ ï ¡®«ì訩 ¢¥á ã§« ¬ á¡®«ì訬¨ ¯®£à¥è®áâﬨ; ¢ë¡à âì ¨§ ¯®áâ஥ëå à¥è¥¨© ¨¬¥¥¥ 㪫®ïî饥áï.048« ¢ 3 §¢¥áâ®,çâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¨â¥£à « ZbI = f(x)dx ç¥à¥§ ¯¥à¢®®¡à §ãî ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãaªæ¨¨ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ìîâ® | ¥©¡¨æ § ç áâãîᮯà殮® á ¥¬ «ë¬¨ âà㤮áâﬨ.
®«¥¥ ⮣®, ¯¥à¢®®¡à §ë¥ ¥ª®â®àëå í«¥¬¥â àëå äãªæ¨© á ¬¨ â ª®¢ë¬¨ ¥ï¢«ïîâáï. ª®¥æ, äãªæ¨ï f ¬®¦¥â ¡ëâì § ¤ ¥ «¨â¨ç¥áª¨, â ¡«¨ç®, â. ¥. ª®¥ç®¬ ¬®¦¥á⢥ â®ç¥ª. ᨫã íâ¨å ¯à¨ç¨ ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨¡¥£ âì ª ¯à¨¡«¨¦¥®¬ã¢ëç¨á«¥¨î ¨â¥£à « ¯®á।á⢮¬ ª ª®©-«¨¡® ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë, â® ¥áâì ¯à¨¡«¨¦¥®£® à ¢¥á⢠Zbaf(x)dx nXk=0ck f(xk );(3:1)£¤¥ ck | ¯®áâ®ïë¥, §ë¢ ¥¬ë¥ ª®íä䍿¨¥â ¬¨ ª¢ ¤à , x | â®çª¨ ®â१ª [a; b], §ë¢ ¥¬ë¥.