1611688965-49eb25192487de9ca8a71123a3c272a8 (826653), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2.1.4. ç áâ®áâ¨,¨§ ä®à¬ã«ë (2.6) á«¥¤ã¥â, çâ®k(2n)(2n)((x)) Y((x)) !2 (x):f(x) H(x) = f (2n)!(x xi )2 = f (2n)!i=1®£®ç«¥ H(x) ¨¬¥¥â á⥯¥ì 2n 1. «¥¤®¢ ⥫ì®,Zbaf(x)dx ==nXaZ b f n ((x))H(x)dx +(2n)! ! (x)dx =aZ b f n ((x))(2 )ck H(xk ) +k=0nX=Zbk=0ck f(xk ) +2(2 )2(2n)! ! (x)dx =aZ b f n ((x))(2n)! ! (x)dx:(2 )2a ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®£à¥è®áâì ¨¬¥¥â ¢¨¤Z b f n ((x))(f) =(2n)! ! (x)dx:(2 )2a ª ª ª äãªæ¨ï !2 (x) § ª®¯®áâ®ï , â®, ᮣ« á® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ® á।¥¬, áãé¥áâ¢ã¥â 2 (a; b) â ª®¥, çâ®Zb(2n)(f) = f (2n)!() !2 (x)dx:aâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ä®à¬ã«ë ãáá á ¡®«ì訬 ç¨á«®¬ ã§«®¢ 楫¥á®®¡à §® ¯à¨¬¥ïâì «¨èì ¤«ï ¤®áâ â®ç® £« ¤ª¨åäãªæ¨©. ¤ ç 3.4.®ª § âì, çâ®a)2n+1 (n!)4 :(f) = f (2n) () (b[(2n)!]3(2n + 1)ª § ¨¥.®ª § âì, çâ®67n! dn [(x a)n (x b)n ];!(x) = (2n)!dxn¨ 2n à § ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬. ¤ ç 3.5.n = 1 ¨ n = 2.楨âì ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã« ãáá ¯à¨â®¡ë ¥ ¯¥à¥áç¨âë¢ âì ª ¦¤ë© à § § ®¢® ª®íä䍿¨¥âë ¨ ã§«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, áãé¥áâ¢ãîâ â ¡«¨æë § 票©¤«ï à §«¨çëå n ®â१ª¥ [ 1; 1].
ந§¢®«ìë© ®â१®ª[a; b] ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¡à ¦¥ íâ®â ®â१®ª ¯à®á⮩ § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥®© ¨â¥£à¨à®¢ ¨ïx = a +2 b + b 2 a t:ਢ¥¤¥¬ ¤«ï n = 1; 2; : : :; 5 § 票ï ã§«®¢, ª®íä䍿¨¥â®¢¨ ®áâ â®çëå ç«¥®¢ ¢ ä®à¬ã«¥Z11n=1:n=2:n=3:n=4:f(x)dx =nXk=122n+1(n!)4 :ck f(xk ) + f (2n) () [(2n)!]3 (2n + 1)x1 = 0; 21 c1 = 1; = 13 f 00 ();x1 = x2 = 0; 577 350 269 189 6258;1 c = 1 c = 1 ; = 1 f (4) ();21 22 2135x1 = x3 = 0; 774 596 669 241 4834; x2 = 0;1 c = 1 c = 5 ; 1 c = 4 ; = 1 f (6) ();2 1 2 3 18 2 2 915 750x1 = x4 = 0; 861 136 311 594 0492;x2 = x3 = 0; 339 981 043 584 8646;68n=5:1 c = 1 c = 0; 173 927 422 568 7284;21 241 c = 1 c = 0; 326 072 577 431 2716;22 23 = 3 4721 875 f (8) ();x1 = x5 = 0; 906 179 845 938 6640;x2 = x4 = 0; 538 469 310 105 6830; x3 = 0;1 c = 1 c = 0; 118 463 442 528 0945;21 251 c = 1 c = 0; 239 314 335 249 6832;22 241 c = 64 = 0; 284 444 444 4444444;2 3 2251(10) = 1 237 732650 f ():¯à ¦¥¨ï1.
ëç¨á«¨âì á«¥¤ãî騥 ¨â¥£à «ë:Z 1 dx Z 3 dx Z 1 dx Z =2 sin x;;;2x dx;0 1+x1 1+x0 1+x0Z 1 ln(1 + x)Z 1 ln (1 + x)dx;1 + x2x dx;00á ¯®£à¥è®áâìî, ¥ ¯à¥¢ëè î饩 10 4 , ¯® ¯à¨¡«¨¦¥ë¬ä®à¬ã« ¬ âà ¯¥æ¨©, ¨¬¯á® , ãáá á ®¤¨¬ ¨ ¤¢ã¬ï ã§« ¬¨. áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì 㪠§ ëå ¬¥â®¤®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠á¥â®ª (h; h=2; h=4).2. ஢¥á⨠«®£¨ç®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤«ï ¨â¥£à « Z pxdx:10¥§ã«ìâ â ®¡®á®¢ âì.3. ®ª § âì, çâ® ä®à¬ã« 69Zpp2 + 2 f(2 p2) + 2 2 f(2 + p2)e440¤ ¥â â®çë¥ § 票ï, ¥á«¨ f(x) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ¥¢ëè¥ 4.1+x f(x)dx 70« ¢ 4 x4.1.
áᬮâਬ § ¤ çã 宦¤¥¨ï ª®à¥© ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ f(x) = 0;(4:1)£¤¥ f(x) | äãªæ¨ï ¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£®. ᮦ «¥¨î, ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ä®à¬ã« ¤«ï â®ç®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ (4.1) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ª, ¥á«¨f(x) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ¢ëè¥ 4, â®, ᮣ« ᮠ⥮६¥ ¡¥«ï, ª®à¨ í⮣® ¬®£®ç«¥ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì¢ëà ¦¥ë ç¥à¥§ ¥£® ª®íä䍿¨¥âë á ¯®¬®éìî à ¤¨ª «®¢.¥ã«¥¢ë¥ ª®à¨ ¯à®á⥩襣® âà áæ¥¤¥â®£® ãà ¢¥¨ïcos x x = 0 â ª¦¥ ¥ ¢ëà ¦ îâáï á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëåäãªæ¨©. ®íâ®¬ã ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¯à¨¡¥£ îâ ª ¨â¥à æ¨®ë¬ ¬¥â®¤ ¬ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©, áãâì ª®â®àëå á®á⮨⢠¯®áâ஥¨¨ ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fxng, á室ï饩áï ª ¨áª®¬®¬ã ª®àî x ãà ¢¥¨ï (4.1).
ਬ¥¥¨¥ íâ¨å¬¥â®¤®¢ ¬®¦® à §¡¨âì ¤¢ íâ ¯ :1) ¨§ã票¥ à ᯮ«®¦¥¨ï ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®à¥© ¨ ¨å®â¤¥«¥¨¥, â® ¥áâì 宦¤¥¨¥ ®â१ª®¢, ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨âáï ஢® ®¤¨ ª®à¥ì;2) ¯®áâ஥¨¥ ¨â¥à 樮®£® ¯à®æ¥áá , ¯®§¢®«ïî饣®ãâ®ç¨âì § 票¥ ®âë᪨¢ ¥¬®£® ª®àï á § ¤ ®© â®ç®áâìî ". áᬮâਬ ª ¦¤ë© ¨§ íâ¨å íâ ¯®¢ ¯®¤à®¡¥¥.4.1.1. . ⬥⨬, çâ® ®¡é¨å ¯à¨¥¬®¢ ®â¤¥«¥¨ï ª®à¥© ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. «ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© íâ § ¤ ç ¬®¦¥â¡ëâì à¥è¥ á ¯®¬®éìî ⥮६ë âãଠ.71(âãà¬).nf (x) = f (x)f (x)f (x) f (x)¥®à¥¬ 4.1ãáâì ¤ ® «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥á⥯¥¨ , ¥ ¨¬¥î饥 ªà âëå ª®à¥©; ©¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤ãî 0¨ ®¡®§ 稬 ®áâ ⮪ ®â ¤¥1«¥¨ï 0, ¢§ïâë© á ®¡à âë¬ § ª®¬, ç¥à¥§ 2;®áâ ⮪ ®â ¤¥«¥¨ï 1 2á ®¡à âë¬ § ª®¬ |ç¥à¥§ 3¨ â. ¤., ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ®áâ ⮪ ¥ ¡ã¤¥â à ¢¥¥ª®â®à®© ¯®áâ®ï®©.
®«ã稬 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®ç«¥®¢f(x) = 0f(x)f (x)f(x); f1 (x); : : :; fn(x):f (x)f(x) = 0®£¤ ç¨á«® ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®à¥© ãà ¢¥¨ï,à ᯮ«®¦¥ëå ®â१ª¥, à ¢® à §®á⨠¬¥¦¤ã ç¨á«®¬ ¯¥à¥¬¥ § ª 襩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬®£®ç«¥®¢¯à¨¨ ç¨á«®¬ ¯¥à¥¬¥ § ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¯à¨.[a; b]x=ax = b (®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯à¨¢¥¤¥®, ¯à¨¬¥à, ¢ª¨£¥ [7]. ) ᫨ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ªà âë¥ ª®à¨, â®, ¨á¯®«ì§ãï ®¯¨á ë© «£®à¨â¬, ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®ç«¥®¢ f(x); f1 (x); : : :; fm (x); 0, £¤¥ fm (x) ¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ïë¬.
®¤¥«¨¢ ¢á¥ ¬®£®ç«¥ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fm (x),¬ë ¯®«ã稬 ®¢ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ਬ¥ïï ª ¥© ⥮६ã âãଠ, 室¨¬ ç¨á«® ª®à¥© ãà ¢¥¨ï f(x) = 0,à ᯮ«®¦¥ëå ®â१ª¥ [a; b], ® ¡¥§ ãç¥â ¨å ªà â®áâ¨.«ï âà áæ¥¤¥âëå ãà ¢¥¨© ᪮«ìª®-¨¡ã¤ì ®¡é¥£® «£®à¨â¬ ®â¤¥«¥¨ï ª®à¥© ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ਥ¬ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï äãªæ¨© ¯®¤à®¡® ¨§« £ îâáï ¢ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ , ¯à¨ í⮬ ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ «¨ç¨ï ®â१ª¥ å®âï ¡ë ®¤®£® ª®àï ãà ¢¥¨ï (4.1) ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¢á«¥¤ãî饩 ⥮६¥.¥®à¥¬ 4.2 (®«ìæ ® | ®è¨). ãáâì ¤«ï ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f(x), ®¯à¥¤¥«¥®© ®â१ª¥ [a; b], ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮ f(a)f(b) < 0.®£¤ ¨â¥à¢ «¥ (a; b) áãé¥áâ¢ã¥â ª®à¥ì ãà ¢¥¨ï(4.1). ᫨ äãªæ¨ï f(x) ¬®®â® ®â१ª¥ [a; b], â®íâ®â ª®à¥ì ¥¤¨á⢥ë©.
(®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ⥮६ëá¬., ¯à¨¬¥à, ¢ ª¨£¥ [10]. ) ⥮६®© ®«ìæ ® | ®è¨ â¥á® á¢ï§ ®¤¨ ¨§ ¯à®á⥩è¨å ¨â¥à 樮ëå ¬¥â®¤®¢ | ¬¥â®¤ ¡¨á¥ªæ¨¨, §ë¢ ¥¬ë© â ª¦¥ ¬¥â®¤®¬ ¤¥«¥¨ï ®â१ª ¯®¯®« ¬. ãáâì72 ®â१ª¥ [a; b] à ᯮ«®¦¥ ¥¤¨áâ¢¥ë© ª®à¥ì x ãà ¢¥¨ï (4.1), f(a) ¨ f(b) ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ®«®¦¨¬x0 = (a + b)=2 ¨ ¢ëç¨á«¨¬ f(x0 ). 祢¨¤®, x ¯à¨ ¤«¥¦¨â ⮬㠨§ ¨â¥à¢ «®¢ (a; x0), (x0; b), £à ¨æ å ª®â®à®£®äãªæ¨ï f(x) ¨¬¥¥â à §ë¥ § ª¨. ª ç¥á⢥ x1 ¡¥à¥¬ á¥à¥¤¨ã í⮣® ¨â¥à¢ « ¨ ¯®¢â®à塞 ®¯¨á ë© ¯à®æ¥áá ¤® â¥å¯®à, ¯®ª ®ç¥à¥¤®¬ è £¥ ¤«¨ ¯®«ã祮£® ¨â¥à¢ « ¥ á⠥⠬¥ìè¥ § ¤ ®© â®ç®á⨠".
®£¤ § ¯à¨¡«¨¦¥®¥ § 票¥ ª®àï ¯à¨¨¬ ¥âáï á¥à¥¤¨ í⮣® ¨â¥à¢ « .®à¬ «ì® ¬¥â®¤ ¡¨á¥ªæ¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á á«¥¤ãî騬®¡à §®¬:xn+1 = xn + sign f(a) sign f(xn ) b2n+2a ;n = 0; 1; : : :;£¤¥ x0 = (a + b)=2.x4.2. 宦¤¥¨¥ ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (4.1) ᯮ¬®éìî ¨â¥à 樮ëå ¬¥â®¤®¢ ç¨ ¥âáï á § ¬¥ë í⮣®ãà ¢¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë¬ ãà ¢¥¨¥¬x = (x);(4:2)£¤¥(x) = x + (x)f(x);(4:3)¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï (x) ¥ ¬¥ï¥â § ª ®â१ª¥ [a; b], ᮤ¥à¦ 饬 ®âë᪨¢ ¥¬ë© ª®à¥ì (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ª®à¨ãà ¢¥¨ï 㦥 ®â¤¥«¥ë). «¥¥ äãªæ¨î (x) ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¥¯à¥à뢮© ¨ ¤®áâ â®ç® £« ¤ª®©.ãáâì x | ª®à¥ì ãà ¢¥¨ï (4.1) ¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥,ãà ¢¥¨ï (4.2). ®£¤ x = (x );¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, x ï¥âáï ¥¯®¤¢¨¦®© â®çª®© äãªæ¨¨.
«ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® ¢ëç¨á«¥¨ï x ®¡à §ã¥¬ ¨â¥à 樮ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fxng ¯® ¯à ¢¨«ãxn+1 = (xn);n = 0; 1; : : :;73(4:4)£¤¥ x0 | â®çª ®â१ª [a; b], §ë¢ ¥¬ ï ç «ìë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬. â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤ ¢¨¤ (4.4) §ë¢ îâ ¬¥â®¤®¬¯à®á⮩ ¨â¥à 樨. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ä®à¬¥ ¬¥â®¤ ¯à®á⮩¨â¥à 樨 ¬®¦® § ¯¨á âì «î¡®© ®¤®è £®¢ë© ¨â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤ (â. ¥. ¬¥â®¤, ¢ ª®â®à®¬ ⥪ãé ï ¨â¥à æ¨ï ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¥¤ë¤ã饩). ᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fxng ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« x~, ¯à¨ç¥¬x~ 2 [a; b], â®, ¯¥à¥å®¤ï ¢ (4.4) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ n ! 1, ¢¢¨¤ã¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨¨ (x) ¯®«ã稬 x~ = (~x), â® ¥áâ쯮᫥¤®¢ ⥫ì®áâì fxng á室¨âáï ª ª®àî ãà ¢¥¨ï (4.2).® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ãà ¢¥¨¥ (4.2) ¨¬¥¥â ®â१ª¥ [a; b]¥¤¨áâ¢¥ë© ª®à¥ì, ¯®í⮬ã x~ = x . §ã¬¥¥âáï, ¢¨¤ ª®ªà¥â®£® ¨â¥à 樮®£® ¬¥â®¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬ äãªæ¨¨ (x) ¢ ä®à¬ã«¥ (4.3). áâ¥á⢥® ¢®§¨ª îâ ¤¢ ¢®¯à®á :1) ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå (x) áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fxng ?2) ª ª ¡ëáâà® ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì § 票¥ ª®àï á § ¤ ®© â®ç®áâìî " ? áᬮâਬ ª ¦¤ë© ¨§ íâ¨å ¢®¯à®á®¢ ®â¤¥«ì®.4.2.1.
ä®à¬ã«¨à㥬 ãá«®¢¨ï äãªæ¨î , ¯à¨ ª®â®àëå ¨â¥à 樮 ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fxng á室¨âáï. ¯®¬¨¬, çâ®®â®¡à ¦¥¨¥ §ë¢ ¥âáï «¨¯è¨æ-¥¯à¥àë¢ë¬ á ¯®áâ®ï®© q ®â१ª¥ [a; b], ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x; y 2 [a; b] ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮j(x) (y)j qjx yj:ਠí⮬, ¥á«¨ 0 < q < 1, â® ®â®¡à ¦¥¨¥ §ë¢ ¥âáïᦨ¬ î騬. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® «¨¯è¨æ-¥¯à¥à뢮¥®â®¡à ¦¥¨¥ ï¥âáï à ¢®¬¥à® ¥¯à¥àë¢ë¬. ᫨ äãªæ¨ï (x) ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ®â१ª¥ [a; b], â® ¢ ª ç¥á⢥ ¯®áâ®ï®© q á«¥¤ã¥â ¢§ïâìmax j0(x)j (íâ® ¢¨¤® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢®¤®©).
ëx2[a; b]¯®«¥¨¥ ¥à ¢¥á⢠xmaxj0(x)j < 1 ®§ ç ¥â, çâ® |2[a; b]ᦨ¬ î饥 ®â®¡à ¦¥¨¥.74ਢ¥¤¥¬ ®¤® ¢¥áì¬ ¢ ¦®¥ ᢮©á⢮ ᦨ¬ îé¨å ®â®¡à ¦¥¨©.¥®à¥¬ 4.3. ãáâì | ®â®¡à ¦¥¨¥,ïî饥áï ᦨ¬ î騬 á ¯®áâ®ï®© q ®â१ª¥ Ur (x0 ) = [x0r; x0 + r],¯à¨ç¥¬ r C=(1 q), £¤¥ C = j(x0)x0 j.®£¤ ®â१®ª Ur (x0 ) ¯¥à¥¢®¤¨âáï ®â®¡à ¦¥¨¥¬ ¢á¥¡ï, â. ¥. (x) 2 Ur (x0) ¯à¨ ¢á¥å x 2 Ur (x0 ).®ª § ⥫ìá⢮. ¬ 㦮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¤«ï «î¡®£® x 2 Ur (x0) ¢ë¯®«ï¥âáï¥à ¢¥á⢮ j(x) x0j r. ®, â ª ª ª ®â®¡à ¦¥¨¥ ï¥âáï ᦨ¬ î騬, â®j(x) x0 j j(x) (x0)j + j(x0) x0 j qjx x0j + C qr + (1 q)r = r;çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.«¥¤á⢨¥ 1. ãáâì| ®â®¡à ¦¥¨¥, ïî饥áïᦨ¬ î騬 á ¯®áâ®ï®© ¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨.
®£¤ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ 0 ¬®¦® 㪠§ âì ç¨á«®â ª®¥,çâ® ®â१®ª r 0 ¯¥à¥¢®¤¨âáï ®â®¡à ¦¥¨¥¬¢ ᥡï. ª ç¥á⢥ ¬ë ¬®¦¥¬ ¢§ïâì «î¡®¥ ç¨á«®, 㤮¢«¥â¢®àïî饥ãá«®¢¨î, £¤¥00 .xU (x )rr C=(1 q)qr> 0C = j(x ) x jãáâì x | ¥¯®¤¢¨¦ ï â®çª ®â®¡à , £« ¤ª®£® ¥ª®â®à®¬ ®â१ª¥ Ur (x ), ¯à¨ç¥¬j0(x )j < 1. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â > 0 â ª®¥, çâ® ®â१®ªU (x ) ¯¥à¥¢®¤¨âáï ®â®¡à ¦¥¨¥¬ ¢ ᥡï.«¥¤á⢨¥ 2.¦¥¨ï®ª § ⥫ìá⢮.