1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В результате этого мы имеем, что матрица нильпотентногооператора в некотором базисе имеет блочно-диагональный вид, где по диагонали стоят клеткивида, показанного ранее. (Эти клетки по сути являются φ|Ui)Этот вид называется каноническим видом матрицы нильпотентного оператора.Следствие 2.4.1Канонический вид единственен с точностью до перестановки клеток (блоков):Доказательство:Мы определили, что каждый блок суть матрица φ суженного на φ-инвариантноеподпространство, базисом которого являются векторы ниль-слоя длины k (следовательно иразмерность подпространства будет равна k).
По второму пункту теоремы мы знаем, что числониль-слоев длины k постоянно и не зависит от выбора базиса. Таким образом число блоковразмера kxk будет также постоянно. Мы можем менять их местами, переставляя ниль слои вЖордановой таблице, то есть вид единственен с точностью до перестановки блоков.Следствие 2.4.2 (Матричная форма)Для любой нильпотентной матрицы А найдется невырожденная T и матрица каноническоговида J такие что A=TJT^(-1)Доказательство:Достаточно очевидно: пусть на пространстве V оператор φ: x→ Ax (А — матрица φ в базисеe1...en) Тогда относительно φ V имеет жорданов базис v1..vn, в нем она имеет вид J.
Такимобразом если T — матрица перехода между e1...en и v1...vn то А=TJT^(-1), что и требовалось.Теперь, рассмотрев случай нильпотентного оператора, перейдем к рассмотрению общего случая.Начнем с леммы, которая является частным случаем последующей теоремы:Лемма 2.3Пусть σ, τ, σ`, τ` - попарно перестановочные линейные операторы V (то есть, например, στ=τσ).Если στ=0 и σσ`+ττ`=id (тождественный оператор), то1)Ker(σ)=Im(τ), Ker(τ)=Im(σ)2) V=Ker(σ)⊕Ker(τ)Доказательство:1)По условию στ=0 (также из условия τσ=0){0}=στ(V)=σ(τ(V))=>τ(V) =Ιm(τ)⊊Ker(σ)Проверим теперь обратное включение:Пусть u∈Ker(σ)Имеем тогда, что u=id(u)=(σσ`+ττ`)(u)=σσ`(u)+ττ`(u)(по правилам сложения лин.опер)=σ`(σ(u))+τ(τ`(u))(по правилам произвед.
Лин. Опр и по условию)=σ`(0)+τ(τ`(u))∈Im(τ), что итребовалось.Таким образом мы доказали, что Im(τ)=Ker(σ). Аналогичными рассуждениями получаем, чтоKer(τ)=Im(σ)2)Пусть v∈V. Тогда v=id(v)=(σσ`+ττ`)(v)=σ(σ`(v))+τ(τ`(v))∈Im(σ)+Ιm(τ)Из чего имеем (обратное включение очевидно), что V=Im(τ)+Im(σ). Также заметим, что V=Ker(τ)+Im(τ) (по ранее доказанному)Также заметим, что поскольку dim V= dim(Ker(τ)+Im(τ)) и dim(Ker(τ)+Im(τ))=dim Ker(τ)+dimIm(τ) — dim (Ker(τ)⋂Im(τ)), при этом известно что dim V=dim Ker(τ)+dim Im(τ) имеем, чтоV=Im(τ)⊕Ker(τ)=Ker(σ)⊕Ker(τ), что и требовалось.Теорема 2.5 (О ядреном ядерном распаде/разложении)Пусть f=f1..fs, где f,fi∈F[x] и f1...fs — попарно взаимно простые.φ — линейный оператор V над полем F.Если f(φ)=0, то1)V=Ker f1(φ)⊕...⊕Κer fs(φ)2)каждое слагаемое в 1) φ-инвариантно.Доказательство:Индукцией по s.s=1 f(φ)=0 (нулевой оператор).
Нужно показать, что V=Ker(f1(φ)) из чего будет автоматическиследовать φ-инвариантность этого ядра.v∈V => f(φ)(v)=0 (нулевой оператор)В обратную сторону: Так как f(φ) — оператор на V то его ядро является подпространством.База доказанаs-1 → sf=f1*g, где g=f2...fsиз условия имеем, что (f1,g)=1 => найдутся такие u,v∈F[x]: f1u+gv=1подставив φ имеем, что f1(φ)*u(φ)+g(φ)*v(φ)=id(φ) (в этом случае 1 понимается кактождественное отображение).Обозначим f1(φ)=σ, g(φ)=τ, u(φ)=σ`, v(φ)=τ`. Для того, чтобы воспользоваться предыдущейлеммой, нам нужно показать, что выполняются все свойства из ее условия, а именно1)σ,τ,σ`,τ` - попарно перестановочны2)στ=03)σσ`+ττ`=idСвойство 3 выполняется по построению, свойство 2 по условию (στ=f)Свойство 1 же выполняется же выполняется ввиду того, что многочлены берутся от одноголинейного оператора и как следствие умножение линейного оператора на себя же коммутативно,но умножение таких многочленов — суть умножение выражений вида (an*A^n+...+a0)(bk*A^k+...b0), где А — матрица φ.
и как следствие все операции, которые могут здесьвыполняться (умножение матрицы на себя же, сложение матриц и умножение матриц на скаляр)коммутативны, следовательно многочлены коммутируют.Тогда по предыдущей лемме мы имеем что V=Ker f1(φ)⊕ Ker g(φ). Обозначим Ker g(φ)=Wи проверим, что W φ-инвариантно. Для этого возьмем w∈W и проверим, что φ(w)∈Wиными словами что g(φ)(φ(w))=0что можно определить как композицию операторов (g(φ)*φ)(w)=(φ*g(φ)(w)(так как этиоператоры перестановочны, что нетрудно проверить) =(φ(g(φ)(w))=φ(0) (так как w лежит в ядреg(φ))=0, что и требовалось.Тогда мы можем рассмотреть φ`=φ|W.
Для того чтобы воспользоваться предположениеминдукции осталось показать, что g(φ`)=0. Но это верно, поскольку g(φ`) действует на элементахиз W также как g(φ). так что для любого w∈W g(φ`)(w)=g(φ)(w)=0И поскольку g=f2...fs (взаимно простые) по предположению индукции имеемW=Ker(f2(φ`))⊕...⊕Ker(fs(φ`)). Осталось только проверить, что Ker(fi(φ`))=Ker(fi(φ))Для этого проверим оба включения:Слева направо:Пусть w∈Ker(fi(φ`))Расписывая многочлены в явном виде и замечая, что φ` действует на элементы W также как φполучаем, чтоfi(φ)w=fi(φ`)(w)=0, что доказывает включениеВ обратную сторону:пусть v∈Ker(fi(φ)).
Докажем, что v∈W=Ker (g(φ))Имеем g(φ)(v)=(f2(φ)...fs(φ))(v)=g`(φ)fi(φ)(v), где g`fi=g, но имеем, поскольку fi(φ)(v)=0 имеемg`fi(v)=0, что и требовалось.Теперь можно спокойной сказать, что fi(φ`)=fi(φ) (поскольку φ` на W действует так же, как и φ).Мы доказали 1)2)Теперь осталось доказать, что в этом равенстве каждое слагаемое φ-инвариантно, но для этогодостаточно повторить рассуждения из доказательства φ-инвариантности W. Если повторить этидействия, то теорема будет полностью доказана.Теорема 2.6 (О корневом разложении)Пусть χφ(x)=(x-a1)^n1...(x-as)^ns — характеристический многочлен оператора φ пространства Vнад полем F.
Причем ai≠aj, при i≠j и n1+...+ns=dim V=n и все ai∈FТогда V=Ker(φ-a1*id)^n1 ⊕ … ⊕Ker(φ-as*id)^ns, причем Vi=Ker(φ-ai*id)^ni — φ-инвариантноеподпространство, называемое корневым подпространством и соответствующее ai.Доказательство:Обозначим fi=(x-ai)^nif=χφ(x).Тогда f- произведение взаимно простых fi.Теперь по теореме Гамильтона-Кэли имеем, что f(φ)=0Далее применив теорему о ядерном разложении получаем требуемый результат.(Вообще говоря инвариантность стоит доказывать, но это делается рассуждением, аналогичнымдоказательству инвариантности слагаемых в теореме о ядерном разложении)Инвариантность из теоремы о ядерном разложении (переставляем местами φ и (φ-ai*E)^ki)Свойство что Ker(f-ai) лежит в Ker(f-ai)^2 и тд.УтверждениеПусть Vai — корневое подпространствоИндуцированный оператор (φ-x*E)|Vai является нильпотентным при x=ai и невырожденным востальных случаях.Доказательство:При x=aiv1...vk — базис Vai(φ-xE)^mi(vi)=0, i=1...km=max{m1...mk}(φ-xE)^m(vi)=0 => (φ-xE)^m|Vai=0При x≠aiДопустим оператор (φ-xE)|Vai имеет ненулевое ядро.
Тогда возьмем такой v из этого ядра, чточисло m в (φ-xE)^m(v)=0 минимально.Если m=1 то (φ-xE)(v)=0, так как (φ-aiE)(v)=0 то φ(v)=ai*v=x*v, что невозможно при x≠ai, v≠0Если m>1 то v`=(φ-xE)(v)≠0по прежнему лежит в ядре φ-xE но (φ-xE)^(m-1)(v`)≠0, противоречие с выбором v.Следствие 2.6.1dim Vi=ni (Vi из предыдущей теоремы)Доказательство: TBDПусть e1...en - Базис V, A — матрица оператора φИз теоремы 2.6 мы знаем, что V==V1⊕...⊕Vs, где Vi-корневые подпространства (имеют видKer(φ-ai*id)^ni)Зафиксируем в каждом из них Жорданов базис относительно нильпотентного оператораψi=(φ-ai*id)|Vi (он действительно нильпотентный, поскольку ψi^ni=0 из определения ядра).Объединение этих базисов является базисом V (поскольку V — прямая сумма этихподпространств). Этот базис называется жордановым базисом V относительно φ.Идея посчитать матрицу φ в Жордановом базисе ведет нас к следующей теореме:Теорема 2.7 (О матричной форме)Любая квадратная матрица А подобна матрице J (т.е.
Существует обратимая T, такая чтоА=TJT^(-1))Где J — блочно диагональная матрица, каждый блок которой имеет видa 1 0 0… 00 a 1 0… 000a1…0… … … ...0 … ... a 10…0… aГде а — некоторое собственное значение, причем матрица J определяется однозначно сточностью до перестановки блоков (или, как их часто называют, клеток).Доказательство:Пусть F` - расширение поля F, над которым χΑ(x) раскладывается на линейные множители.Пусть v1...vn — жорданов базис, V в том смысле, в котором он определялся выше (какобъединение базисов корневых подпространств)Покажем, что в этом базисе матрица оператора φ: x→ Ax имеет вид J. Для этого посчитаемматрицу φ в этом базисе.
Жорданов базис строился как объединение жордановых базисовотносительно сужения φ-ai*id на Viψi=φ-ai*id|ViТогда пусть u1…ur — ниль слой оператора ψi и W=L(u1...ur) — φ-инвариантноеподпространствоТогда матрица ψi|W=φ-ai*id|W имеет «канонический вид» (с единицами над главнойдиагональю)Наконец чтобы получить матрицу φ|W нам нужно прибавить по диагонали ai, таким образом мыполучим требуемую клетку.Таким образом в каждом Vi обозначим за Wk^i линейную оболочку k-го ниль-слоя. Посколькукаждое Wk^i φ-инвариантно и объединение их базис векторов формирует базис пространства Vто мы можем записать V=⊕Wk^i и как следствие в согласованном базисе матрица φ будет иметьблочно диагональный вид, где блоками являются матрицы φ|Wk^i.Единственность матрицы J следует из того, что количество и длина ниль слоев вычисляетсяединственным образом по формуле, доказанной в теореме 2.4Жорданова форма матриц (так называется матрица J из предыдущей теоремы) помогает вчастности ответить на вопрос о подобии двух матриц.Напомним, что матрица А подобна матрице B еслисуществует обратимая T, такая что А=TBT^(-1).
Нетрудно проверить, что подобие являетсяотношением эквивалентности.Теорема 2.8 (О подобии матриц)Пусть F — алгебраически замкнутое поле, A, B ∈ Mn(F).Матрицы А и B подобны (будем здесь обозначать А~B)<=>J_A=J_B, где J_I — Жорданова формаматрицы I (и равенство верно с точностью до перестановки Жордановых клеток).Доказательство:Запишем А=Τ_A*J_A*T_A^(-1)B=T_B*J_B*T_B^(-1)=>Имеем тогда, что A=TBT^(-1), где Τ — некоторая невырожденная матрица. Тогда имеем, чтоА=T*T_B*J_B*T_B^(-1)*T^(-1)=(T*T_B)*J_B*(T*T_B)^(-1), из чего получаем по теореме 2.7что J_B — жорданова форма матрицы Α (с точностью до перестановки клеток).<=Взяв некоторый базис мы можем сказать, что J_A=J_B в точности (расстановка клетоксовпадает).
Из равенств выше мы можем выразить J_A =T_A^(-1)*A*T_A, J_B=T_B^(1)*B*T_B, из чего имеем, что T_A^(-1)*A*T_A=T_B^(-1)*B*T_B иA=T_A*T_B^(-1)*B*T_B*T_A^(-1)=(T_A*T_B^(-1))*B*(T_A*T_B^(-1))^(-1), что и требовалось.Вычисление многочленов от матрицыТеорема 2.9Пусть f(x)∈C[x], A∈Mn(C), A=TJT^(-1), где J — Матрица в Жордановой форме.Тогда:1)f(A)=Tf(J)T^(-1)2)f(J) — блочно диагональная матрица, где блоками являются f(Ji), где Ji — блок J.3)f(Ji)=f(ai) f`(ai)/1!, f``(ai)/2! … f^(k-1)(ai)/(k-1)!0 , f(ai), f`(ai)/1! … f^(k-2)(ai)/(k-2)!0.0,f(ai) ………………………………………………..0 0…f(ai),f`(ai)/1!0 0…0f(ai)Доказательство:1)Пусть f(x)=a0+a1x+...+amx^mf(A)=a0*E+a1*A+...+am*A^mf(TJT^(-1))=a0*TT^-1)+a1*TJT^(-1)+a2*(TJT^(-1))^2+...am*(TJT^(-1))^m==a0*E+a1*TJT^(-1)+a2*(TJT^(-1)TJT^(-1))+...+am*(TJT^(-1)TJT^(-1)T….JT^(-1))Но поскольку (TJT^(-1))^m степени имеет вид TJ^MT^(-1) (что нетрудно проверить) то мыполучаем требуемый результат, вынося T и T^(-1) из каждого слагаемого (в свободном члене ввиде TT^(-1) можно записать Е).2)Это верно, поскольку блочно-диагональные матрицы складываются и перемножаютсяпоблочно.3)Для начала проверим утверждение для многочлена x^m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
