1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По теореме опромежуточном значении имеем, что на отрезке [-b,b] есть корень, что и требовалось.s-1 → ss≥1По теореме о существовании корня существует расширение K поля С (K≥C), элементы которогоa1...an ∈Κ: f=a(x-a1)...(x-an), покажем, что существует ai∈C.Пусть b∈RG(i,j)=ai*aj+b(ai+aj)∈KРассмотрим многочлен g(x) с корнями G(i,j). Тогда g(x)=prod(x-G(i,j),1≤i≤j≤n)deg g=n(n-1)/2=(n,2) (количество способов взять 2 корня как i-ый, и j-ыйТакже deg g=n(n-1)/2=2^s*t*(2^s*t-1)/2=2^(s-1)*(t*(2^s*t-1)) (второй множитель — нечетноечисло). Однако мы пока не можем применить предположение индукции, поскольку мы не знаем,где содержатся коэффициенты многочлена g.
Докажем, что g∈R[x]:По теореме Виета имеем, что коэффициенты g(x) = значениям основных симметрическихмногочленов от переменных вида xi*xj+b(xi+xj)*S`(n)=y(i,j), где S`(n) — симметрическиемногочлены из K.Перестановка a1...an переставляет G(i,j). Поэтому переписывая S`k(…,y(ij),…) в переменныхx1,...xn получим снова симметричный многочлен от x1...xn, который по основной теореме осимметрических многочленах является многочленом от S1,…,SnПо Теореме Виета имеем, что Sk(a1,…,an) — коэффициенты f, то есть принадлежат R => g(x)∈R[x]. Теперь мы можем применить индукцию и сказать что существует G(i,j)=ai*aj+b(ai+aj)∈CВзяв другой b (обозначим его b`) мы получим, что ai*aj+b`(ai+aj)∈С (мы доказалипредположение для любого b).
Мы также можем заключить, что поскольку |R|=∞, |G(i,j)|= числоперестановок ai,aj=n(n-1)/2 — конечно), то можно взять b`≠b. Вычитая мы получим, что (b-b`)(ai+aj)∈C=> (ai+aj)∈C => aiaj∈C (поскольку b-b`∈R)Тогда обозначим ai+aj=p, ai*aj=q и рассмотрим уравнение из C: x^2-px+q =0a1,2=p+-sqrt(p^2-4q)/2 (формула дискриминанта). Нетрудно заметить, что это выражениепринадлежит С и мы нашли два комплексных корня многочлена f.Шаг 2: f∈Cf(x)=a0+a1x+...+anx^nРассмотрим многочлен f`(x) — такой, что все его коэффициенты сопряжены коэффициентамисходного.Проверим, лежит ли произведение f и f` имеющее вид bn*x^n+...+b1x+b0 в R[x]bk=sum(ai*a`j,i+j=k).
Теперь рассмотримbk`=sum(ai*a`j,i+j=k)`=sum((ai+a`j)`,i+j=k)=sum(a`i*aj,i+j=k) => многочлен равен своемусопряженному (поскольку сложение и умножение коммутативно можно просто поменятьместами i и j) => все коэффициенты вещественные => по ранее доказанному f*f` имеет корень вC. Имеем два варианта: либо этот корень (назовем его α) является корнем f или f`. В первомслучае утверждение доказано.
Во втором же имеем f`(α)=0 = a0`+...+an`α^n. Перейдя ккомплексно-сопряженному многочлену получим f(a`)=a0+...an*α`^n)=0`=0 => a` - комплексныйкорень f.Следствие 1.9.2Над C неприводимыми с точностью до ассоциированности являются многочлены первойстепени и только они.Доказательство:Меньше только константы!Следствие 1.9.3Неприводимыми многочленами над полем R c точностью до ассоциированности являются1)Многочлены первой степени2)Многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.Доказательство:1) Следует из 1.9.2 (Если неприводим над C то и над R неприводим)2)В доказательстве теоремы 1.9 мы получили, что любой многочлен нечетной степени имееткорень в C.
Тогда заметим, что проверить, что многочлен второй степени с отрицательнымдискриминантом не имеет корней нетрудно. Пусть многочлен f над R неприводим (то есть непредставим как произведение многочленов меньших степеней) и имеет степень >2. Тогда егостепень четная (Тогда имеем, что он имеет 2k корней в C). Заметим также, что поскольку все егокоэффициенты вещественные, в частности a0, что означает, что на каждый a∈C, являющийсякорнем f a` тоже им является). В таком случае многочлен можно представить как произведениемногочленов второй степени, корнями которых являются сопряженные комплексные корни. Те всвою очередь не будут являться приводимыми.Тема 2Линейные операторы, собственные значения, Жорданова теория.Пусть V — векторное пространство над полем F, dim V= n.Определение 2.1Линейный оператор на V — линейное отображение φ: V → V.Если e1,...en - некоторый базис V, то [φ]e1,…,en — матрица преобразования φ в базисе e1...enОпределение 2.2Пусть e1...en — базис V («старый»)f1…fn — базис V («новый»)x∈VТогда x=a1e1+...anen=b1f1+...bnfnкоординаты x в первом базисе: [a1,...an], во втором [b1...bn]Чтобы установить связь между этими координатами можно заметить, что векторы f1...fn можноразложить по «старому» базису:f1=t11*e1+...tn1*en…fn=t1n*e1+...+tnn*enИз коэффициентов t(i,j) можно составить матрицу, которая будет называться матрицей переходамежду базисами e1...en и f1...fnПредложение 2.1Пусть T — матрица перехода от базиса e1...en к f1...fn.
Тогда1)Матрица T невырождена.2)[x]f1...fn=T^(-1)[x]e1...enДоказательство:1)x=a1e1+...anen=b1f1+...bnfn=b1(t11e1+...+tn1*en)+...+bn(t1n*e1+...+tnn*en). Теперь мы можемприравнять коэффициенты и получитьai=sum(bj*tij, j=1 to n). Тогда имеем [x]e1...en=T*[x]f1...fn (*) (покоординатное равенство), чтоверно для любого x∈V. Возьмем в качестве x e1...en. Из чего получим, что матрица из этихвекторов (в точности единичная матрица) равна T*X (X — матрица, i- ый столбец которой —образ ei). Нетрудно заметить, что X и есть обратная для T. Домножив (*) на X слева, мыдоказываем второе утверждение.Предложение 2.2Пусть φ: V→ V — Линейный оператор.Пусть T — матрица перехода от базиса e1…en к базису f1...fn.
И B — матрица φ в f1..fn, A — вe1...enТогда B=T^(-1)ATПусть x∈V[φ(x)]e обозначим матричный вид φ(x) в базисе e1...en[φ(x)]e=[φ]e[x]e=A*[x]e[x]f=T^(-1)[x]e[φ(x)]f=B*[x]f=B*T^(-1)*[x]e Тогда имеем, что T[φ(x)]f=TBT^(-1)[x]e=[φ(x)]e=A[x]e.Поскольку мы можем смотреть на умножение матриц как на функции, имеем что A=TBT^(-1), изчего, домножив на обратные получим требуемое тождество.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.Определение 2.3Пусть V — векторное пространство над полем F, dim V=n.
φ: линейный оператор.Вектор v∈V называется собственным вектором оператора φ если v≠0 и существует такое λ∈F,что φ(v)=λvОпределение 2.4Скаляр λ называется собственным значением φ, если найдется такой v∈V, v≠0, что выполненоφ(v)=λvМожно задаться вопросом: как же найти собственные значения и векторы оператора? Пусть А —матрица φ. Заметим что если v — собственный вектор φ, то Аv=λv. (на месте λv можно такжезаписать λΕ). Тогда имеем (А-λΕ)v=0. Имея, что v≠0 мы получаем, что А-λE — вырожденная(действительно, если матрица невырождена, значит она обратима и имеем (A-λE)^(-1)(AλE)*v=E*v=0, что противоречит тому, что v≠0) следовательно |А-λE|=0 и рассматриваяопределитель как многочлен от λ можно найти все собственные значения, чем и мотивируетсяследующееОпределение 2.5|А-λE|∈F[λ] называется характеристическим многочленом матрицы (Обозначается χΑ(λ))ЗамечаниеЕсли Β=Τ^(-1)ΑΤ, то χΑ(λ)=χΒ(λ)Доказательство:|Β-λE|=|Τ^(-1)ΑΤ-λΕ|=|Τ^(-1)ΑΤ-λΤ^(-1)Τ|=|Τ^(-1)(Α-λΕ)Τ|=|Τ||Τ^(-1)|||Α-λΕ|=|Α-λE|Из этого мы можем заключить, что характеристический многочлен не зависит от базиса, вкотором мы рассматриваем матрицу линейного оператора, так что мы можем определитьхарактеристический многочлен линейного оператора, как хар.
Многочлен его матрицы:χφ(λ)=χΑ(λ)Теорема 2.1 (О собственных значениях)Скаляр λ∈F является собственным значением оператора φ <=> λ — корень χφ(λ)Доказательство:Во многом схоже с рассуждениями вышеAv=λv, v ≠0<=> cуществует v≠0: (A-λE)v=0<=>A-λE вырожденная<=>|A-λE|=0<=>λ — кореньχφ(λ)Теорема 2.2 (Гамильтона-Кэли)Пусть А∈Μn(F)cnx^n+...+c1x+c0 — характеристический многочлен матрицы А.Тогда χΑ(А)=0∈Μn(F)Доказательство:Пусть А`=(A-λE)∈Μn(F[λ]), но в частности на нее можно смотреть как на матрицу над полем(Mn(F(λ)), а значит для нее справедливы все утверждения о матрицах над полем. В частностиможем применить теорему о присоединенной матрице:xB=A` =A`(j,i) — матрица алгебраических дополнений.А`*B=|A`|*En= χΑ(λ)En (тк B=det(A)*A^(-1)) (матрица очевидно невырождена, ведь у нее подиагонали стоят aii-λ)B будет иметь вид g(i,j)(λ)∈Μn(F[λ]), где deg g≤n-1 (поскольку вырезается одна строка и столбецмы теряем хотя бы один элемент вида (aii-λ), понижая степень многочлена хотя бы на 1)и g(i,j)=b11+b11*λ+...+b^(n-1)λ^(n-1)Рассмотрим вспомогательные матрицы вида Bi=(b(ij)^i)В таком случае мы можем представить B как B0+B1λ+...+Β(n-1)λ^(n-1)Таким образом A`*B=(A-λΕ)(B0+B1λ+...+Β(n-1)λ^(n-1))=a0+a1λ+...+anλ^nСравним коэффициенты при разных степенях:λ^0:A*B0=a0*eλ^1:-E*B0+AB1=a1*Eλ^2:-E*B1+AB2=a2*E…λ^(n-1):-E*B(n-2)+AB(n-1)=a(n-1)*Eλ^n:-E*B(n-1)=an*EДомножив каждое равенство на A^i, где i- степень λ при этом равенстве и сложим все уравнения.Нетрудно заметить, что слева все слагаемые сократятся (Например A*B0- Α*E*B0=0) А справаполучится требуемый многочлен.
Таким образом имеем что χΑ(Α)=0, что и требовалось.Следствие 2.2.1χφ(φ)=0Инвариантные подпространстваОпределение 2.7Пусть φ: V→ V — линейный оператор, U⊊V — подпространствоU называется инвариантным относительно φ (φ-инвариантным), если для всех u ∈U φ(u)∈UПримерU={0}U=VТривиальные примеры, их доказательство очевидно.Рассмотрим менее тривиальный:v1...vk∈V — собственные векторы оператора φ. Тогда U=L(v1...vk) φ-инвариантно.Доказательство:φ(vi)=aivi, пусть u∈U=L(v1..vk)u=b1v1+...bkvkφ(u)=φ(b1v1+...+bkvk)=b1a1v1+...bkakvk∈L(v1...vk)=UПредложение 2.3Пусть φ: V→ V — линейный оператор, dim V=n.Пространство V имеет k-мерное φ-инвариантное пространство U <=> в некотором базисематрица φ имеет полураспавшийся вид:ΑΒ0Cгде А∈Mk(F), B∈Mk,n-k(F), C∈Mn-k(F)Доказательство:=>Пусть u1...uk — базис U.
Дополним его до базиса V:u1...uk,v(k+1)...knφ(u1)=a11u1+...+ak1uk+0*v(k+1)...+0*vn...φ(uk)=a1ku1+...+akkuk+0*v(k+1)...+0*vnφ(vi)=…Таким образом, строя матрицу в этом базисе, мы получим, что векторы u1..uk перейдут вА0v1.. vn — в оставшиеся два блока (нам не столь важны их значения, но при этом мы знаем, чторазмерности будут соблюдаться по построению)<=Пусть матрица линейного оператора имеет полураспавшийся вид. Покажем, что U=L(e1...ek) —φ — инвариантно:Пусть u=b1e1+...+bkekφ(u)=φ(b1e1+...+bkek)=b1φ(e1)+...bkφ(ek)=b1(a11e1+...a1kek)+...bk(ak1e1+...akkek)∈L(e1...ek), чтои требовалось.Определение 2.8Пусть φ: V → V — линейный оператор, U⊊V — подпространство, инвариантное относительноφ.
Тогда можно определить:φ|U: U→ U, φ|U(u)=φ(u), u∈U;φ`U:V/U → V/U, φ`U(v+U)=φ(v)+UКорректно определенные отображения, которые называются индуцированными операторами.Проверка корректности: TBD.Тогда если u1...uk — базис u, v(k+1)+U,…,vn+U — базис V/U, то [φ]u1...uk,v(k+1),…,vn —полураспавшаяся матрица, где A=[φ|U]u1...uk,, C=[φ`U] v(k+1)+U,…,vn+UСледствиеЕсли V=U1⊕...⊕Um, где Ui — подпространства, инвариантные относительно φ, то в некоторомбазисе матрица [φ] имеет клеточно-диагональный видДоказательство:u11,...u1k =U1 (e(1))u21...u2k = U2 (e(2))…Таким образом блоками матрицы будут [φ|Ui]ei]Полупростой операторОпределение 2.9Пусть φ: V→ V — линейный оператор, dim V=n.Говорят, что оператор φ полупростой, если для всякого φ-инвариантного подпространства U⊊Vнайдется φ-инвариантное подпространство W⊊V, такое, что V=U⊕W.Теорема 2.3Пусть V — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем F.Оператор φ: V → V является полупростым <=> в некотором базисе v1,...vn пространства Vматрица этого оператора диагональнаДоказательство:=>Пусть φ — полупростой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
