1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Говорят что a делит b если существует такое q∈R, чтоb=qa. (ообзначается a|b)Из определения следует чтоa|0. 1|b;a|b => a|bc (b=aq bc=a(qc))ab|ac <=> b|c (=> ac=abq a(c-bq) и т.к в R нет делителей нуля c=bq; <= c=bq => ac=abq)a|b, a|c => a|(b+c) (b=aq, c=ag b+c=a(q+g))Определение 1.6Пусть R- целостное кольцо, a,b∈R. Элемент d∈R (d≠0) называется наибольшим общимделителем (НОД) элементов a и b, если:1)d|a, d|b ∈R2)для любого h ∈R (h≠0) h|a, h|b => h|dЕсли a,b≠0 то элемент c∈R (c≠0) называется наименьшим общим кратным (НОК) элементов a,bесли:1)a|c, b|c2)для любого h∈R a|h, b|h =>c|hЛемма 1.5Пусть a,b∈R.1)Если d1 и d2 — два НОД элементов a,b, то d1~d22)Если d1 — НОД элементов a,b и d2~d1 то d2 — НОД a,b.Доказательство:Доказательство в обе стороны: По определению d1|a, d1|b, d2|a, d2|b <=> d1|d2 и d2|d1 <=> d1~d2(по предложению 1.3)Таким образом можно заключить что НОД единственен с точностью до ассоциированности: этокласс ассоциированых элементов (обозначается (gcd(a,b))Аналогичное утверждение можно доказать для НОК (класс обозначается least common multiple(lcm(a,b)))Основные свойства НОД1)a~a1, b~b1 => gcd(a,b)=gcd(b,b1)2)gcd(a,1)=[1] — множество всех обратимых элементов3)gcd(a,0)=[a] (a≠0)Предложение 1.3Работаем в том же R, a,b ∈R, a,b≠01)a|a2)a|b, b|a <=> a~b3)a|b, b|c => a|cДоказательство:1) a=a*e2)=>Пусть a=bq, b=ag тогда a=agq a(1-gq)=0 и так как в R нет делителей нуля gq=1 тогда имеем что qи g обратимы и как следствие a~b<=a~b, a=bq, q — обратим, но тогда b=aq^(-1)3) a|b, b|c => a|cb=aq, c=bg, c=aqgОпределение 1.7Целостное кольцо называется факториальным (с однозначным разложением на простыемножители), если1)Любой ненулевой необратимый элемент b∈R может быть представлен в видеb=p1...pk, где p1...pk — простые элементы.
(k≥1)2)Данное представление единственно в следующем смысле: еслиb=p1...pk=q1..qm (pi,qj — простые), то k=m и при некотором σ∈Sm pi~qσ(i), i=1...mТеорема 1.3 (Критерий факториальности)Пусть R - Целостное кольцо, удовлетворяющее условию 1 из определения 1.7. ТогдаR является факториальным <=> для любого простого p∈R и любых b,c∈Rp|bc => p|b или p|cДоказательство:=>p|bc => для некоторого a∈R ap=bc, b=b1..bm, c=c1...ck, a=a1...an, где все множители — простые.тогда a1...an*p=b1...bmc1..ck из свойства 2 определения 1.7 (выполняющемся ввидуфакториальности кольца) имеем что p~cj или p~bi но тогда p|c или p|b, что и требовалось.<=Пусть a∈R, a=p1...pn.
Докажем, что если элемент имеет разложение на простое то для неговерно утверждение 2 индукцией по n.n=1a — простое и утверждение верно по определению.n → n+1Пусть a=p1...pn p(n+1)=q1..qk q(k+1), k>=n и все множители простые.По условию p(n+1) делит некоторый qi, с точностью до перестановки можно считать что этоq(k+1) и тогда, поскольку p(n+1) q(k+1) — простые существует некоторый обратимый m, такойчто q(k+1)=mp(n+1)Тогда распишем p1...p(n+1)=q1...qk mp(n+1)pn+1(p1….pn-q1...qkm)=0 => p1….pn=q1...qkm По предположению индукции pi~qσ(i), из чегополучаем требуемое утверждение.Следствие 1.3.1Пусть R — целостное кольцо главных идеалов удовлетворяет условию 1 определения 1.7, тогдаоно факториальноДоказательство:Пусть p|xy и p не делит x то есть НОД(p,x)=1Тогда существуют a,b ∈R: ap+bx=1 но тогда apy+bxy=y и как следствие p|y.Определение 1.8Ненулевые простые элементы целостного кольца R называются взаимно простыми, еслиgcd(a,b)=[1] (то есть нод существует и является обратимым)Предложение 1.4Пусть R — факториальное кольцо, a,b∈R взаимно простыеТогда для любого c∈R1) a|bc => a|c2) a|c b|c => ab|cДоказательство:1)a=p1...pnДокажем индукцией по nn=0a обратимый и значит всегда делит cn=1Это верно по критерию факториальности.n-1 → np1|a значит p1 не делит b ведь иначе p1|gcd(a,b)=1, что невозможно.Значит p1|a|bc => p1|c по критерию факториальности а значит a`=p2...pn|bc`, c=c`p1Поскольку a` и b все еще взаимно просты то a`|c` по предположению индукцииТаким образом a|c что и требовалось.2)gcd(a,b)=1a|c следовательно существует x: c=axb|ax => b|x => x=byc=aby, что и требовалось.Теорема 1.4 (Существование НОД и НОК)В факториальном кольце R всегда существуют НОД и НОК элементов a,b∈R, a,b ≠0Доказательство:Достаточно рассмотреть общие делители:НОД будет произведением общих делителей, а НОК — произведением их первых степеней.(Действовать можно индукцией по числу простых чисел в разложении).Определение 1.9Пусть R — факториальное кольцо, f(x) — ненулевой многочлен deg(f)=n≥0.
НОД всехкоэффицентов многочлена назовем его содержанием и будем обозначать c(f). Если c(f)=1 тобудем называть многочлен примитивным.Пусть F — поле частных кольца R. Тогда мы можем смотреть на любой многочлен f(x)∈R[x] какна многочлен ∈F[x].Теорема 1.5 (Лемма Гаусса)Пусть R — факториальное кольцо, F- его поле частных. f(x),g(x)∈R[x] и g(x) — примитивныймногочлен.
Тогда если f(x) делится на g(x) в F[x], то он делится на него и в R[x]Доказательство:По условию f(x)=h(x)*g(x), h(x)∈F[x]. Представим h в виде a/b*h0, где a,b — взаимно простые,h0∈R[x] а b является общим знаменателем коэффицентов h.Предположим что b необратим Тогда у него есть проcтой делитель p.Тогда представим f(x)=a/b*h0(x)*g(x) или же b*f(x)=a*h0(x)*g(x). Теперь произведем редукциюпо модулю p. Где p — простой делитель b. φ:R → R\(p)Тогда имеем что b*f(x) → 0 при этом φ(a)≠0 (они взаимно просты с b). φ(g(x))≠0 (примитивныймногочлен) φ(h0(x))≠0 (не делится на b по построению).
Но поскольку R факториально получаемпротиворечие ( произведение ненулевых элементов равны нулю, но в R\p делителей нуля нетведь p простое а R- Область целостности.) Тогда b обратим и 1/b=b^(-1) =>a*b^(-1)*h0∈R[x]Следствие 1.5Если f(x) можно разложить в F[x] то это можно сделать и в R[x]Доказательство:Очевидно следует из леммы Гаусса. Многочлен f=g*h => g|f, h|f в F[x] => по лемме Гаусса g|f, h|fв R[x]Определение 1.10 (Классификация многочленов из R[x])Нулевой многочлен: f(x)=0Обратимый многочлен: f(x)=a0, a0 — обратимый элемент из RПростые многочлены:1)многочлен вида f(x)=p, p — простой элемент из R2)Примитивный неприводимый над Q(R) многочленОстальные многочлены называются составными.Теорема 1.6Пусть R — факториальное кольцо.
Тогда R[x] тоже факториально.Доказательство:Докажем выполнение первого условия из определения 1.7Пусть f ∈R[x]. Выделяя НОД многочленов можно считать что f — примитивный.Теперь рассмотрим f как многочлен над F[x], где F=Q(R)Так как F[x] факториально (F - поле), то существует разложение в F[x] f(x)=f1...fnКак и в доказательстве Леммы Гаусса приведем коэффиценты fi к общему знаменателю иполучим f=a*f1...fn, где каждый fi — примитивный, и а=p1...pn — простые из R.Для доказательства факториальности теперь достаточно проверить выполнения условиятеоремы 1.3: p|fg => p|f или p|g1)p∈R[x] и p- неприводимый над F[x]Тогда p|fg в F[x] => p|f или p|g в F[x] ввиду факториальности F[x] и по лемме Гаусса p|f или p|g вR[x]2)Если же p — простое число из R то можно провести переход в f\(p) и получить что (далее [] обозначают класс эквивалентности) [fg]=[f][g] (поскольку отображение — гомоморфизм).
Тогдаимеем что 0=[f][g] и как следствие p|f или же p|g (поскольку либо [f]=0 либо [g]=0).Метод ШтурмаЭтот метод позволяет найти число вещественных корней многочлена.Обычно рассматривается только на семинарах.Почитать про него достаточно подробно можно Здесь (Google drive) и посмотреть презентациюздесь (google drive)Многочлены от нескольких переменныхПереход от кольца R к R[x] называют кольцевым присоединением переменной x. Если же к Rпоследовательно присоединять переменные x1...xn и строить R[x1][x2]...[xn] то получитсякольцо R[x1,x2...xn] состоящее из всех возможных сумм вида a_(a1...an)x1^a1...xn^an (Будемсчитать что допустима любая перестановка множителей xixj=xjxi поскольку такие перестановкине влияют на определение сложения и умножения многочленов. Таким образом R[x1],[x2]...[xn]отождествляется с R[x2],[x1]...[xn] и тд)Определение 1.11Пусть R — целостное кольцо.Многочлен f(x1,...xn)∈R[x1,x2...xn] называется симметрическим, если для любой σ∈Snf(x1...xn)=f(xσ(1),...xσ(n))Симметрические многочлены замкнуты относительно сложения и умножения (то есть образуютподкольцо) а также любой многочлен Ф(f1(x1...xn),...fm(x1...xn))∈R[t1...tm] где fi(x1...xn) —симметрический многочлен будет являться симметрическим.Определение 1.12Степенью одночлена x1^m1...xk^mk∈R[x1,x2...xk] будет m1+...mkПусть f(x1..xn)=sum (a_(m1,...mk)x^m1...xn^mn,(m1...mn≥0)) — ненулевой многочлен изR[x1,x2...xn]Тогда deg f — наибольшая из степеней одночленов.Например многочлен x^3+3x^2+y^7 имеет степень 7Многочлен f(x1...xn) называется однородным, если все входящие в него одночлены имеютодинаковую степень.Например многочлен 3x^3+2x^2y+6y^2x+y^3 — однородный (степени всех его членов равнытрем).Предложение 1.5Любой многочлен f можно записать так: f=f1+f2+...+fk, где fi — однородный многочлен.mi≠mj при i≠j.Доказательство:Напрямую следует из вида многочлена f(x1...xn) представленного в определении 1.12 (в видесуммы одночленов).
Для соблюдения второго условия достаточно объединить одночлены содинаковыми степенями в один многочлен.Лемма 1.6Для любых ненулевых f.g∈R[x1,x2...xn] нд целостным кольцом R выполняется равенство:deg(fg)=deg(f)+deg(g)Доказательство:Из предложения 1.5:f=f1+...fk, g=g1+…gs — fi, gi — однородные, иdeg(f1)>deg(f2)>...>deg(fk), deg(g1)>…>deg(gs). Из этого fg=(f1+...fk)(g1…gs)Далее достаточно проверить выполнение для fi, одночленов и многочленов.ТеоремаПусть R — факториальное кольцо. Тогда кольцо многочленов R[x1,…,xn], n≥1 факториальноДоказательство:Докажем индукцией по nСлучай n=1 был доказан в теореме 1.6n-1→ nКольцо R[x1,..,xn] можно понимать как R[x1,…,x(n-1)][xn].
По предположению индукцииR[x1,..,x(n-1)] факториально, обозначием его как R`. Тогда по теореме 1.6 R`[xn] факториально,что и требовалось.Определим способ сравнения одночленов:Определение 1.13x1^m1x2^m2...xn^mn≼ x1^k1x2^k2…xn^knЕсли существует число i такое что: 1≤i≤n m1=k1,…, m(i-1)=k(i-1), mi≤ki(То есть мы упорядочиваем переменные в требуемом порядке (например x1,x2...xn) а затем ищемпервое различие в одночленах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
