1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 9
Текст из файла (страница 9)
φ^2, то а∈RТеперь покажем, что все собственные значения φ^2≤0Пусть v — собственный вектор φ с.з. аa<v,v>=<φ^2(v),v>=<φ(v),φ*(v)>=-<φ(v),φ(v)>.Поскольку <v,v>>0, а <φ(v),φ(v)>≥0 имеем, что a≤0.Таким образом имеем что если k — с.з.
оператора φ, то k^2 — с.з. φ^2. k^2≤0 → k ∈ iR2)Запишем корневое разложение симметрического оператора φ^2, воспользовавшисьрезультатом прошлой теоремы:V=V0⊕Va1⊕...⊕Vam (Возможно V0=0, сумма является ортогональной)Докажем, что Vai=Ker(φ^2-aiE) является φ-инвариантным:Пусть u — элемент Vai, тогдаφ^2(u)=bi*u => φ^2(φ(u))=φ(φ^2(u))=φ(ai*u)=ai*φ(u)Нетрудно заметить, что t^2(t^2-a1)...(t^2-am) — минимальный для φ (Он аннулирует φ (t^2превращает φ в φ^2, а аi- его собственные значения) и при этом все его множители над Rнеприводимы так как ai<=0)Покажем теперь, что у φ нет ниль слоев длины 2 (то есть можно игнорировать степень t)Предположим, что найдется вектор u φ(u)=v≠0, φ(v)=0Тогда <v,v>=<φ(u),v>=<u,φ*(v)>=-<u,φ(v)>=<u,0>=0, получаем противоречие.Теперь рассмотрим сужение на Vai=Ker(φ^2-aiE)Возьмем u∈Vai длины 1Пусть bi=sqrt(-ai)∈R (Тогда Vai=Ker(φ^2+bi^2E)Положим v=1/bi *φ(u) W=L(u,v) (линейная оболочка векторов u,v)ТогдаW — φ-инвариантное подпространствоБолее того можно заметить, что u и v — ортонормированный базис W и[φ|W]=0 -bibi 0Докажем это:По лемме 3.2 u ┴ vφ(v)=φ(1/bi*φ(u))=1/bi φ^2(u)=ai/bi*u=-bi*u∈W, (т. е.
W — φ-инвариантное)<φ(u),φ(u)>=<u,φ*φ(u)>=-<u,φφ(u)>=<u,φ^2(u)>=-ai<u,u>=bi^2 => |v|=1(поскольку |v|=<v,v>=1/bi^2*<φ(u),φ(u)>=1) (таким образом мы показали что базис u,v ортонормированный)φ(u)=biv∈WДалее выбираем u`∈Vai\W длины 1 (если такой найдется), строим W`А затем, продолжая в таком же духе мы построим ОНБ для каждого Vai, что нам и требуется.Теперь рассмотрим общий случай:Теорема 3.10 (Канонический вид нормального оператора)Пусть φ, φ*: V → V, F=R, φφ*=φ*φСуществует ОНБ, в котором матрица [φ] является клеточно-диагональной (вещественной), гдекаждая клетка имеет вид [g] (клетка 1x1 с собственным значением g) илиа -bb aДоказательство:1)Для начала сформулируем несколько утверждений о операторах (некоторые даны бездоказательства, поскольку их нетрудно проверить):Любой оператор φ можно записать как s+c, где s=φ+φ*/2 — симметрический оператор, c=φ-φ*/2— кососимметрический оператор (проверить нетрудно, посчитав c*, s*)2)Также нетрудно доказать, что φ нормален <=> cs=sc3)Помимо этого докажем, что если а+bi — с.з.
φ, то а — с.з. s и bi — с.з. cφ(u)=(a+bi)uВ таком случае φ*(u)=(a+bi)`u=(a-bi)us(u)=φ(u)+φ*(u)/2=((a+bi)+(a-bi))/2*u=au, Для с аналогично4)Из за перестановочности sc=cs W=Ker(s-aE) c-инвариантно:Пусть w∈W, тогда s(w)=aw. Поэтому s(c(w))=sc(w)=cs(w)=c(aw)=ac(w) => c(w)∈W5)Если а — собственное значение s, то существует bi — такое что bi — c.з. c и a+bi — сз φ.Сужение c|W имеет собственный вектор u∈W с некоторым собственным значением βi, котороележит в W и поэтому одновременно будет и собственным вектором для s с собственнымзначением a. Поэтому φ(u)=(s+c)(u)=s(u)+c(u)=au+biu=(a+bi)uТеперь рассмотрим ядерное разложение симметрического оператора sV=⊕a=Re(b),b∈Sp(φ)Ker(s-aE)(Сумма ортогональная, слагаемые c-инвариантны по пункту 3)Рассмотрим конкретное слагаемое W=Ker(s-aE)По теореме о каноническом виде кососимметрического оператора найдется ОНБ W, в которомматрица [c|W] состоит из клеток вида [0] либо0 -bb 0В этом же базисе матрица s|W диагональна и по диагонали стоит аПоэтому [φ|W]=[s|W]+[c|W] имеет вид, указанный в теореме.Объединяя Ортонормированные базисы слагаемых получим требуемый ОНБ V.Теперь займемся конкретнее ортогональными/унитарными операторамиТеорема 3.11 (Определение ортогонального/унитарного оператора)Пусть V — евклидово/унитарное пространство и φ: V→ V — линейный операторТогда следующие условия эквивалентны:1)φ сохраняет скалярные квадраты2)φ сохраняет скалярные произведения3)φφ*=Ε4)φ переводит ОНБ в ОНБДоказательство:1=>2<u+av,u+av>=<φ(u+av),φ(u+av)> =><u,u>+a`<u,v>+a<v,u>+aa`<v,v>=<φ(u),φ(u)>+a`<φ(u),φ(v)>+a<φ(v),φ(u)>+aa`<φ(v),φ(v)>=>a`<u,v>+a<u,v>=a`<φ(u),φ(v)>+a<φ(v),φ(u)>Положив а=1, получим<u,v>+<v,u>=<φ(u),φ(v)>+<φ(v),φ(u)> (*)Если V — евклидово пространство, то (*) превращается в равенство 2<u,v>=2<φ(u),φ(v)>Если же V унитарное, то подставим a=i (и делим на i)-<u,v>+<v,u>=-<φ(u),φ(v)>+<φ(v),φ(u)> (**)Складывая (*) и (**) получим <u,v>=<φ(u),φ(v)>2=>3Имеем, что для любых u,v∈V <u,v>=<φ(u),φ(v)> => для любых u,v∈V <u,φ*φ(v)>=<u,v>=> для любых u,v∈V <u,φ*φ(v)-v>=0.
Подставив u=φ*φ(v)-v => для любого v∈V <φ*φ(v)v,φ*φ(v)-v>=0 => для любого v∈V φ*φ(v)=v => φ*φ=Ε3=>4Пусть e1...en — ОНБРассмотрим φ(e1)...φ(en)Поскольку φφ*=Ε то φ невырожден и следовательно переводит базис в базис.Имеем также, что <φ(ei),φ(ej)>=<ei,φ*φ(ej)>=<ei,ej>4 => 1Пусть e1..en - ОНБu=a1e1+...+anenВ ОНБ скалярное произведение стандартное <u,u>=a1a1`+...+anan`Тогда φ(u)=a1φ(e1)+…По условию φ(e1),…,φ(en) — тоже ОНБ. Значит и в нем скалярное произведение стандартное.<φ(u),φ(u)>=a1a1`+...+anan`Теорема доказана.Следствие 3.11.1Во всех утверждениях про про нормальную форму, данных выше если матрица подобияявляется ортогональнойможно писать вместо QAQ^(-1) QAQTТеорема 3.12 (Канонический вид ортогонального оператора)1)Характеристические корни ортогонального/унитарного оператора по модулю равны единице(или же спектр лежит на единичной окружности).2)Если А — ортогональная матрица, то найдется ортогональная матрица Q: QAQT=K, Где Kсостоит из клеток вида [1], [-1] илиcos(a) -sin(a)sin(a) cos(a)Доказательство:Поскольку любой ортогональный оператор является нормальным, то достаточно проверитьутверждение 1(Утверждение 2 будет из этого следовать тк если |a+bi|=1 то это сз можно представить какcos(x)+i*sin(x), a=cos(x), b=sin(x)Пусть а — с.з.φ(u)=auφ*(u)=a`uu=Eu=φφ*(u)=φ*(au)=a`au => aa`=1, что и требовалось.Сингулярное и полярное разложение матрицТеорема 3.13Пусть A∈Mm,n(F), где F=R (или F=C)Тогда найдутся такие матрицы P,B,Q, чтоA=PBQ`TP∈Mm(F), Q∈Mn(F) — ортогональные (или унитарные)B=(s1 0 0 0 … 00 s2 0 0 … 00 0 s3 0 … 00 0 … … 0 0)bii=si≥0Такое разложение называется сингулярным разложением А.Числа s1≥s2≥… называются сингулярными числами А.Доказательство:Будем рассуждать на языке линейных преобразований: Поскольку матрица А=[φ] для некотороголинейного преобразования φ: V→ UТо можно определить φ:v → A*vφ*:u → A`T*uТогда φφ* - самосопряженный оператор U ((φφ*)*=φ**φ*), а φ*φ — самосопряженный операторVТогда докажем существование ОНБ v1...vm в V и u1...un в U, такого, чтоφ(vi)=si*ui, i≤min(m,n) или φ(vi)=0, а φ*(ui)=si*vi или φ*(ui)=0Пусть v1,...vm — ОНБ из собственных векторов φ*φφ*φ(vi)=aivi, vi≠0Мы знаем, что ai∈RПомимо этого ai<vi,vi>=<aivi,vi>=<φ*φ(vi),vi>=<φ(vi),φ(vi)>, таким образом ai≥0Тогда положим si=sqrt(ai), i≤n=dim UИ упорядочим их таким образом, что s1≥s2≥… (при этом v1,...vm переставятся.Положим ui=φ(vi)/|φ(vi)|, при i≤r=rk(A)=rk([φ])|φ(vi)|=sqrt(<φ(vi),φ(vi)>)=sqrt(<φ*φ(vi),(vi)>)=sqrt(ai)=siТаким образом количество построенных векторов (обозначим r) равно количеству ненулевых siПри этом φ(vr+1),…,φ(vm)∈Ker(φ)<ui,uj>=<φ(vi)/|φ(vi)|,φ(vj)/|φ(vj)>=<φ*φ(vi),vj>/si*sj=ai/sisj*<vi,vj>, и поскольку векторы сразными собственными значениями ортогональны то <vi,vj>=1 при i=j и 0 в противном случае.Получается, что мы построили ортонормированный набор векторов u1...ur.
Дополним его доОНБ u1...unПо построению все наши базисы согласованы.Теперь, дабы перейти к матричной форме возьмем P=(v1...vm) — матрица со столбцами v1...vm,Q=(u1...un) — матрица со столбцами u1...unТеорема доказана.Следствие 3.13.1 (Полярное разложение)Любой линейный оператор φ евклидова/эрмитова пространства V имеет левое полярноеразложение.φ=rsГде r, ортогональный/унитарный, s — самосопряженный с неотрицательным спектром.Доказательство:A=PBQT=(PQ)^(-1)(QBQ^(-1))Норма линейного отображенияОпределение 3.8Нормой линейного отображения φ: V→ U называется sup{|φ(v)|/|v|: v∈V, v≠0}(Обозначается ||φ||)Покажем теперь, что sup достигается и таким образом является максимальным коэффициентомискажения длины вектора.Для начала обсудим свойства нормы:1)|φ(v)|≤||φ||*|v| (Следует если в определении нормы домножить на |v|)2)||φ||≥0 (следует из того, что длина вектора - неотрицательная величина)||φ||=0<=>φ=0 (поскольку верхняя грань отношения двух неотрицательных величин 0, точислитель всегда 0 => φ — нулевой оператор)3)||φ||=sup(φ(v)|v∈V, |v|=1}<∞Поскольку сфера |v|=1 компактна, то непрерывная функция v→ |φ(v)| на ней ограничена и внекоторой точке достигает максимума4)||φ+ψ||≤||φ||+||ψ||Пусть |v|=1Тогда ||φ+ψ||=sup(|φ(v)+ψ(v)|)≤sup(|φ(v)|)+sup(|ψ(v)|)=||φ||+||ψ||5)||φψ||=||φ||*||ψ|||v|=1||φψ||=sup(|φ(ψ(v))|)≤sup(||φ||*|ψ(v)|=||φ|| sup(|ψ(v)|)=||φ||*||ψ||6)||λφ||=λ||φ|| (Очевидно из определения)7)φ(v)=av, v≠0 → |a|≤||φ|||a|≤|φ(v)|/|v|Теорема 3.14 (О значении нормы)||φ||=s1Доказательство:Пусть v1...vm — онб из векторов φ*φ (c с.з.
s1^2,…,sm^2)Пусть x=a1v1+...+amvm∈V<φ(x),φ(x)>=<φ*φ(x),x>=<φ*φ(a1v1+...+amvm),x>=<a1s1^2v1+...+amsm^2vm,x>=a1s1^2a1`+...+amsm^2am`≤s1^2(a1a1`+a2a2`+...+amam`)=s1^2<x,x>=>s1≥|φ(x)|/|x| (извлекаем квадратный корень из полученного равенства) для любого x∈V иравенство достигается при x=v1Тема 4Квадратичные формыОпределение 4.1Пусть V — конечномерное пространство над полем F, причем характеристика поля F≠2Тогда квадратичной формой на V называется такое отображение f:V → F, что f(-x)=f(x) для всехx∈V;Функция Ф:V x V → F, заданная правилом Ф(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y) является билинейнымотображением (то есть линейна по каждому аргументу)Отображение Ф(x,y) называется линеаризацией или поляризацией квадратичной формы f.Например в евклидовом пространстве V с оператором φ: V→ V f(x)=<φ(x),x> - квадратичнаяформа на VПредложение 4.1Пусть f — квадратичная форма на VТогда1)f(0)=02)f(x)=1/2 Ф(х,х) для всех x∈V3)f(ax)=a^2f(x) x∈V, a∈FДоказательство:1)0=Ф(0,0) (по свойству билинейности)Ф(0,0)=f(0+0)-f(0)-f(0)=-f(0)=0 => f(0)=02)-Ф(х,х)=f(x-x)-2f(x)=-2f(x)3)f(ax)=1/2Ф(ax,ax)=a^2*1/2Ф(x,x)=a^2f(x)Определение 4.2f:V→ F — квадратичная формаФ: V x V → F — линеаризация формы F.Зафиксируем базис e1…en пространства VОбозначим aij=1/2Ф(ei,ej)∈F,A=(aij)∈Mn(F) — симметрическая матрица (А=A^T)А называется матрицей квадратичной формыПредложение 4.2Пусть А=(aij) — матрица квадратичной формы f в базисе e1...en.
Тогда для любого вектора x∈Vс координатами[x]=[x]e1...en=(x1,...xn) выполняется равенство:f(x)=sum(aijxixj, i,j=1 to n)=[x]T*A*[x]То есть f(x)=sum(aiixi^2, i=1 to n)+sum(2aijxixj, 1≤i<j≤n) — однородный многочлен степени 2 отпеременных x1...xnДоказательство:f(x)=1/2Ф(х,х)=1/2Ф(х1e1+...+xnen,х1e1+...xnen)=1/2 sum(xi,xj Ф(ei,ej))=1/2 sum xi*xj*aijТеорема 4.1Пусть f — квадратичная форма на пространстве V:A — матрица формы f в базисе e1...enB — матрица формы f в другом базисе f1...fnТогда B=TtAT, Где T — матрица перехода от e1...en к f1...fnДоказательство:[x]e=T[x]ff(x)=[x]TeA[x]e=(T[x]f)TA(T[x]f)=[x]Tf(TtAT)[x]fПеред тем как перейти к следующей теореме вспомним формулы сокращенного умножения:(x+y)^2=x^2+2xy+y^2x^2-y^2=(x-y)(x+y)Теорема 4.2 (Алгоритм/метод Лагранжа диагонализации квадратичной формы)Для любой квадратичной формы f на пространстве V найдется такой базис пространства V, вкотором матрица формы f диагональна.Доказательство:Пусть f(x)=sum(aij*xi*xj, from i,j=1 to n), aij=ajiПроведем доказательство индукцией по nn=1 f(x)=a11x1^2, матрица уже диагональна.Докажем n-1 → nПредположим для начала, что f содержит квадрат неизвестного, например а11≠0Тогда выделим все слагаемые, содержащие x1f=a11x1+2a12*x1*x2+...+2a1n*x1*xn+…Воспользовавшись формулой сокращенного умножения приведем к квадрату суммы:a11^(-1)(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2-a11^(-1)(a12^2*x2^2+2a12*a13*x2*x3+...+a1n^2*xn^2)+sum(aij*xi*xj, from i,j=2 to n)Заметим, что вторая строчка этого выражения не зависит от x1, обозначим ее через f1f=a11^(-1)(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2+f1(x2,...xn)Сделаем замену переменных:y1=(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2y2=x2...yn=xn(В матричном виде мы домножим на матрицу T, где на первой строке стоят а1j а остальная частьдиагональна с единицами)Очевидно T в таком случае обратима (она невырождена).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
