1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Докажем, индукцией по n=dim V:n=1: матрица очевидно диагональна (имеет вид 1x1)n-1 → nИмеем, что его характеристический многочлен имеет корень a из F (так как F алгебраическизамкнуто) => a — собственное значение => существует вектор v∈V: φ(v)=avЗаметим, что U=L(v) — φ-инвариантное подпространство. Значит по определению полупростогооператора существует φ-инвариантное подпространство W: V= U⊕W.Из следствия имеем, что в некотором базисе e матрица φ имеет клеточно диагональный вид:где 1 строку занимает [φ|U]=a, все остальные (n-1 строку) занимает [φ|W]. Для нашегоутверждения достаточно проверить, что φ|W — полупростой оператор.Пусть U` - φ|W инвариантное подпространство W.
Тогда заметим, что на W φ|W=φ => U` φинвариантно.Тогда V=U`⊕W` для некоторого φ-инвариантного W` и тогда W=U`⊕(W⋂W`), что и требовалосьпоказать.Таким образом по предположению индукции существует некоторый базис v2...vn, в котором [φ|W] имеет диагональный вид, а значит v,v2,...vn — требуемый базис.<=Пусть матрица оператора в некотором базисе e диагональна.Нетрудно заметить, что одна будет иметь диагональный вид в базисе v1...vn из собственныхвекторов (в самом деле, i-ый вектор будет умножаться на ii-ый элемент матрицы, следовательнобудет собственным вектором с собственным значением ii-ым элементом матрицы, значит всебазис векторы в этом базисе будут собственными.)Будем рассматривать именно этот базис.Возьмем φ-инвариантное пространство U размерности k и индукцией по n-k покажем, чтосуществуетё φ-инвариантное W, такое что V=U⊕Wn-k=0 => U=V => W={0}n-k-1 → n-kПусть U=L(u1..uk), k<nТогда хотя бы один из векторов базиса v1...vn не выражается через u1..uk (иначе U=V).
Пустьнапример, это вектор vi) Заметим, что U`=L(u1...uk, vi) — φ — инвариантное подпространстворазмерности k+1 (это нетрудно проверить: u1..uk образуют φ-инвариантное подпространство, аφ(vi)=avi => любой вектор с vi в его линейной комбинации все еще лежит в U`). Тогда попредположению индукции существует φ-инвариантное W`: V=U`⊕W`, тогда возьмемW=L(vi)⊕W`, что и требовалось.Нильпотентный операторОпределение 2.10Линейный оператор φ: V→ V называется нильпотентным, если найдется такое N≥1, что φ^N=0Минимальное такое Ν называется «индексом нильпотентности» (или ниль-степенью) φ.Аналогичное определение для нильпотентной матрицы.Предложение 2.4Следующие условия эквивалентны для линейного оператора φ: V→ V, dim V=n1)φ - нильпотентный2)χφ(a)=(-a)^n3)φ^n=0Доказательство:1 => 2Пусть φ — нильпотентный оператор ниль степени Ν (наименьшее число, удовлетворяющееусловию)Рассмотрим его матрицу в некотором базисе (назовем ее А).
В некотором расширении поля Fхарактеристический многочлен разлагается на линейные множители (λ1-a)...(λn-a) - всесобственные значения с учетом кратности. Для каждого λi в этом расширении существует nмерный ненулевой столбец xi, такой что А*xi=λi*xi. Однако имеем, что Α^n*xi=λi^n*xi=0 =>λi^n=0 => λi=0. Тогда имеем, что все собственные значения — нулевые и как следствие χφ(a)=(a)^n (все λi попросту занулились)2=>3По теореме Гамильтона-Кэли χφ(φ)=0 тогда (-φ)^n=0=φ^n3=>1Очевидно (это и есть определение нильпотентного оператора)Из этого следует, что матрица является нильпотентной тогда и только тогда ее спектр равен (0,…,0)Определение 2.11Пусть φ: V→ V — нильпотентный оператор.v, φ(v), φ^2(v),…,φ^N-1(v)≠0 называется ниль-слоем длины N, если φ^N(v)=0Определение 2.12Жорданова таблица — это таблица, которая состоит из ниль-слоев, имеющих общую нижнююгоризонтальную границу (то есть могут быть разной высоты, но нижний элемент всегдарасположен на одном уровне с остальными). Причем последние элементы слоя (φ^s-1(v)=κ)всегда являются собственными векторами с собственным значением 0, поскольку φ(κ)=0)Определение 2.13Элементарными преобразованиями жордановой таблицы являются:1)Перестановка столбцов2)умножение столбца на ненулевой скаляр3)Прибавление к столбцу высоты s нижнего отрезка высоты s другого столбца (второй столбецдолжен быть большей или той же высоты), умноженного на скаляри исключение нулевых векторов сдвигом столбца вниз.Лемма 2.1 (О элементарных преобразованиях жордановой таблицы)Элементарные преобразования Жордановой таблицы не меняют линейную оболочку ее векторови сохраняют ее свойство быть жордановой.Доказательство:1)Очевидно2)Линейная оболочка не изменится, что все слои, кроме измененного останутся ниль слоямиочевидно.
По линейности нетрудно проверить, что каждый элемент измененного столбцаполучается из другого действием φ.3)Линейная оболочка вновь не изменится (проверить не составляет труда). Утверждение про всеслои, кроме измененного очевидно. То, что каждый элемент измененного столбца получается издругого действием φ можно проверить по линейности (φ(u+βv)=φ(u)+βφ(v). Однако можетвозникнуть ситуация что u+βv=0. Для этого мы сдвигаем все нулевые векторы, сдвигая столбецвниз на количество получившихся нулевых векторов. Отсюда проверить не составит труда.Лемма 2.2Если набор векторов в нижней строке жордановой таблицы линейно независим, то и все векторажордановой таблицы линейно независимы.Доказательство:Предположим противное: Тогда некоторые из векторов жордановой таблицы можно выразитьчерез линейную комбинацию других ее векторов. Выберем вектор «максимальной высоты» стаким свойством и предположим, что линейная комбинация произвольна: wk=a*v+… (линейнаякомбинация остальных векторов), где a≠0 и v находится выше wk.
В таком случае имеем, чтоv=1/a*wk-1/a*… получаем противоречие. Таким образомwk будет записан только как линейная комбинация векторов находящихся не выше него втаблице. Обозначим вектора на одном уровне с ним как vk(1)...vk(s) и распишем:wk=a1vk(1)+...asvk(s)+...+ (линейная комбинация векторов из строк ниже).Подействуем на это выражение φ^(k-1) раз. Все векторы из строк ниже перейдут в 0, а векторыиз строки, в которой находится wk (в том числе он сам) перейдут в векторы, находящиеся внижней строке. Мы все еще получили Жорданову таблицу (легко проверить, что определение ненарушается) и тогда получаем противоречие, поскольку все векторы в последней строке поусловию линейно независимы. Лемма доказана.Определение 2.14Базис называется жордановым (или ниль-базисом), если вместе с вектором v он содержит весьниль-слой с началом в v.Теорема 2.4 (О жордановом базисе)1)Векторное пространство V относительно нильпотентного оператора φ имеет Жорданов базис.2)Число ниль слоев длины p в этом базисе не зависит от выбора базиса и равно r(p-1)-2rp+r(p+1),где rp=dimφ^p(V)Доказательство:Пусть v1..vn — базис VРассмотрим жорданову таблицу:v1,v2...vnφ(v1), φ(v2)…φ(vn)…φ^k1(v1), φ^k2(v2),…,φ^kn(vn)1)Нетрудно заметить, что линейная оболочка ее векторов совпадает с V.
Таким образом мыпоказали, что хотя бы одна такая таблица существует.Выберем жорданову таблицу с наименьшим числом вектором, линейная оболочка которойсовпадает с V. Расположим ее столбцы по невозрастанию с помощью элементарныхпреобразований. Теперь нам достаточно показать, что столбцы линейно независимы, а для этогопо лемме 2.2 достаточно проверить линейную независимость нижней строки (назовим вектораоттуда u1...uk). Предположим противное:пусть u1..uk линейно зависимы, значит естьнетривиальная линейная комбинация, равная нулю. Выберем ненулевой коэффициент с самымбольшим индексом (пусть это будет us). Тогда us=b1u1+...b(s-1)u(s-1)+...bkukСовершим элементарное преобразование Жордановой таблицы так, чтобы us стал равен 0.
Дляэтого прибавим к s-тому столбцу первый столбец, умноженный на b1, 2, умноженный на b2 и такдалее… Заметим, что таблица все еще останется Жордановой, Линейная оболочка векторов всееще будет равна V, но в таблице будет на 1 вектор меньше, получим таким образом противоречиес тем, что мы взяли таблицу с наименьшим числом векторов, удовлетворяющих этомутребованию, значит набор u1..uk линейно независим и следовательно вектора таблицы образуютбазис, но поскольку этот базис полностью состоит из ниль слоев.
То это Жорданов базис, что итребовалось.2)Вернувшись к нашей таблице обозначим за s1 число ниль слоев длины 1, s2 — число нильслоев длины 2 и так далее…Выписав явно базисы v, φ(v), φ^2(v)…r0=dim V=s1+2*s2+3*s3+…r1=dim φ(V)=s2+2*s3+…r2=dim φ^2(V)=s3+...Теперь будем вычитать из каждого выражения соседнее и вычитать разности из друг друга ((r0r1)-(r1-r2)-...) Нетрудно заметить, что получится требуемое равенство.Какой же вид имеет матрица в данном базисе?Чтобы ответить на этот вопрос занумеруем векторы, находящиеся в ниль-слоях сверху вниздвигаясь по слоям слева направо: то есть нижний вектор первого ниль слоя будет e1, следующийза ним сверху будет e2 и так далее… таким образом, если в ниль слое k векторов мы получимkxk матрицу вида.0 1 0… 0001…0……...00…0(Тк φ(e1)=0, φ(e2)=e1...)Следующая «клетка» будет иметь аналогичный вид, и будет иметь размер sxs, где s —количество векторов в следующем ниль слое.Обозначим теперь U1=L(v1...vk), U2=L(v(k+1)...v(k+s)(векторы второго ниль-слоя)Из этого можем заключить что V=U1⊕U2⊕...⊕Uk, причем можно заметить, что всеподпространства φ-инвариантны (поскольку все базисные векторы каждого подпространства —элементы одного ниль-слоя).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
