1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Теперь применим предположениеиндукции для f1 и получим f=a11^(-1)*y1+f1(x2...xn)=a11^(-1)*y1+b2*z2^2+...bn*zn^2Однако также возможен случай, что aii=0 для любого i. Тогда выберем ненулевой коэффициент,например пусть a12≠0По аналогии получимf=2x1(a12x2+...+a1nxn)+f1(x2,…,xn)Сделаем замену переменных:y1=x1y2=a12x2+...+a1nxn-x1y3=x3,…,yn=xn(В матричном виде домножаем на невырожденную T вторая строчка имеет вид -1, а12,.. и востальных строчках единицы на диаг.)После замены f=2y1(y1+y2)+f1(y1,…,yn)=2y1^2+2y1y2+f1(y1,...yn), где f1 не содержитслагаемых вида ay1^2 (также вспомним, что характеристика поля не равна 2)Таким образом мы свели задачу к предыдущему случаю.Теорема 4.3 (Формулы Якоби)Пусть в некотором базисе е1.. еn матрица формы f равна А.
Обозначим за Δ1, Δ2… Δn —угловые (главные) миноры матрицы А (В миноре Δi есть i элементов главной диагоналиматрицы А). Δ0=1Допустим, что все Δi≠0 для i=1,…,nТогда в некотором базисе h1...hn матрица формы имеет вид Β=diag(Δ1/Δ0, Δ2/Δ1…,Δn/Δ(n-1))Доказательство:Наше доказательство будет основано на алгоритме Лагранжа из предыдущей теоремы и мытакже будет вести его индукцией по nn=1, f(x)=a11*x1^2, Δ1=a11, Δ0=1 и утверждение, по сути, доказано.n-1 → nΔ1=a11≠0, поэтому будет действовать по алгоритму Лагранжа:Проделаем шаги из предыдущего доказательства:f=a11^(-1)(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2-sum(a1i*a1j/a11*xi*xj from i,j=2 to n)+sum(aij*xi*xj from i,j=2 to n)= a11^(-1)(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2+sum(aij-a1i*a1j/a11*xi*xj, from i,j=2 to n)Далее мы обозначали второе слагаемое за f1, делали заменыy1=(a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn)^2y2=x2...yn=xnи получали квадратичную форму от меньшего числа неизвестных.f1(x2,...xn)=sum(aij-a1i*a1j/a11*xi*xj, from i,j=2 to n)=sum(bij*xi*xj, from i,j=2 to n)Записав в матрицу мы получим B=(aij-a1i*a1j/a11, i,j=2 to n)Расширим эту матрицу, добавив одну строчку из (a1j, j=1 to n) и столбец, в котором везде кромесамого верхнего элемента (там стоит а11) стоят нулиНазовем полученную матрицу CМожно заметить, что i-ая строка этой матрицы выражается через строки матрицы А:эта строка равна (i)-a11^(-1)*a1i*(1) (строки матрицы А)Δ1(C)=a11=Δ1(A)Δi(C)=Δi(A)=a11Δ(i-1)B≠0По преположению индукции для f1 существует требуемая замена.
Коэффициент при i-омквадрате f1 (он же коэффициент при i+1 квадрате для f) равен Δi(B)/Δ(i-1)(B)=Δ(i+1)(A)/Δi(A)Определение 4.4Пусть F=R — поле вещественных чиселV — n-мерное векторное пространство над R, n <∞f: V → R — квадратичная формаВ некотором базисе e1..en пространства V матрица формы f имеет вид А=diag(b1,..bn) (это вернопо предыдущим теоремам)То есть f(x)=b1x1^2+...bnxn^2 x=x1e1+...+xnen∈V, причем мы будем считать b1..bs>0,b(s+1)...br<0, b(r+1)...bn=0, 0≤s≤r≤nСделав заменуxi=1/sqrt(|bi|)*yi, i=1..rxi=yi, i=(r+1)..nПолучим f(x)=y1^2+...ys^2-y(s+1)^2-...-yr^2этот вид формы f называется нормальным видом.Теорема 4.41)Любая квадратичная форма f на векторном пространстве размерности n над R приводитсяневырожденным преобразованием к нормальному видуf(x)=y1^2+...ys^2-y(s+1)^2-...-yr^22)числа r и s зависят только от формы f.В таком случае r — ранг формы, s - положительный индекс инерции формы, r-s —отрицательный индекс инерции формы, s-(s-r) — сигнатура формы.Доказательство:То что форма приводима к нормальному виду следует из предыдущих теорем и определения 4.4Докажем вторую часть утверждения.Для этого предположим противное:Пусть f=xtD1x=ytD2y=x1^2+...xs^2-x(s+1)^2-...-xr^2=y1^2+...yt^2-y(t+1)^2-...-yr^2, причем s<tПусть T — матрица перехода, так что TtD1T=D2 (именно поэтому мы написали и в обеих частяхпредыдущего равенства r, поскольку ранг матрицы (а это и есть r) при умножении наневырожденную матрицу не меняется.)Перепишем равенство:x1^2+...+xs^2+y(t+1)^2+...+yr^2=y1^2+...yt^2+x(s+1)^2+...xr^2 (*)Рассмотрим систему линейных уравнений от y1..yn:x1=t11y1+...+t1nyn=0 (tij — коэффициенты матрицы перехода)…xs=ts1y1+...+tsnyn=0y(t+1)=...=yn=0Число уравнений=s+(n-t)=n-(t-s)<n, поскольку n — число неизвестных, то существует ненулевоерешение (a1...an)Подставив его в (*) мы получим 0=a1^2+...+at^2+x(s+1)^2(a1...an)+...+xr^2(a1...an)>0 (посколькуа1...аn — ненулевое решение).
Получаем противоречие(xi^2(a1..an) — точка, вычисленная в старом базисе от а1...аn, слева ноль поскольку там стоятэлементы xi, которые мы зануляли и элементы от y(t+1) до yr, которые мы тоже взяли равныминулю в нашей системе.)Определение 4.5Пусть F=R — поле вещественных чиселV — n-мерное векторное пространство над R, n <∞Квадратичная форма f называется положительно определенной, если f(v)>0 Для всех v∈V, v≠0Обозначается f>0Теорема 4.5 (Критерий Сильвестра)Пусть f — квадратичная форма на n-мерном векторном пространстве V над полем R.
Пустьматрица формы f в некотором базисе равна А.Δ1...Δn — угловые миноры матрицы А.f>0 <=> Δi>0 для всех i=1...nДоказательство:=> Если Δi=0 для некоторого i, То рассмотрим форму fi=fi(x1...xi) от первых i переменных сматрицей Δirank (Δi)<i значит в нормальной форме fi будут нулевые слагаемые то есть существует ненулевойвектор (x1_0...xi_0) такой что fi(x1_0,...xi_0)=0 Ясно, что f(x1_0,...xi_0,0...0)=0.
Противоречие.Тогда все Δi≠0По теореме 4.3 в некотором базисе координатная запись имеет вид f=Δ1/Δ0 y1^2+Δ2/Δ1y2^2+...+Δn/Δ(n-1)yn^2. Ясно, что все коэффициенты должны быть >0<= По теореме 4.3 нормальный вид f равен x1^2+...xn^2. Ясно, что такая форма положительноопределена.Теорема 4.6 (Приведение квадратичной формы к главным осям)Пусть V — евклидово пространство dim V=n;f: V→ R - квадратичная формаНайдется такой ортонормированный базис V, в котором матрица f диагональнаДоказательство:Пусть e1...en — онб и А — (симметрическая) матрица f в этом базисе, то есть f=f(x)=xtAxНайдется ортогональная матрица Q такая, что А=Q^(-1)DQ=QtDQ (т. е.
Они конгруэнтны), где Dдиагональная (Ведь А симметрическая)Поэтому в онб fi=Q^(-1)ei — матрица f равна DКоэффициентами при квадратах будут собственные значения А.Рассмотрим несколько «экстремальных» задач для квадратичных форм, в которых нам сильнопоможет приведение к главным осям.Задача 1Пусть f — квадратичная форма на евклидовом пространстве R^n. Найти максимальное иминимальное значение этой формы на единичной сфере.РешениеПриведем форму f к главным осям: тогда имеем что наибольшее значение будет достигаться привекторе (0,...1,..0) — вектор, который «означивает» переменную, коэффициентом которойявляется наибольшее сз матрицы А единицей, а остальные — нулями.Задача 2Пусть f — квадратичная форма на евклидовом пространстве R^n, M — множество элементовR^n, таких что f(x)=1. Найти максимальное и минимальное расстояние от нулевого вектора доточек множества MРешениеПриведем форму f к главным осям.
Тогда условие примет вид a1y1^2+….+anyn^2=1Рассмотрим два возможных случая: есть ai и aj разных знаков, либо все ai>0 (при всех ai<0 мыне получим)Рассмотрим сначала второй случай1)Найдем минимальное сз ai, означим все x, кроме xi 0, а его обозначим xi=1/sqrt(ai). Получимнаибольшее расстояние, при этом функция равна 1.С минимальным с точностью До наоборот (максимальное сз и минимальное расстояние)2)Случай с разными знаками (пусть ai>0, aj<0)Означим все xk кроме xi, xj нулями.
Заметим что для любого означивания xi найдетсяозначивание xj Такое что ai*xi^2+aj*xj^2=1. Следовательно максимальное расстояние найтиневозможно.Минимальное расстояние с другой стороны найти возможно тем же алгоритмом, что бы описанранее (ведь положительные числа ограничены снизу, а длина векторачё — ненулевоеположительное число).Задача 3Пусть f и g — квадратичные формы на евклидовом пространстве R^, nричем f>0. Найтимаксимальное и минимальное значения формы g на множестве точек, в которых значение f равно1:Решение:1)Пусть f(x)=x1^2+...+xn^2=xT*E*xПриведем g к главным осям: x=Qy, Q - ортогональнаяТогда g(x)=a1y^2+...+anyn^2, будем считать a1≤...≤ang(x)=xT*Ax, f(x)=xT*E*xf(x)=xT*Ex=(Qy)T*Qy=yT*QT*Q*y=yT*E*y=y1^2+….+yn^2 (То есть матрица приортогональных преобразованиях не меняется)f(x)=1= y1^2+….+yn^2g(x)=a1(y1^2+...+yn^2)+(a2-a1)y2^2+...+(an-a1)yn^2 => f(x)≥a1 на x∈M (подчеркнутая сумма неменьше нуля тк сумма квадратов и потому как мы выстроили сз)Возьмем y1=1, yi=0 (i≥2)g(xi)=ai, xi=Q(0,...1,…,0) — i-ый столбец QСледовательно min=a1, max=an (мы отсортировали по возрастанию)2)Пусть теперь f — произвольная положительно определенная квадратичная формаНайдется невырожденное преобразование x=Ty: f(x)=y1^2+...+yn^2ранг это положительный индекс инерции=nM={x∈R^n|f(x)=1}M`={y∈R^n|x=Ty∈M}={y∈R^n|y1^2+...+yn^2=1}g(x)=g(Ty)=g`(y)Теперь требуется найти минимум и максимум g`(y) на M`, но эта задача уже решена в пункте 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
