1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564)
Текст из файла
Высшая Алгебра (2 семестр)Предисловие:Все это лишь список определений и доказательств, его мало для понимания курса (а для сдачиэкзамена, да и занятий математикой, понимание - это важно), поэтому ходите на лекции ипишите свои конспекты, этот же советую использовать как справочник и сборник утвержденийподготовки к экзамену.Отдельно большое спасибо моим однокурсникам с 2 потока 1 курса ММФ НГУ в 2019-2020 годаза поддержку и помощь в составлении и уточнении этого конспекта(Извиняюсь за обозначения, они могут быть максимально непонятными, в частности значоктранспонирования может быть как АT так и At (Обычно из контекста понятно, но тем неменее.))Тема 1Многочлены (продолжение)Напомним что F[x] обозначается кольцо многочленов над полем F.Также вспомним что любой многочлен f единственным образом представим в виде f=qg+r, гдеdeg(r)< deg(g).
Наибольшим общим делителем многочленов f и g называется многочлен d,делящий f и g такой что если h(x) делит f и g, то он делит d (обозначается gcd(f,g))Лемма 1.1Пусть f,g,h ∈F[x] — ненулевые многочлены, gcd(f,g)=1. 0≤deg(h)<deg(fg)Тогда найдется единственная пара многочленов u,v∈F[x], таких что fu+gv=h deg u< deg g, deg v<deg f.Доказательство:Из следствия алгоритма Евклида мы знаем, что существуют такие многочлены a,b чтоf*a+g*b=1(*).
Умножив на h получим что a*h=c, b*h =d и при этом f*c+g*d=h (**). Теперьпозаботимся о степенях: разделим c на g с остатком и получим c=q*g+u (deg u< deg g). Тогдаполучаем что (**)=f*u+g*(fq+d)=h. Взяв fq+d=v покажем что это именно нужный наммногочлен.Напомним, что deg(h)≤max(deg(fu),deg(gv)) (по определению суммы многочленов) и deg (h)<deg(fg)=deg(f)+ deg(g). Пусть deg(v)≥deg(f). Тогда получим что deg(gv)>deg(fu) (ведь deg(g)>deg(u))и как следствие deg(h)=deg(gv)≥deg(fg), и получаем противоречие.Покажем единственность разложения: Предположим что существует два разложения,удовлетворяющие условиям: fu+gv=h=fu`+gv` Тогда f(u-u`)=g(v`-v);Домножим обе части * на (u-u`): f(u-u`)*a+g*b*(u-u`)=u-u` => g(v`-v)*a+g*b*(u-u`)=u-u` =>g((v`-v) *a+b*(u-u`))=u-u` заметим однако что в получившемся равенстве справа стоитмногочлен степени меньше g (по условию), а следовательно поскольку степень многочленасомножителя g не меньше 0 то u-u`=0 и u=`u Но из этого получаем что (v`-v)*g=f*0, нопоскольку делителей нуля в кольце многочленов нет то v`=v.Теорема 1.1Пусть p1...pn∈F[x] — попарно взаимно простые многочлены (n≥2)h∈F[x], 0≤deg(h)<deg(p1…pn)Обозначим Q=p1…pnQi=Q/pi=p1...p(i-1)p(i+1)...pnТогда найдется единственный набор u1..un∈F[x] что Q1u1+...Qnun=h и deg ui<deg piДоказательство:Докажем индукцией по nБазис индукции верен по лемме 1.1Докажем переход n → n+1 Возьмем p:=p(n+1)Нашей целью будет найти разложение Q1*u1+...Qn*un+Q(n+1)*u(n+1)=h.
Что можнопреобразовать в p(Q1/p*u1+...Qn/p*un)+p1…pn*u(n+1)=h (приводим к такому виду посколькупри n+1 p(n+1) изначально присутствует в Q, но мы будем использовать предположениеиндукции для тех Q, в которых p(n+1) не присутствует)Заметим что p1...pn,p — взаимно простые по условию. Тогда по лемме 1.1 существуютединственные многочлены u и v такие что p*u+(p1*…pn)*v=h. Причем deg u< deg(p1...pn) итаким образом по предположению индукции есть единственный набор u1…un∈F[x] такой чтоu=Q1*u1+...Qn*un (Qi из условия, их тут n штук), таким образом получаем что p( Q1/p*u1+...Qn/p*un)+(p1*…pn)*v=h взяв u(n+1):=v получаем требуемое утверждение.Определение 1.1Пусть F — поле.
Обозначим F(x)=Q(F[x]) (поле частных кольца F[x]) и назовем это поле полемрациональных функций. Все многочлены этого поля имеют вид f/g и называются дробями,равенство которых задается также как и в любом поле частных. Определим deg(f/g)=f-g . Будемназывать дробь правильной если deg(f/g)<0, несократимой если gcd(f,g)=1Предложение 1.1Любая дробь единственным образом представима в виде несократимой дроби.Разложение рациональной функции на простейшие дробиОпределение 1.2Дробь f/g называется простейшей если f/g=u/q^k, где q — неприводимый над F многочлен, k≥1 иdeg u< deg qТеорема 1.2Любая рациональная функция φ∈F(x).
разлагается единственным образом в сумму многочленаF[x] и простейших дробей: φ=f/g=q+sum(ui/pi^ki, i), где deg ui<deg pi и pi неприводимы над F.Доказательство:Для начала представим функцию в виде многочлена и правильной дроби, затем покажем чтополученная правильная дробь представима в виде правильных дробей с знаменателями q^m, азатем разложим эти дроби на простейшие.1)Представим f в виде qg+r 0≤deg(r)<deg(g). → f/g=q+r/g, причем r/g - правильная дробь.Докажем что такое разложение единственно: предположим что q+r/g=q1+r1/g1 →q-q1=r1g-rg1/gg1→ deg(q-q1)=deg(r1g-rg1)-deg(gg1)<0(поскольку deg(r1g-rg1)≤max(deg(r1g), deg(-rg1)=max(deg(r1)+deg(g), deg(r)+deg(g1)<deg(g)+deg(g1)) → q-q1=0 из чего следует искомое равенство.2)Представим g= p1^n1*...*pk^nk, Где pi- неприводимые, различные, унитарные (коэффицентперед старшей степенью равен единице) многочлены (например можно найти его корни иоставшийся многочлен будет неприводим в F).Обозначим gi как g/pi^kiЗаметим что по теореме 1.1 существуют ui такие что g1*u1+...+gk*uk=1 причем deg(ui)<deg(gi)В таком случае r*1/g=r*(g1*u1+...+gk*uk)/g =r*u1/p1^n1+…+r*uk/pk^nk.
Для каждой дроби изсуммы повторим шаг 1 и получим что r/g=q1...qk+r1/p^n1+… rk/p^nk. Приведя их к общемузнаменателю получим дробь a/p^n (все дроби нужно привести к общему знаменателю) й3)Представим разложение a/p^n (дроби из шага 2) на простейшие дробиВыполним деление с остатком на pa=pq1+r1q1=p*q2+r2…q(m+1)=p*qm+rmТаким образом имеем что a=pq1+r1 =p(p*q2+r2)+r1=...=p^m*qm+p^m-1*rm+...p*r2+r1Поскольку a/p^n — правильная то deg(a)<deg(p^n)=n*deg(p)a/p^n=p^m*qm+m^m-1*rm+...p*r2+r1/p^n=q^m/p^(n-m)+rm/p^(n-m+1)+…r2/p^n-1+r1/p^nЗаметим что deg (ri)<deg p по построению, следовательно все дроби с ri простейшие.
Также dega=m*deg(p)+deg qm<n deg(p) и как следствие deg qm<(n-m) deg (p). Разложение получено.Теперь осталось лишь доказать единственность разложения:Пусть q+sum(ui/pi^kj i,j)=φ=q`+sum(ui`/p`i^k`j, i,j)Чтобы количество дробей в разложении совпадало добавим в то, в котором меньше дроби снулевыми числителями.Тогда заметим что q-q`=sum-sum`Докажем вспомогательноеПредложение 1.2Сумма правильных дробей — правильная дробь.Доказательство:Пусть f/g, f1/g1 — правильные дроби. Тогда deg(f)<deg(g), deg(f1)<deg(g1)f/g+f/g1=f*g1+f1*g/g*g1 заметим что deg( f*g1+f1*g)=max(deg(f)+deg(g1),deg(f1)+deg(g))<deg(g)+deg(g1)Продолжение теоремыИз предложения 1.2 следует что deg(sum-sum`)<0 => q=q` и как результат sum=sum`Тогда рассмотрим элементы aij=uij-u`ijДокажемУтверждениеЕсли (a11/p1...a1n/p1^n)+...+(ak1/pk+...+akn/pk^n)=0 то все aij=0Доказательство:Приведем суммы в скобках к общему знаменателю.
Затем обозначим их hi, а черезgi=prod(pj^n,j)/pi^n=p1^n,…,p(i-1)^n,p(i+1)^n,…,pk^nТогда (h1*g1+...+hk*gk)/p1^n*...*pk^n=0 => h1*g1+...+hk*gk=0. По теореме 1.1 это разложениеединственно и следовательно каждый hi=0Иными словами a11*p1^(n-1)+a12*p1^(n-2)+...+a1n=0 deg(aij)<deg(pi), значит deg(a1j)<deg(p1)deg(a11)<(n-1)deg(p1) и при этом deg(a12)+(n-2)deg(p1)<deg p+ deg (n-2)p1=(n-1)deg p1 (и поаналогии с другими).Из чего мы получаем что deg(a11*p1^(n-1)) — наибольшая в h1 и других слагаемых с такойстепенью нет, и из этого уже (поскольку h1=0 и p1≠0 по построению) получаем, что a11=0.Аналогичными рассуждениями получаем что aij=0, что и требовалось.Кольца с однозначным разложением на простые множителиВсе рассматриваемые в этой главе кольца предполагаются целостными.Напомним что элемент кольца называется обратимым (регулярным), если он имеет обратный поумножению.Лемма 1.2Пусть R — целостное кольцо b,c ∈ R.1)если bc обратим, то обратимы и b и c2)Если b и c обратимые то bc обратимДоказательство:1)существует a: bc*a=1 b*(c*a)=1 → b^(-1)=c*a.
Для с аналогично2)bc*c^(-1)*b^(-1)=1Определение 1.3Элементы b и c целостного кольца R называются ассоциированными если b=ac, где a —некоторый обратимый элемент R.(обозначение в этом разделе b~c)Лемма 1.3~ - отношение эквивалентностиДоказательство:Рефлексивность: a=1*aСимметричность: b=ac; c=a^(-1)*bТранзитивность: b=ac c=kd a^(-1)*b=kd b=akd ak обратим по лемме 1.2Определение 1.4Пусть R — целостное кольцоa∈R, a≠0 необратима называется составным если a=bc, где b и c необратимые.В противном случае a называется простым.Элементы любого целостного кольца R делятся на непересекающиеся классы :нулевой элемент;обратимые элементы (включая единицу)простые элементысоставные элементыЛемма 1.4Пусть b~c, Тогда1)b — обратимый <=> c обратимый2)b — простой <=> c простой3)b - составной <=> c составнойДоказательство:1)=>b=ac c= a^(-1)*b → по лемме 1.2 c обратим<= следует из леммы 1.22)=>b=ac.
Пусть c не простой. Тогда имеем что c составной (остальные случаи тривиальны). Тогдаc=c1*c2 и имеем что b=a*(c1*c2) заметим что a*c1 все еще необратим и тогда получаемпротиворечие с тем что b — простой.<=с=a^(-1)*b, и аналогично случаю =>.3)=>b=ac=b1*b2 но тогда c=a^(-1)*b1*b2 причем a^(-1)*b все еще необратим по лемме 1.2 и искомоеразложение получено.<=b=a*c1*c2 причем a*c1 необратим по лемме 1.2Определение 1.5Пусть R - целостное кольцо; a,b∈R, a≠0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
