1611672498-b082a4eafcd0b0c8bc02a14802c37024 (826564), страница 8
Текст из файла (страница 8)
[v] — координаты вектора v в базисе e1...enНетрудно вспомнить, что φ: v → [v] изоморфизм векторных пространств V и F^nПроверим утверждение о скалярном произведении:[u]=a1...an [v]=b1..bnто есть u=a1e1+...an en, v=b1e1+...bnen<u,v>=<a1e1+...anen,b1e1+...+bnen>=sum_i sum_j ai bj`<ei,ej>=sum_i aibi`<ei,ei>=sum_i aibi`.это и есть стандартное скалярное произведение.Следствие 3.2.1Пусть e1...en — ортонормированный базис пространства V, v∈V. Тогдаv=<v,e1>e1+<v,e2>e2+...+<v,en>enОпределение 3.3Пусть V — евклидово или унитарное пространство, S⊊V.Тогда S┴={v∈V|<u,v>=0 для всех u∈S} называется ортогональным дополнением кподмножеству S в V.Предложение 3.2 (Основные свойства ортогонального дополнения)1){0}┴=V, V┴={0}2)Для любого S⊊V S┴ является подпространством в V3)Если U⊊V — подпространство, то V=U⊕U┴Доказательство:1){0}┴={v∈V|<0,v>=0}=V<v,V>=0 => v=02)Докажем, что если x,y∈S┴, то ax+by∈S┴:u∈S, <u,ax+by>=a`<u,x>+b`<u,y>=0, что и требовалось.3)По условию U — подпространство, пусть e1...er — его ортонормированный базис.
Дополнимего до ортонормированного базиса e1...er, e(r+1)...es. Заметим, что если u∈U, То для j>r<u,ej>=0.Также по определению следует что набор e(r+1)..es линейно независимый. Покажем егомаксимальность: Пусть v∈U┴ => v=a1e1+...as*es=<v,e1>e1+...+<v,es>es=<v,e(r+1)>e(r+1)...+<v,es>es => V=U+U┴. Подсчет размерностей показывает, что эта сумма является прямой, что итребовалось.Линейные функционалы, сопряженные отображения.Определение 3.4V — конечномерное векторное пространство над полем F.Линейное отображение φ: V→ F называется линейным функционалом на V (F рассматриваетсякак в.п. размерности 1 над V).Пространство Hom(V,F) всех линейных функционалов на V обозначается V*, называетсядуальным к V (также двойственным/сопряженным).Dim V*=dim VПримерПусть V — евклидово/унитарное пространство над полем F, u∈V.
Тогда отображение<*,u>:V → F; v→ <v.u>, v∈V.Является линейным функционалом на V.(Если u1≠u2, то <*,u1>≠<*,u2>, они отличаются на u1-u2.)Определение 3.5Пусть V, U — конечномерные векторные пространства над полем F.φ:V → U — линейное отображение.
Для любого f∈U* (f: U → F) построим g∈V*: g(v)=f(φ(v)),v∈V — g - линейный функционал.Отображение U* → V*, действующее по правилу f → g, обозначим φ*φ*(f)(v)=f(φ(v)), v∈V, f∈U*.φ* называется сопряженным отображением к φ.Утверждениеφ* - линейное отображение.Доказательство:Для всех v∈V, f1,f2∈U*, a,b∈Fφ*(af1+bf2)(v)=(af1+bf2)(φ(v))=af1(φ(v))+bf2(φ(v))=(aφ*(f1)+bφ*(f2))(v)Теорема 3.3Пусть V — евклидово или унитарное пространство.Любой линейный функционал φ на V имеет вид φ=<*,u> для подходящего u∈V.Доказательство:Пусть e1..en — ортонормированный базис. Пусть u=φ(e1)`e1+...+φ(en)`en. Если v=v1e1+...vnen тоφ(v)=v1φ(e1)+...+vn φ(en) из чего имеем <v,u>=<v1e1+...vnen, φ(e1)`e1+...+φ(en)`en>=sum(vi*φ(ej)``<ei,ej>,i,j) (двойное сопряжение из за выноса скаляра из правогоэлемента скалярного произведения)=sum(viφ(ei),i)=φ(v), что и требовалось.Следствие 3.3.1Пусть V — евклидово или унитарное пространство.Существует взаимно однозначное соответствие между векторами пространства V и линейнымифункционалами из V*:Любому вектору u∈V соответствует функционал <*,u>Любому функционалу соответствует вектор u=sum(φ(ei)`ei∈V,i) (e1...en — ортонормированныйбазис V)При этом вектор u не зависит от выбора базиса:Доказательство:Приведем доказательство третьего пункта:Если <v,u>=φ(v)=<v,u`>, то Для любого v <v,u-u`>=0 => u-u`=0Это взаимно однозначное соответствие позволяет отождествлять пространства V и V*(Над полем R это соответствие — изоморфизм, а над полем С — нет) (поскольку изоморфизмявляется линейным отображением, а скаляры из правого множителя будут выноситься каксопряженные)Для любого линейного отображения φ: V→ U сопряженное отображение φ*:U* → V*Можно рассматривать как отображение U→ V:φ*U* → V*↑↓U → VДля всякого элемента u∈U однозначно определен v∈V такой, чтоφ*(<*,u>)=<*,v>Или же, что то же самое <x,v>=<φ(x),u> для любого x∈VОбозначим это отображение φ*: u → vМы хотим показать, что φ* линейно, иными словами, что φ*(av+bu)=aφ*(u)+bφ*(u).Заметим тогда, что <v,φ*(u)>=<φ(v),u> (x=v, а φ*(u)=v, поскольку φ*: u → v) (это равенствоочень важно)Таким образом имеем <v,φ*(au1+bu2)>=<φ(v),au1+bu2>=a`<φ(v),u1>+b`<φ(v),u2>=(v,φ*(au1))+<v,φ*(bu2)>Определение 3.6U,V - евклидовы или унитарные пространства бφ: V → U — линейное отображениеφ*: U* → V*e1...en — ортонормированный базис Vf1...fm — ортонормированный базис UA=[φ]e,f — матрица оператора φ в этих базисах.Теорема 3.5[φ*]f,e=[φ]`Τ e,f (транспонированная и комплексно-сопряженная).
Важно: базисы должны бытьортонормированными!Доказательство:Смотрим на (i,j) Элемент матрицы слева:φ(fj)=a1je1+...+aij*ei+...+anj*enТеперь смотрим на (i,j) элемент матрицы [φ]Τ e,f, который равен (j,i) элементу матрицы [φ] e,fφ(ei)=b1i*f1+...+bji*fj+...+bni*fnПокажем, что подчеркнутые элементы совпадают (после сопряжения):aij`=<ei,a1j*e1+...+aij*ei+...+anj*en>=<ej,φ*(fj)>=<φ(ei),fj>=<φ(ei),bj1*f1+...+bji*fj+...+bni*fn>=bjiТеорема 3.4Пусть φ: V → U — линейное отображение.
Тогдаφ(V)┴=ker(φ*)Доказательство:x∈φ(V)┴ <=> для любого v∈V 0=<φ(v),x>=<v,φ*(x))<=>φ*(x)=0Следствие 3.5.1 (Альтернатива Фредгольма)Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=bЛибо эта система имеет решение при любом b, либо система ATz=0 имеет ненулевое решение (z— другой набор переменных, поскольку вообще говоря матрица прямоугольная)Доказательство:Пусть ATz=0 имеет только нулевое решение.Тогда 0=ker(AT)=Ker(A*)=Im(A)┴ (В вики в формулировке вместо AT A* а нынешнеедоказательство не похоже на правду)U=Im(A)⊕Im(A)┴ => U=Im(A) (Таким образом мы показали что для любого вектора b найдетсявектор x такой что Ах=b)Предложение 3.3 (Основные свойства сопряженного оператора)Пусть V — евклидово или унитарное пространствоφ1, φ2: V → V - линейные операторы1)(φ1φ2)*=φ2*φ1*2)(φ*)*=φ3)(aφ1+bφ2)*=a`φ1*+b`φ2*4)Пусть U ⊊ V — подпространство, инвариантное относительно φ.
Тогда U┴ инвариантноотносительно φ*Доказательство:1)<v,(φ1φ2)*(u)>=<(φ1φ2)(v),u>=<φ1(φ2(v)),u>=<φ2(v),φ1*(u)>=<v,φ2*φ1*(u)>2)<(φ*)*(v),u>=<v,φ*(u)>=<φ(v),u>3)<v,(aφ1+bφ2)*(u)>=<((aφ1+bφ2)(v),u>=a<φ1(v),u>+b<φ2(v),u>=a<v,φ1*(u)>+b<v,φ2*(u)>=<v,(a`φ1*+b`φ2*)(u)>4)Пусть x∈U, v∈U┴.
Тогда <x,φ*(v)>=<φ(x),v>=0Нормальные операторыОпределение 3.7Пусть V — евклидово или унитарное пространство.φ: V→ V — линейный оператор, φ*: V→ V — сопряженный оператор.φ называется нормальным оператором, если он перестановочен со своим сопряженным:φφ*=φ*φПример (Основные классы нормальных операторов)Пусть А=[φ] в ОНБ. По теореме 3.5 мы знаем, что [φ*]=φ`Τ (транспонированная и комплексносопряженная)В таком случае основными классами являются:На евклидовых пространствах:1)Симметрический: φ*=φ (ΑΤ=Α)2)Кососимметрический: φ*=-φ (АТ=-А)3)Ортогональный: φ*=φ^(-1) (ΑΤ=Α^(-1)На унитарных пространствах:1)Эрмитов: φ*=φ (ΑΤ=Α`)2)Косоэрмитов: φ*=-φ (АТ=-А`)3)Унитарный:φ*=φ^(-1) (ΑΤ=Α`^(-1)Без уточнения пространства:1)Самосопряженный: φ*=φ2)Косой: φ*=-φЛемма 3.1Пусть φ — линейный нормальный операторТогда1)f(φ) — нормальный для любого f∈F[x]2)Если ψ: U → U — сужение φ на φ-инвариантное подпространство U (ψ=φ|U), то1)ψ*=φ*|U2)ψ — нормальный.Доказательство:1)φφ*=φ*φ=> φ^iφ*^j=φ*^jφ^i для любых i,j (можно переставлять операторы по одному) Но поопределению произведения многочленов мы имеем, что f(φ)f(φ*)=f(φ)f(φ)*=f(φ)*f(φ)2)Пусть τ=φ*|UТогда имеем <u,ψ*(v)>=<ψ(u),v>=<φ(u),v>=<u,φ*(v)>=<u,τ(v)> => ψ*=φ*|UНормальность ψ очевидно следует из этого равенства (ψψ*(u)=φφ*(u)=φ*φ(u)=ψ*ψ(u))Теорема 3.6 (Основные свойства нормального оператора)1)Если u — собственный вектор нормального оператора φ с собственным значением а, то u —собственный вектор оператора φ* с собственным значением a`.2)Собственные вектора нормального оператора, соответствующие различным собственнымзначениям ортогональны.Доказательство:1)По условию φ(u)=au, u≠0Рассмотрим ψ=φ-αΕ=(x-a)|φПо лемме 3.1 ψ — нормальныйПричем ψ*=φ*-a`E*=ψ*-a`E, заметим, что ψ(u)=0 (φ(u)-a(u)=0)0=<0,0>=<ψ(u),ψ(u)>=<u,ψ*ψ(u)>=<u,ψψ*(u)>=<ψ*(u),ψ*(u)> =>ψ*(u)=0=> φ*-a`E(u)=0 => φ*(u)=a`u2)Пусть a≠b — собственные значения, соответствующие u и v≠0φ(u)=au φ*(u)=a`uφ(v)=bv φ*(v)=b`va<u,v>=<au,v>=<φ(u),v>=<u,φ*(v)>=<u,b`(v)>=b<u,v> =>(a-b)<u,v>=0 => <u,v>=0Теперь нашей задачей является выбрать ортонормированный базис, в котором матрицаоператора имеет простой вид.Далее будем обозначать спектр φ как Sp(φ)Для F=R мы будем действовать следующим образом: разберем ключевые случаи, в каждом изних анализируя расположение спектра, затем приведем формулировку на языке ядерногоразложения, а затем приведем канонический вид матрицы (в ОНБ).Далее будем считать V унитарным пространством, F=C — алгебраически замкнутым полем, аφ: V → V — нормальный линейный оператор.Теорема 3.7Существует ортонормированный базис из собственных векторов φВ этом базисе матрица φ диагональнаДоказательство:Докажем индукцией по n=dim Vdim V=1: любой оператор нормален, матрица любого оператора в любом базисе диагональна.n-1 → nПусть а1 - корень χφ.
Тогда а1 — собственное значение φ (Поскольку F=C).Пусть v1 — собственный вектор φ. Нормируя его получим e1φ(e1)=a1e1Тогда имеем, что U=L(e1) — φ-инвариантно.Помимо этого из нормальности оператора φ следует, что φ*(e1)=a1`e1 => U φ*-инвариантно.Из предложения 3.3 имеем, что U┴ {φ,φ*} - инвариантно, следовательно ψ=φ|U┴ - нормальныйоператор.При этом помним, что dim U┴=n-1 (V — прямая сумма U и U┴)По индукции в U┴ есть базис e2..en из собственных векторов.Поскольку e1 ортогонален всем этим векторам и к тому же является нормированным, то имеем,что базис e1...en является искомым.(Эту теорему можно также понимать как утверждение о ЖНФ: ЖНФ матрицы нормальногооператора диагональна (то есть все клетки размера 1x1)Следствие 3.7.1Имеем линейный оператор φ на унитарном пространстве Vφ является нормальным <=> в V существует ортонормированный базис, состоящий из с.в.
φ.Доказательство:=>Напрямую следует из теоремы<=В этом базисе матрица φ диагональна, матрица φ* ввиду ортонормированности базиса такжедиагональна (по диагонали стоят сопряженные элементы) и поскольку диагональные матрицыкоммутируют получаем φφ*=φ*φφ — симметрический, F=R.Теорема 3.8 (канонический вид симметрического оператора)1)Sp(φ)⊊R2)Существует ОНБ из собственных векторов φ (в котором матрица φ диагональна)Доказательство:1)Для начала рассмотрим все над C.φ(v)=ava<v,v>=<av,v>=<φ(v),v>=<v,φ*(v)>=<v,φ(v)>=<v,av>=a`<v,v>следовательно а=а`∈R2)Поскольку мы показали, что все корни характеристического многочлена лежат в R, то мыможем вести доказательство как в прошлой теореме.Теперь рассмотрим кососимметрический оператор φ=-φ*: V→ V, F=RДля начала докажем одно вспомогательное утверждение:Лемма 3.2φ — кососимметрический <=> для любого v∈V v┴ φ(v)Доказательство:<=0=<φ(u+v),u+v>=<φ(u),u>+<φ(u),v>+<φ(v),u>+<φ(v),v>=<φ(u),v>+<φ(v),u>=<φ(u),v>+<u,φ(v)>(поскольку пространство R евклидово) =<φ(u),v>+<φ*(u),v>=0 => φ(u)=-φ*(u)=><φ(u),u>=<u,φ*(u)>=-<u,φ(u)>=-<φ(u),u> → <φ(u),u>=0Теорема 3.9 (канонический вид кососимметрического оператора)1)Sp(φ)⊊iR2)V=Ker φ ⊕Ker(φ^2+a1^2E)⊕...⊕Ker(φ^2+am^2E)(Ортогональная прямая сумма)3)Существует (согласованный с этим разложением) ОНБ, в котором матрица [φ] имеет клеточнодиагональный вид, где каждая клетка либо [0] либо имеет вид0 -аа 0Доказательство:1)Докажем, что φ^2 — симметрический (нормальный по лемме 3.1)<φ^2(u),v>=<φ(u),φ*(v)>=-<φ(u),φ(v)>=<u,φ*φ(v)>=<u,φ^2(v)>Имеем по предыдущей теореме, что если а — с.з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
