bilety_iidu (825971)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Билет11.Определенный интеграл с переменным верхним пределомЕсли функция () интегрируема на отрезке [; ], то для любого , ≤ ≤ , существует интеграл() = ∫ () , (∗) который называется интегралом с переменным верхним пределом.Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределомПусть функция () интегрируема на отрезке [; ] и непрерывна в некоторой точке этого отрезка. Тогдафункция (∗) дифференцируема в точке , и ′ () = ().ДоказательствоДостаточно доказать, что lim (|(+Δ)−()ΔΔ→0(+Δ)−()|1ΔΔx+Δ(∫− ()) = 0. (∗∗)1x+Δ− ()| = |Δ (∫+Δ() − ∫+Δ1(() − ()) )| ≤ Δ ⋅ |∫() )| =|Δ|Δ2если |Δ| < . Это означает справедливость (∗∗). Теорема доказана.Формула Ньютона-ЛейбницаЕсли функция () непрерывна на отрезке [; ], и Φ() — какая-либо первообразная этой функции науказанном отрезке, то ∫ () = Φ() − Φ().ДоказательствоОдной из первообразных функции () является () = ∫ () ; Φ() − ∫ () = .∫ () Подставим сюда = и получим, что = Φ().

Поэтому= Φ() − Φ().При = получаем требуемую формулу. Теорема доказана.2. (, , ′ ) = , - независимая переменная, () - неизвестная функции. Уравнение первого порядказаписывается так:y’=f(x,y)Интегральная кривая - график решения геометрически неопределённого интеграла, представляющего собойсемейство «параллельных» кривых y = F(x)+ C. График каждой кривой и называется интегральной кривой.Общее решение уравнения - такое соотношение Ф(, , 1, 2, … , ), что любое решение =(, 1, 2, … , ) относительно - частное решение уравнения;Частное решение - любая n раз дифференцируемая функция = (),обращающая уравнение на этоминтервале в тождество.Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. В окрестности т-ки нарушается сущ.

иединственность решения задачи Коши → точку (0 ; 0 ) называют особой точкой дифференциальногоуравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность - особое решение.Билет2Теорема об интегрировании заменой переменнойПусть функция дифференцируема на промежутке 1 и взаимно однозначно отображает его на промежуток 2,причем ′() ≠ 0 для ∀ ∈ 1. Пусть, далее, функция определена на 2. Тогда, если на промежутке 1∫ (())′ () = () + , то на промежутке 2 ∫ () = ( −1 ()) + , где −1 () – функция,обратная к функции ().Доказательство′1Из условия теоремы следует, что функция −1 () дифференцируема, и (−1 ()) =−1 ()).′(′((−1 ())) = ′(−1 ()) ⋅ (−1 ())′ =(( −1 ()))⋅( −1 ()) ′ (−1 ())= ()Теорема об интегрировании по частямПусть функции и дифференцируемы на промежутке , и функция ′ ⋅ имеет на этом промежуткепервообразную.

Тогда ∫ ′ = − ∫ ′ .Доказательство ( ⋅ )′ = ′ + ′ . ∫ ′ = ∫(( ⋅ )′ − ′ ) = − ∫ ′ .2.Пусть правая часть уравнения [] = () с постоянными коэффициентами имеет вид () = () . Вчастности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа являетсяфункция () = (() cos + ( )sin ) у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы.

Справедливследующий результат.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью данногоспециального вида имеет частное решение () = (() cos + ( )sin ), где k - кратность корняα+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы,подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).Билет3Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения ).

= 2 ∫ ()√1 + ( ′ ())2 .ДоказательствоПусть кривая , имеющая уравнение = (), вращается вокруг оси . Разобьем на части и впишем внее ломаную так, как это было сделано при изучении длины дуги кривой. = (1 + 2 ) , где 1 , 2 – радиусыоснований конуса, – длина его образующей.Так же, как при выводе формулы длины дуги в декартовых координатах, можно получить, что =√1 − ′( )2 ∆ . Тогда = 2( )√1 − ′( ).Площадь поверхности вращения = ∑=1 2( )√1 − ′( ) ; = 2 ∫ () √1 − ( ′( ) )2 .2. (, , ′ ) = , - независимая переменная, () - неизвестная функции.

Уравнение первого порядказаписывается так: ’ = (, ).Интегральная кривая - график решения геометрически неопределённого интеграла, представляющего собойсемейство «параллельных» кривых = () + . График каждой кривой и называется интегральной кривой.Частное решение - любая раз дифференцируемая функция = (), удовлетворяющая этому уравнению, т.е.обращающая уравнение на этом интервале в тождество.Теорема Коши. (, ) в области непрерывна и имеет непрерывную частную производную ′ (, )→ длялюбой точки (0 ; 0 ) ∈ в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи∫ () −11πρ²(ξᵢ)→∞21−1ПримерПусть =01∫−1 3√( 2 −1)=∫ ()и разбиением явл. = −1 < 0 < 1 = 1∫−1 + ∫0 , оба последних инт. сходятся => () =2.

Определение. Линейно независимые и зависимые системы функцийДва решения уравнения 1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке [а, ], если ихотношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если 2 ≠ 1В противном случае решения называются линейно зависимыми.Пример .Пусть имеем уравнение у"—у~0. Легко проверить, что функции ех, е-х, Зех, 5е-х являются решениямиэтого уравнения. При этом функции ех и е-х линейно независимы на любом отрезке, так как ихотношение ех / е-х = е2х не остается постоянным при изменении х. Функции же ех и Зех линейнозависимы, так как Зех / ех = const.Определение. Вронскиан1 2Если y1 и y2 являются функциями от x, то определитель (1, 2 ) = | ′ ′ | = 1 2′ − 2 1′12Называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.Теорема (О вронскиане линейно зависимых функций)Если функции y1 и у2 линейно зависимы на отрезке [а, b] то определитель Вронского на этом отрезкетождественно равен нулю.ДоказательствоЕсли по свойству зависимости, 2 = 1, где = , то2′ = 1′ и :1 21 1 1| = | ′ ′ | = 0(1 , 2) = | ′ ′ | = | 1′1 1′1211Билет6ОпределениеСовокупность всех первообразных функции f (x) (на некотором промежутке) называетсянеопределенным интегралом и обозначается ∫ () , при этом символ ∫ называется интегралом, ()подынтегральной функцией, () подынтегральным выражением, – переменнойинтегрирования.Свойства1.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциалнеопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:(∫ () )′ = (); (∫ () )′ = (() + )′ = ′ () + ′ = (); ∫ () = () . ∫ () = (∫ () )′ = () .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции ипроизвольной постоянной:∫ ′() = () + . (() + )′ = ′ ().3. Постоянный множитель, отличный от нуля, можно вынести за знак неопределенного интеграла:( ∫ () )′ = (∫ () )′ = ().∫ () = ∫ () , ≠ 0.4. Неопределенный интеграл от суммы двух (или большего числа) функций равен сумменеопределенных интегралов от слагаемых:∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .

(∫ () + ∫ () )′ = () + ().5. Свойство линейности: ∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .2. Определение. Вронскиан1 2Если y1 и y2 являются функциями от x, то определитель (1, 2 ) = | ′ ′ | = 1 2′ − 2 1′12Называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.Теорема (О вронскиане линейно НЕзависимых функций)Если решения у1г и у2 уравнения C) линейно независимы на отрезке [а, b], то определитель ВронскогоW, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.ДоказательствоДопустим, что (1 , 2 ) = 0 в некоторой точке отрезка [а, b].

Тогда по теореме о линейно зависимыхфункциях, определитель Вронского будет равен нулю во всех точках отрезка [а, b] (1 , 2 ) = 0 или12′ − 21′ = 0.Допустим, что 1 ≠ 0 на отрезке [а, Ь]. Тогда на основании последнего равенство можно написать1 2′ −2 1′y21′12. Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами ′ = ∑=1 , = 1, … , .В матричной форме это система запишется так: ′ = (2)11 12 …122 …2………………) = (… ) , = ( 211 2 …Характеристическим уравнением системы11 − 12 … 12 | = 0′ = ∑=1 , = 1, … , . называется уравнение | …21… …11…−……………1 2 … − Если корни характеристического уравнения вещественны и различны, то нетрудно построитьфундаментальную систему решений системы ′ = ∑=1 , = 1, … , .В самом деле ,обозначив эти корни 1 … и для каждого корня найдем отвечающий емусобственный вектор:11… ) , … , 1=(1… ).1= = = ∫ () .ДоказательствоРазобьем отрезок [, ] на частей и в каждой полученной точке проведем плоскость,перпендикулярную оси .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)