bilety_iidu (825971), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найдем другоечастное решение данного уравнения так, чтобы у1 и у2 были линейно независимы. Тогда общеерешение выразится формулой = С1 1 + С2 2, где С1 и С2—произвольные постоянные. На−∫Отсюда1= y2 С0− ∫ 1 ()1121= ∫ y2 Сили0− ∫ 1 ()11( 1)= 2 Сy 2012 = 1 ∫ y2 С10− ∫ 1 ().0− ∫ 1 ()Билет12ОпределенияПусть функция () определена на [, ), и не ограничена ни на каком инт. вида( − , ), 0 < < − , а также интег. на [, ] для ∀ < .Тогда на отрезке [, ] определена функция () = ∫ ()Если существует (конечный) предел lim () (∗)→−0то этот предел называется несобственным интегралом 2-го рода от функции () по промежутку[, ) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств.
интеграла 2-го рода аналогичны св-вам 1-го рода (см. п. 14)=1−−1(−) в зависимости от α. При α≠1 имеем: При α=1 получаем ∫−= ln( − )| = ∞= 1−∞| =1− 1= ln |1∞ = ∞ Значит интеграл сходится при > 1 и расходится при ≤()()()()12… Умножая элементы первых n-1 строк определителя соответственно на an(x), an-1(x),…, a2(x), иприбавляя их к элементам последней строки, учитывая, что L[yi] =0, получим ′ () = −1 ()()Записывая решение уравнения в форме Коши, получаем () = (0 ) 0− ∫ 1 ()Билет14Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси () = ∫ 2 () .Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси = 2 ∫ () .ДоказательствоПусть тело образовано вращением вокруг оси криволин.
трапеции с основанием [, ] на оси иогранич. графиком непрерывной неотриц. функции (). Элементами объема такого тела,образованными вращ. вокруг оси будем считать цилиндрическую оболочку радиуса х, толщиныΔ высотой (). = ∑=1 2()ᵢ = ∫ 2() = 2 ∫ ().→∞2. Теорема.Любую нормальную систему ДУ можно свести к дифференциальному уравнению -го порядка инаоборот.Док-во:Сведение ДУ -го порядка к нормальной системеВведём ДУ () = (, ′ , ′′ , … , (−1) ) и пусть = 1, ′ = 2, ′′ = 3, … , (−1) = Тогда12= 2= 3…−1= введённое уравнение равносильно системе: 2=1111+ ∙1+ ∙22= 1 (, 1 , 2)= 2 (, 1 , 2 )Сведём к ДУ 2-го порядка, из 1-го ур-ия:2= { = 2 (, 1 , 2)} = 1 (, 1 , 2,Если из 1-го уравнения системы можно выразить 2 = (, 1 ,1∞, > 1| ={ 1, < 1.∞ в зависимости от α.
При α≠1 имеем: ∫1−∫ для всех ∈ [, ] справедлива формула Лиувилля-Остроградского: () = (0 ) 0 1Док-во:Производная от определителя n-го порядка (по строкам) равна сумме n определителей,получающихся из него поочерёдной заменой элементов каждой строки их производными. Так как всеэти определители, кроме последнего, содержат две одинаковые строки и равны нулю, то в итогебудем иметь12…1′2′…′| .... | ′ () = (−2)(−2)(−2)|1|2… 2 11212. Формула Остроградского-ЛиувиллляФормула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном набазе частных решений y1(x), y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении.Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x), y2(x) линейного однородногодифференциального уравнения 2-го порядка ′′ + 1 () ′ + 2 () = 0, в которомфункции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b].
Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда1Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид = С1 1 + С2 1 ∫ y2 С(−) 1−+∞ При α=1 получаем ∫1Рассмотрим случай = 2 {2Очевидно, что у1 и у2—линейно независимые решения, так как = . ∫ (−)∞, < 1{ 1, > 1.−1 + 2Исследуем сходимость интеграла ∫Исследуем сходимость интеграла ∫1− ∫ 1 ()1+∞{ = (, 1 , 2 , … , )Сведение нормальной системы к одному ДУ -го порядка1Так как мы ищем частное решение, то, положив С2=0, С=1, получаем+∞+∞ ()основании формулы Остроградского-Лиувилля можно написать: 12′ − 21′ = С 0 1Таким образом, для определения у2 мы получаем линейное уравнение первого порядка.Проинтегрируем его следующим образом.
Разделим все члены на 122y1+∞= ∫ + ∫Тогда для Ɐα,β ϵ R справедливо ∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ ()3) Пусть () и () инт. на промежутке [, +∞), и пусть для ∀ [, +∞) справедливо неравенство+∞+∞() ≤ (). Тогда ∫ () ≤ ∫ ()Доказательство очевидно.∞ = ln |1∞ = ∞ Значит интеграл сходится при > 1 и расходится при ≤1Определение.Пусть функция () определена и интегр. на [, ] при любом , тогда то же самое верно для∞∞функции |()|.
Рассмотрим два интеграла: 1 = ∫ () и 2 = ∫ |()|Если 2 сходится, то про 1 говорят, что этот интеграл сходится абсолютно. Если 1 сходится, а 2расходится, то 1 сходится условно.Теорема (о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)∞Если интеграл ∫ () сходится абсолютно, то он сходится.2. Метод вариации произвольных постоянных.Напишем общее решение однородного уравнения = С1 1 + С2 2Будем искать частное решение неоднородного уравнения, рассматривая C1 и С2 как некоторые поканеизвестные функции от х. Продифференцируем. ′ = С1 ′1 + С2 у′2 + С1′ у1 + С2′ у2.Подберём искомые функции C1 и С2 так, чтобы выполнялось равенство С1′ у1 + С2′ у2 = 0Если учесть это дополнительное условие, то первая производная у' примет вид ′ = С1 ′1 + С2 у′2Дифференцируя теперь это выражение, найдем ′′ = С1 1′′ + С2 у′′2 + С1′ ′1 + + С′2 ′ 2Подставляя в уравнение, получим:С1 1′′ + С2 у′′2 + С1′ ′1 + + С′2 ′ 2 + 1 (С1 ′1 + С2 у′2) + 2 (С1 1 + С2 2 ) = ()илиС1 (1′′ + 1 ′1 + 2 ) + 2 (у′′2 + 1 у′ 2 + 2 2 ) + С1′ ′1 + С′2 ′ 2 = ()Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как у1 и у2 решения однородногоуравнения.
Следовательно, последнее равенство принимает вид С1′ ′1 + С′2 ′ 2 = (). Такимобразом, функция будет решением неоднородного уравнения в том случае, еслиС′ у + С′ у = 0{ ′ ′1 1 ′ 2′ 2С1 1 + С2 2 = ()Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимыхрешений y1 и у2, то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдем С1 и С2 какопределенные функции от х: С1′ = 1 (х),С′2 = 2 (х)̅̅̅2Интегрируя, получим 1 = ∫ 1 (х) + ̅̅̅12 = ∫ 2 (х) + где С1 и С2 — постоянные интегрирования.Подставляя полученные выражения C1 и С2 в начальное равенство, найдем интеграл, зависящий отдвух произвольных постоянных т.
е. общее решение неоднородного уравнения.1 2′ −2 1′сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ∫Переходя к пределу → ∞, получаем требуемое2) Линейность+∞+∞Пусть существуют интегралы ∫ () и ∫ ().порядка: 2 1 2= (, 1 ,111)), то для 1 получим уравнение 2-го) => 1 = 1 (, 1 , 2 ). Тогда 2 = (, 1 ,1)Билет15Интегрирование неравенствПусть 1 () и 2 () интегрируемы на отрезке [; ], и пусть в каждой точке этого отрезкавыполняется неравенство 1 () ≤ 2 (). Тогда ∫ 1 () ≤ ∫ 2 () . (∗)ДоказательствоЗапишем соответствующее соотношение для интегральных сумм: ∑=1 1 ( ) Δ ≤ ∑=1 2 ( ) Δ .Переходя здесь к пределу, получим требуемое.Если на отрезке [; ] выполняется неравенство ≤ () ≤ , то из (∗) следует, что( − ) ≤ ∫ () ≤ ( − ).ЛинейностьПусть 1 () и 2 () интегрируемы на отрезке [; ], и пусть 1 и 2 — произвольные вещественныечисла.
Тогда функция 1 1 () + 2 2 () также интегрируема на [; ], и ∫ (1 1 () + 2 2 ()) =1 ∫ 1 () + 2 ∫ 2 () .∑=1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) Δ = 1 ∑=1 1 ( ) Δ + 2 ∑=1 2 ( ) Δ .ДоказательствоПосле перехода к пределу получим требуемое.АддитивностьПусть функция () интегрируема на отрезках [; ] и [; ]. Тогда она интегрируема и на отрезке[; ], причем∫ () = ∫ () + ∫ () .ДоказательствоПоскольку () интегрируема на [; ], то при составлении интегральной суммы для интеграла излевой части доказываемого равенства можно считать, что соответствующее разбиение = 0 < 1 <⋯ < = = 0 < 1 < ⋯ < = содержит точку . Тогда сумма ∑=1 ( ) Δ + ∑=1 ( ) Δбудет интегральной суммой для интеграла ∫ () и одновременно для ∫ () и ∫ () .После перехода к пределу получим требуемое.Определенный интеграл как предел интегральных суммПусть на отрезке [; ] задана функция ().
Выберем произвольно точки ∈ [−1 ; ], = 1, … , , исоставим сумму () = ∑=1 ( )Δ , которая называется интегральной суммой функции (),отвечающий разбиению и точкам 1 , … , , выбранным на отрезках разбиения. Предел интегральныхсумм () при условии, что диаметр разбиения () → 0, называется определенным интегралом отфункции () по отрезку [; ] и обозначается ∫ () .2. Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая приподстановке в дифференциальное уравнение вида (, , ’ , . . . , () ) = 0 обращает его в тождество.Олду-7Билет16Определенный интеграл как предел интегральных суммПусть на отрезке [; ] задана функция ().
Выберем произвольно точки ∈ [−1 ; ], = 1, … , , исоставим сумму () = ∑=1 ( )Δ , которая называется интегральной суммой функции (),отвечающий разбиению и точкам 1 , … , , выбранным на отрезках разбиения. Предел интегральныхсумм () при условии, что диаметр разбиения () → 0, называется определенным интегралом отфункции () по отрезку [; ] и обозначается ∫ () .Теорема об оценкеЗначение определенного интеграла заключено между произведениями наибольшего и наименьшегозначений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования: ( − ) > ∫ () >( − ), > ,ДоказательствоВозьмем две функции − () и − ().
Первая из них в интервале [; ] неотрицательна, втораянеположительна. Значит по теореме о знаке интеграла ∫ ( − ()) > 0()) < 0. ⟹∫ () и∫ ( −∫ () .⟹ ( − ) >и ( − ) <Теорема о среднемПусть функция () непрерывна на отрезке [; ]. Тогда существует точка ∈ [; ] такая, что∫ () = () ⋅ ( − ).ДоказательствоТ.к. () непрерывна на отрезке [; ], то эта функция достигает на этом отрезке своего наименьшегозначения и наибольшего значения и принимает все значения из отрезка [; ]. Далее, изнеравенства ≤ () ≤ получаем, что ( − ) ≤ ∫ () ≤ ( − ), или ≤1∫ () − ≤ .1Поэтому существует число ∈ [; ] такое, что () = − ∫ () .Отсюда легко следует требуемое.Геометрический смыслГеометрический смысл данной теоремы заключается в том,что на отрезке [; ] найдется точка такая, что площадьсоответствующей криволинейной трапеции равна площадипрямоугольника с основанием − и высотой (); приэтом предполагается, что () неотрицательна на [; ].2.
ОпределениеНормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система вида :1′ = 1 (, 1 , … , ) ′ = 2 (, 1 , … , ){ 2……………..′ = (, 1, … , )Или ′ = (, 1, … , ), = 1, … , . –независимая переменная 1 , … , - неизвестные функции этой переменной, 1 , … , -заданныефункции. Решением системы называется совокупность дифференцируемых на некотором интервале функций 1(), … , ()Нормальная система называется автономной, если правые части этой системы не зависят явно от x:1′ = 1 (1 , … , ) ′ = 2 (1 , … , ){ 2……………′ = (1 , … , )Введя новую неизвестную функцию, всякую систему можно свести к автономной: если положить′+1 = ,то система ур-ию перепишется в виде ′ = (+1 , 1 , … , ), = 1, … , , +1= 1.Задача Коши для системы ставится следующим образом. Дана точка (0 , 10 , … , 0), принадлежащаяобласти определения правых частей этой системы; требуется найти решение = (), i=1,…,n,удовлетворяющее начальным условиям ( ) = 0, i=1,…,n.Теорема (Коши).Пусть правые части системы ′ = (, 1, … , ), = 1, … , определены, непрерывны и имеют+1непрерывные частные производные по переменным 1, … , в некоторой области ∈ ,.Тогда1 ,…,для любой точки (0 , 10, … , 0) ∈ существует решения данной системы, удовлетворяющие′начальным условиям (0 ) = 0 , = 1, … , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
