bilety_iidu (825971), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен суммеобъемов всех полученных слоев: ∑=1 . = ∑=1 ( )Δ . Полученное выражение являетсяинтегральной суммой.Т.к. () непрерывна(по усл.) то существует конечный предел ∑=1 (ᵢ)ᵢ = ∫ ().1 = (2= 0 или ( 2) =0; Отcюда следует, чтоТогда =интегр. на (-1;1).Доказательство: = ∫ () При вращении вокруг оси , () является кругом с центром в нек. точке и радиусом ()Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции = ∫ () = ()подстановкой {: = ∫ () = ∫ () (()) = ∫ ()′ () .
= ()1√( 2 −1)Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси . = ∫ 2 () .∫ ()′ () .ДоказательствоГде13→∞Δφᵢ = 2 ∫ 2 () = .Площадь фигуры, заданной параметрически =несобственный интеграл такого рода равенством ∫ () = ∑=1 ∫ () = 2 ∫ 2 () .lim ∑=1- столбцы, компонентыБилет5.Интегралы с несколькими особенностямиПусть - промежуток с граничными точками и , причём −∞ ≤ < ≤ +∞, и пусть существуетразбиение = 0 < 1 < ⋯ < = этого промежутка такое, что некоторая функция (), опред.
наданном промежутке, за исключением точек указанного разбиения, интегр. на любом интервале (−1 , ), i=1, 2, …, n.Если все интегралы ∫ () , i=1, 2, …, n сходятся, то говорят, что () интегр. на Опред.→∞УтверждениеПусть функции () и () заданы и непрерывны на [, ].Площадь фигуры, ограниченной графиками ()и (), а также прямыми = и = , вычисляется по формуле : = ∫ (() − ()).ДоказательствоОбозначим искомую площадь между графиками через , площадь под графиком функции () через 1 , аплощадь под графиком функции () через 2 . Очевидно, что 1 = + 2 .
C другой стороны, 1 =∫ () , a 2 = ∫ (). Отсюда получаем: = ∫ (() − ()).Доказательство1,−… ),−Билет7Доказательство ≈ = ∑=1 ( )Δ , = lim ⟹ = ∫ () .Площадь фигур в ПСК=(Это значит, что решения линейно зависимы, что противоречит предположению о их линейнойнезависимости. Следовательно они линейно независимы.Билет4Площадь криволинейной трапеции =10… ) , … , −0которых подлежат определению.
Для Этого подставляют в исходную систему ,сокращают обе части и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа .В результатеполучается система линейных однородных алгебраических уравнений, который удовлетворяеткомпоненты столбцов0 , … , − .Решая эту систему , можно получить линейно независимых решений исходной системыдифференциальных уравнений .Если ± , ≠ 0,- одна из таких пар кратности ,то описаннуювыше процедуру следует применить в комплексном случае для одного из корней ± , а затемотделить в полученных комплекснозначных решениях вещественную и мнимую части. Проделав всеэто для каждого корня характеристического уравнения ,получим фундаментальную системурешений для исходной системы дифференциальных уравнений.|() − ()| |.Т.к.
функция непрерывна в точке , то для любого > 0 существует число = () > 0 такое, чтопри любом , | − | < , выполняется неравенство |() − ()| < ⁄2. Поэтому для указанных +Δ(+Δ)−()1|() − ()| | ≤ ⋅ |Δ|.|∫|− ()| ≤⋅ ⋅ |Δ| < ,2 = (0 + 1 + ⋯ + − − ) , где 0 = (Заметим теперь ,что вектор-функции = , = 1, … , , являетсярешением системы Y ′ = AYПодбор.Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные ,то следует для каждоговещественного корня кратности r найти размерность m соответствующего пространствасобственных векторов.
Если m= r ,то, взяв базис 1 , … , этого пространства ,получим для вточности r линейно независимых решений системы (2): = , = 1, … , .Если m<r ,то найти r линейно независимых решений для можно методом неопределенныхкоэффициентов .При этом решения следует искать в видепринимает значение 2 (), поэтому = ∫ () = ∫ 2 () = ∫ 2 () .2. Теорема (о наложении частных решений).Пусть имеются два линейных неоднородных уравнения [] = 1 () и [] = 2 () ; где [] = () + 1 (−1) + . .
. + , и пусть y1 = y1(x) и y2 = y2(x) – решения этих уравнений. Тогда y1(x) +y2(x) будет решением уравнения [] = 1 () + 2 ().Доказательство.Имеем [1 + 2 ] = [1 ] + [2] = 1 () + 2 (), т.е. y1 +y2 – решение уравнения [] =1 () + 2 (). Теорема доказана.Пусть правая часть уравнения [] = () с постоянными коэффициентами имеет вид () =() . В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частьюуказанного типа является функция () = (() cos + ( )sin ) у которой P(x)и Q(x)некоторые полиномы.
Справедлив следующий результат.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью данногоспециального вида имеет частное решение () = (() cos + ( )sin ), где k кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степениполиномов P(x) , Q(x).Билет8Теорема (предельный признак сравнения).Пусть функции () и () интегр. на [, ] при любом , () ≥ 0 и () > 0 для ∀ ≥ Если существует конечный предел lim+∞+∞()→+∞ ()= > 0, то несобственные интегралы1 = ∫ () и 2 = ∫ () либо оба сходятся, либо оба расходятся.Док-во:Для любого > 0 найдётся такое число > 0, что справедливо неравенство ( − )() < () <( + )() (*) ∀ > Будем считать, что > , − > 0.+∞Из сходимости ∫ ( + )() следует сходимость 2, а также исходя из неравенства (*)+∞сходится 1. С другой стороны из сходимости 1 следует сходимость ∫ ( − )(), аследовательно и сходится 2.
Для расход-ти док-во аналогично.Пример+∞+∞1Пусть 0 = ∫1= ∫1 (), тогда () ~ () = при → +∞2√ −2+3+∞ Т. к. несобственный интеграл ∫1расходится, то по теореме о предельном признаке сравнения,расходится и интеграл 02. (, , ′ ) = , - независимая переменная, () - неизвестная функции. Уравнение первогопорядка записывается так:y’=f(x,y)Интегральная кривая - график решения геометрически неопределённого интеграла, представляющегособой семейство «параллельных» кривых y = F(x)+ C. График каждой кривой и называетсяинтегральной кривой.Общее решение уравнения - такое соотношение Ф(, , 1, 2, … , ), что любое решение =(, 1, 2, … , ) относительно - частное решение уравнения;Частное решение - любая n раз дифференцируемая функция = (),обращающая уравнение наэтом интервале в тождество.Особые точки и особые решения уравнения первого порядка.
В окрестности т-ки нарушается сущ. иединственность решения задачи Коши → точку (0 ; 0 ) называют особой точкойдифференциального уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается егоединственность - особое решение.Билет9ОпределенияПусть функция () определена при ≥ и инт. на любом отрезке [a, b] .Тогда на промежутке [a, +∞) определена функция () = ∫ () .Если существует (конечный) предел lim () (∗)→+∞то этот предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции () по+∞промежутку [a, +∞) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств.
интеграла 1-го рода:Значит интеграл сходится при < 1 и расходится при ≥ 12. Определение. Линейный оператор дифференцированияПусть X – множество всех n раз непрерывно дифференцируемых функций на интервале I; Y –множество всех непрерывных функций на этом интервале.Отображение ∶ → , определяемое равенством [] = () + 1 () (−1) + . . . + () ,является линейным оператором, т.к. [1 + 2] = [1 ] + [2 ] , [] = []для любых элементов , 1 , 2 пространства X и для любого числа α.
Линейный оператор []называется линейным дифференциальным оператором n-го порядка.Теорема (о пространстве решений линейного однородного уравнения n-го порядка).Совокупность всех решений линейного однородного уравнения n-го порядка образует линейноепространство.Доказательство.Уравнение ОЛДУ можно записать в виде [] = 0 . (2)Если , 1 , 2 – произвольные решения этого уравнения и – вещественное число, то в силу̅,линейности оператора L имеем [1 + 2 ] = [1 ] + [2 ] = 0 , [] = [] = 0̅ означает функцию, тождественно равную нулю на промежутке . Мы видим, что 1 + 2 и –где 0также решения уравнения (2).
Поэтому совокупность решений уравнения (2) образует линейноепространство.Фундаментальной системой решений однородного линейного дифференциального уравненияназывается упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения.Билет13Определение.Пусть функция () определена и интегр. на [, ] при любом , тогда то же самое верно для∞∞функции |()|. Рассмотрим два интеграла: 1 = ∫ () и 2 = ∫ |()|Если 2 сходится, то про 1 говорят, что этот интеграл сходится абсолютно.
Если 1 сходится, а 2расходится, то 1 сходится условно.ОпределенияПусть функция () определена на [, ), и не ограничена ни на каком инт. вида( − , ), 0 < < − , а также интег. на [, ] для ∀ < .Тогда на отрезке [, ] определена функция () = ∫ ()Если существует (конечный) предел lim () (∗)→−0то этот предел называется несобственным интегралом 2-го рода от функции () по промежутку[, ) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств.
интеграла 2-го рода аналогичны св-вам 1-го рода (см. п. 14)1) Аддитивность+∞+∞Пусть с [, +∞). Тогда несобственные интегралы ∫ () и ∫с ()1) Аддитивность+∞+∞Пусть с [, +∞). Тогда несобственные интегралы ∫ () и ∫с ()+∞сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ∫Переходя к пределу → ∞, получаем требуемое2) Линейность+∞+∞Пусть существуют интегралы ∫ () и ∫ ()+∞+∞= ∫ + ∫+∞+∞+∞Тогда для Ɐα,β ϵ R справедливо ∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ ()3) Пусть () и () инт.
на промежутке [, +∞), и пусть для ∀ [, +∞) справедливо неравенство+∞+∞() ≤ (). Тогда ∫ () ≤ ∫ ()Доказательство очевидно.∞ Исследуем сходимость интеграла ∫1{∞ в зависимости от α. При α≠1 имеем: ∫1= 1−1∞, < 11, > 1.−1+∞ При α=1 получаем ∫1∞| =1−Билет10НетБилет11−0Пусть функция () интегрируема на отрезке [−; ]. Тогда ∫ () = ∫− + ∫0 .Предположив, что функция () непрерывна, сделаем в первом интеграле замену = −; получим:00−∫− () = − ∫ (−) = ∫0 (−) . ∫ () = ∫0 (() + (−)) .−−Поэтому в случае четной функции ∫ () = 2 ∫0 () , а в случае нечетной ∫ () = 0.2.Теорема (О понижении порядка ОЛДУ при известном частном решении).Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, тонахождение общего решения сводится к интегрированию функций.Доказательство.Пусть у1 есть известное частное решение уравнения ′′ + 1 () ′ + 2 () = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
