bilety_iidu (825971), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Любые два решения этой системы, удовлетворяющиеодним и тем же н. у., совпадут всюду, где они оба определены.Пример ′′ = 6 + 2Задача Коши вида { ′ (1) = 7(1) = 5Билет17ОпределениеСовокупность всех первообразных функции f (x) (на некотором промежутке) называетсянеопределенным интегралом и обозначается ∫ () , при этом символ ∫ называется интегралом, ()подынтегральной функцией, () подынтегральным выражением, – переменнойинтегрирования.Свойства1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциалнеопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:(∫ () )′ = (); (∫ () )′ = (() + )′ = ′ () + ′ = (); ∫ () = () .
∫ () = (∫ () )′ = () .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции ипроизвольной постоянной:∫ ′() = () + . (() + )′ = ′ ().3. Постоянный множитель, отличный от нуля, можно вынести за знак неопределенного интеграла:( ∫ () )′ = (∫ () )′ = ().∫ () = ∫ () , ≠ 0.4. Неопределенный интеграл от суммы двух (или большего числа) функций равен сумменеопределенных интегралов от слагаемых:∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () . (∫ () + ∫ () )′ = () + ().5.
Свойство линейности: ∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .2. Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами ′ = ∑=1 , = 1, … , .В матричной форме это система запишется так: ′ = (2)Где11 12 …1122 …2………………) = (… ) , = ( 211 2 …Характеристическим уравнением системы11 − 12 … 1′ = ∑=1 , = 1, … , . называется уравнение | …21… …11…−…………2… |=01 2 … − Если корни характеристического уравнения вещественны и различны, то нетрудно построитьфундаментальную систему решений системы ′ = ∑=1 , = 1, … , .В самом деле ,обозначив эти корни 1 … и для каждого корня найдем отвечающий емусобственный вектор:11… ) , … , 11 = (=(1… ).′Заметим теперь ,что вектор-функции = , = 1, … , , являетсярешением системы Y = AYПодбор.Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные ,то следует для каждоговещественного корня кратности r найти размерность m соответствующего пространствасобственных векторов.
Если m= r ,то, взяв базис 1 , … , этого пространства ,получим для вточности r линейно независимых решений системы (2): = , = 1, … , .Если m<r ,то найти r линейно независимых решений для можно методом неопределенныхкоэффициентов .При этом решения следует искать в виде = (0 + 1 + ⋯ + − − ) , где 0 = (10… ) , … , −0=(1,−… ),−- столбцы, компонентыкоторых подлежат определению. Для Этого подставляют в исходную систему ,сокращают обе части и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа .В результатеполучается система линейных однородных алгебраических уравнений, который удовлетворяеткомпоненты столбцов0 , … , − .Решая эту систему , можно получить линейно независимых решений исходной системыдифференциальных уравнений .Если ± , ≠ 0,- одна из таких пар кратности ,то описаннуювыше процедуру следует применить в комплексном случае для одного из корней ± , а затемотделить в полученных комплекснозначных решениях вещественную и мнимую части.
Проделав всеэто для каждого корня характеристического уравнения ,получим фундаментальную системурешений для исходной системы дифференциальных уравнения.Билет18ОпределенияПусть функция () определена на [, ), и не ограничена ни на каком инт. вида( − , ), 0 < < − , а также интег.
на [, ] для ∀ < .Тогда на отрезке [, ] определена функция () = ∫ ()Если существует (конечный) предел lim () (∗)→−0то этот предел называется несобственным интегралом 2-го рода от функции () по промежутку[, ) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств. интеграла 2-го рода аналогичны св-вам 1-го рода (см. п. 14)1) Аддитивность+∞+∞Пусть с [, +∞). Тогда несобственные интегралы ∫ () и ∫с ()+∞сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ∫Переходя к пределу → ∞, получаем требуемое2) Линейность+∞+∞Пусть существуют интегралы ∫ () и ∫ ()+∞+∞= ∫ + ∫+∞+∞Тогда для Ɐα,β ϵ R справедливо ∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ ()3) Пусть () и () инт.
на промежутке [, +∞), и пусть для ∀ [, +∞) справедливо неравенство+∞+∞() ≤ (). Тогда ∫ () ≤ ∫ ()2. Допустим, что нам известно общее решение СОЛДУ() = 1 1 () + 2 2() + ⋯ + ()Будем искать частное решение уравнения в таком же виде что и общее 1 , 2 , … , некоторыминепрерывно дифференцируемыми функциями от , т.е.
положим:() = 1 ()1 + 2 ()2 + ⋯ + () (228)Подберем ( = ̅̅̅̅̅1, ) так, чтобы функция (228) была решением уравнения .Для нахождения неизвестных функций нам необходимо уравнений.Одно уравнение получим из условия ,что функция (228) удовлетворяет уравнению ,А остальные ( − 1) найдем следующим образомДифференцирую функцию (228) по , () = 1 ′1 + 2 ′2 + ⋯ + ′ + (′1 1 + ′2 2 + ⋯ +′ )Накладываем на ′ () следующие условия ′1 1 + ′ 2 2 + ⋯ + ′ = 0Тогда: ′ = 1 ′1 + 2 ′2 + ⋯ + ′Вычисляем ′′: ′′ = 1 ′′1 + 2 ′′2 + ⋯ + ′′ + ( ′1 ′1 + ′ 2 ′2 + ⋯ + ′ ′ )И накладываем снова на ′ () условия ′1 ′1 + ′ 2 ′2 + ⋯ + ′ ′ = 0Тогда: ′ = 1 ′′1 + 2 ′′2 + ⋯ + ′′Продолжая вычисление производных, и накладывая условия, находим −1 : −1 = 1 −11 + 2 −1 2 + ⋯ + −1 + ( ′1 −21 + ′ 2 −2 2 + ⋯ + ′ −2 )Снова условия: ′1 −21 + ′ 2 −2 2 + ⋯ + ′ −2 = 0Тогда −1 = 1 −11 + 2 −1 2 + ⋯ + −1 И: = 1 1 + 2 2 + ⋯ + + ( ′1 −11 + ′ 2 −1 2 + ⋯ + ′ −1 )Подставим найденные значения , ′ , ′′ , … , в уравнение для этого умножим функцию и еепроизводные на соответственно (), −1 (), −2 (), … , 1 (),Сложим почленно и приравняем правую часть часть полученного равенства правой части уравненияНЛДУ1 ()(1 ) + 2 ()(2) + ⋯ + ()( ) + ′1 ()1−1 + ′ 2 ()2−1 + ⋯ + ′ ()−1 = ()Так как (1 ) = (2 ) = ⋯ = ( ) ≡ 0 ,как решения уравнения ,то последнее запишется : ′1 ()1−1 + ′ 2 ()2−1 + ⋯ + ′ ()−1 = ()Таким образом ,для определения () получаем следующую систему уравнений1′ ()1 + 2′ ()2 + ⋯ + ′ () = 01′ ()′1 + 2′ ()′2 + ⋯ + ′ ()′ = 0………………………………..1′ ()1−2 + 2′ ()2−2 + ⋯ + ′ ()−2 = 0{1′ ()1−1 + 2′ ()2−1 + ⋯ + ′ ()−1 = 0Это алгебраическая линейная неоднородная система ,умеющая единственное решение ,т.к.
ееопределитель является определителем ВронскогоФундаментальной системой решений 1 (), 2 (), … , () и (1 , 2 , … , ) ≠ 0, С′ () = (); = (1,2, … , )где () - непрерывная на (; ) функции. Откуда () = ∫ () Подставив, () в уравнение получаем искомое решение уравнения.Билет19Длина дуги.
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах =2∫ √1 + ′ () .ДоказательствоДлина 1-го звена будет равняться ∆ = √∆ᵢ² + ᵢ² = √1 +∆2∆2∆2. Применяем к формуле т.+ ( ′ (ᵢ))²∆ .Лагранжа конечных приращений и получаем: ∆ = √1Bся длина ломаной будетравняться ∑=1 √1 + ( ′ (ᵢ))2 ∆ . Т.к. ф-ция непрерывна, то существует конечный предел суммы. = lim ∑=1 √1 + ( ′ (ᵢ))2 ∆ = ∫ √1 + ′ 2 () .→∞2. Теорема.Пусть в системе ′ = (, 1, … , ), = 1, … , . (2) правые части непрерывно дифференцируемы вобласти по всем переменным. Для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция Ф: → была первым интегралом этой системы необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции,составленная в силу системы, равнялась нулю всюду в области .Доказательство.
Необходимость.Пусть Ф −первый интеграл системы (2),и пусть (0 , 10 , … , 0 )- произвольная точка области . Потеореме существования и единственности найдется решение = (), = 1, … , , системы (2),заданное на некотором интервале , содержащем точку 0,удовлетворяющее начальным условиям (0 ) = 0 , = 1, … , . Далее , т.к. Ф- первый интегралсистемы (2), то функция Ф(x,1(), … , ()) постоянна на интервале =>ФФФФФ= + ∑=1 ′ () = + ∑=1 (, 1(), … , ()) = 0 Для любого ∈ . Подставляя в последнее равенство = 0 получим ,что производная в силусистемыФФ+ ∑=1 (0 , 10 , … , 0 ) =0 в точке (0 , 10, … , 0) области Достаточность .Пусть для функции Ф производная в силу системы (2) равна нулю всюду в области .Рассмотрим произвольное решение этой системы = (), = 1, … , , заданное на некотороминтервале .
Продифференцируем эту функцию по на указанном интервале:ФФФФ+ ∑=1 ′ () = + ∑=1 (, 1 (), … , ()) = 0 Т.к. (x,1 (), … , ()) ∈ ,и производная функция Ф в силу системы равна нулю в каждой точкеэтой области. Мы видим что производная функции Ф(x,1 (), … , ()) равна нулю в каждой точкеинтервала . Поэтому Ф постоянна на этом интервале. Ч.т.д.Билет20Теорема о замене переменной в определенном интегралеПусть функция () непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке[; ], причем () ∈ для ∀ ∈ [; ]. Тогда, если = (), = (), то ∫ () =∫ (()) ⋅ ′() .Доказательство ∫ () = () − (); ∫ (()) ⋅ ′() = (()) − (()) = () −().Теорема об интегрировании по частям определенного интегралаПусть функции () и () непрерывно дифференцируемы на отрезке [; ].
Тогда∫ () ⋅ ′ () = () ⋅ ()| − ∫ ′ () ⋅ () .ДоказательствоРассмотрим функцию () = () ⋅ () − ∫ ′ () ⋅ () ; ′ () = ′ () ⋅ () + () ⋅ ′ () − ′ () ⋅ () = () ⋅ ().∫ () ⋅ ′ () = ()| = () ⋅ ()| − ∫ ′ () ⋅ () .2. 2)λ1 и λ2—комплексные числа, причем 1 = + и2 = − Тогда 1 () = cos и 2 () = sin Вронскиан этих функций не равен нулю, следовательно, они линейно независимы и образуютфундаментальную систему решений. = С1 + С2 3)λ1 и λ2—действительные равные числа { λ 1 = λ2= λ). Тогда 1 () = λ и2 () = λВронскиан этих функций не равен нулю, следовательно, они линейно независимы и образуютфундаментальную систему решений.
= С1 + С2 Проверим, что y2 есть решение уравнения (2). Т.к. λ - корень кратности 2 характеристическогоуравнения, то 2 + 1 + 2 = 0 и 2 + 1 = 0. Далее 2′ = (1 + ) · , 2′′ = (2 + 2 ) · . Отсюда ′′2 + 1 2′ + 2 2 = (2 + 2 + 1 + 1 + 2 ) = (2 + 1 + 2 + 1 + 2 ) = 0 , т.е.y2 – решение уравненияБилет21ЛинейностьПусть 1 () и 2 () интегрируемы на отрезке [; ], и пусть 1 и 2 — произвольные вещественныечисла. Тогда функция 1 1 () + 2 2 () также интегрируема на [; ], и ∫ (1 1 () + 2 2 ()) =1 ∫ 1 () + 2 ∫ 2 () .∑=1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) Δ = 1 ∑=1 1 ( ) Δ + 2 ∑=1 2 ( ) Δ .ДоказательствоПосле перехода к пределу получим требуемое.АддитивностьПусть функция () интегрируема на отрезках [; ] и [; ].
Тогда она интегрируема и на отрезке[; ], причем∫ () = ∫ () + ∫ () .ДоказательствоПоскольку () интегрируема на [; ], то при составлении интегральной суммы для интеграла излевой части доказываемого равенства можно считать, что соответствующее разбиение = 0 < 1 <⋯ < = = 0 < 1 < ⋯ < = содержит точку . Тогда сумма ∑=1 ( ) Δ + ∑=1 ( ) Δбудет интегральной суммой для интеграла ∫ () и одновременно для ∫ () и ∫ () .После перехода к пределу получим требуемое.
Определенный интеграл как предел интегральныхсуммПусть на отрезке [; ] задана функция (). Выберем произвольно точки ∈ [−1 ; ], = 1, … , , исоставим сумму () = ∑=1 ( )Δ , которая называется интегральной суммой функции (),отвечающий разбиению и точкам 1 , … , , выбранным на отрезках разбиения. Предел интегральныхсумм () при условии, что диаметр разбиения () → 0, называется определенным интегралом отфункции () по отрезку [; ] и обозначается ∫ () .2. надо найтиБилет22ОпределенияПусть функция () определена при ≥ и инт. на любом отрезке [a, b] .Тогда на промежутке [a, +∞) определена функция () = ∫ () .Если существует (конечный) предел lim () (∗)→+∞то этот предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции () по+∞промежутку [a, +∞) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств. интеграла 1-го рода:1) Аддитивность+∞+∞Пусть с [, +∞).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
