bilety_iidu (825971), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда несобственные интегралы ∫ () и ∫с ()+∞сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ∫Переходя к пределу → ∞, получаем требуемое2) Линейность+∞+∞Пусть существуют интегралы ∫ () и ∫ ()+∞+∞= ∫ + ∫+∞+∞Тогда для Ɐα,β ϵ R справедливо ∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ ()3) Пусть () и () инт. на промежутке [, +∞), и пусть для ∀ [, +∞) справедливо неравенство+∞+∞() ≤ (). Тогда ∫ () ≤ ∫ ()Доказательство очевидно.∞ Исследуем сходимость интеграла ∫1∞ в зависимости от α. При α≠1 имеем: ∫1∞, < 1{ 1, > 1.−1+∞ При α=1 получаем ∫1= 1−∞| =1− 1= ln |1∞ = ∞ Значит интеграл сходится при > 1 и расходится при ≤12.
Формула Остроградского-ЛиувиллляФормула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном набазе частных решений y1(x), y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении.Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x), y2(x) линейного однородногодифференциального уравнения 2-го порядка ′′ + 1 () ′ + 2 () = 0, в которомфункции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b].
Тогда()−∫ для всех ∈ [, ] справедлива формула Лиувилля-Остроградского: () = (0 ) 0 1Док-во:Производная от определителя n-го порядка (по строкам) равна сумме n определителей,получающихся из него поочерёдной заменой элементов каждой строки их производными. Так как всеэти определители, кроме последнего, содержат две одинаковые строки и равны нулю, то в итогебудем иметь12…1′2′…′| .... |′ () = (−2)(−2)(−2)|1|2… ()()()12… Умножая элементы первых n-1 строк определителя соответственно на an(x), an-1(x),…, a2(x), иприбавляя их к элементам последней строки, учитывая, что L[yi] =0, получим ′ () = −1 ()()Записывая решение уравнения в форме Коши, получаем () = (0 ) 0− ∫ 1 ()Билет23Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси () = ∫ 2 () .Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси = 2 ∫ () .ДоказательствоПусть тело образовано вращением вокруг оси криволин.
трапеции с основанием [, ] на оси иогранич. графиком непрерывной неотриц. функции (). Элементами объема такого тела,образованными вращ. вокруг оси будем считать цилиндрическую оболочку радиуса х, толщиныΔ высотой (). = ∑=1 2()ᵢ = ∫ 2() = 2 ∫ ().→∞2. надо найтиБилет24нетЛегко сводится к предыдущему. Так как = , = , то, рассматривая полярныйугол φ как параметр, получим ′ = ′ − ; ′ = ′ + ; √ ′2 + ′2 =√( ′ ()2 + (())2 Теорема доказана.2. надо найтиБилет26Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически.∫ √′ 2 () + ′ 2 () .Доказательство ′ () =′(); = ′ () .′()′() = ∫ √1 + ′ 2 () = ∫ √1 + ()2 ′ () = ∫ √′ 2 () + ′ 2 () .′()Кривая задана в полярных координатах = () = ∫ √( ′ ()2 + (())2 .ДоказательствоЛегко сводится к предыдущему. Так как = , = , то, рассматривая полярныйугол φ как параметр, получим ′ = ′ − ; ′ = ′ + ; √ ′2 + ′2 =√( ′ ()2 + (())2 Теорема доказана.2. надо найтиБилет27ОпределениеПусть функции () и () заданы на одном интервале .
Функция () называется первообразнойдля () на этом интервале, если для любого ∈ существует производная (), равная ().ПримерФункция () = 3 является первообразной для () = 3 2 на интервале −∞ < < ∞Свойства первообразной1. Если () ̶ первообразная для функции (), то () + , где – константа, также являетсяпервообразной для той же функции.Док-во: (() + )′ = ′ () + ′ = () + 0 = ().2. Если () и Φ() – две первообразные для одной и той же функции (), то () − Φ() =, где – константа.′Док-во: (() − Φ()) = ′ () − Φ′ () = () − () = 0 ⟹ () − Φ() = .3. ∫(() + ()) = ∫ () + ∫ () .Док-во: пусть () и () – первообразные для функций () и () соответственно.Тогда () + () является первообразной для функции () + ():′(() + ()) = ′ () + ′ () = () + ().4. ∫ () = ∫ () = (() + ), где и – произвольные константы.2. Теорема (о структуре общего решения неоднородной системы).Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения соотв.
ей однородной сист. ичастного решения неоднородной системы = () + ()() = ч () + ∑=1 (), где ч ()- частное решение неоднородной системы ()- ФСР соотв. однородной системы, - нек. константыДок-во:На основании теоремы о решении неоднородной системы () является решением неоднороднойсистемы= () + ()Если () какое-либо решение неоднородной системы= () + (), то согласно теореме оразности 2х любых решений неоднородной системы ОДУ() − ч () - решение однородной системы = (), которое можно записать в виде∑=1 (). Отсюда и следует утверждение теоремы.Теорема (о наложении частных решений).Пусть имеются два линейных неоднородных уравнения [] = 1 () и [] = 2 () ; где [] = () + 1 (−1) + .
. . + , и пусть y1 = y1(x) и y2 = y2(x) – решения этих уравнений. Тогда y1(x) +y2(x) будет решением уравнения [] = 1 () + 2 ().Доказательство.Имеем [1 + 2 ] = [1 ] + [2] = 1 () + 2 (), т.е. y1 +y2 – решение уравнения [] =1 () + 2 (). Теорема доказана.Билет28Определенный интеграл как предел интегральных суммПусть на отрезке [; ] задана функция (). Выберем произвольно точки ∈ [−1 ; ], = 1, … , , исоставим сумму () = ∑=1 ( )Δ , которая называется интегральной суммой функции (),отвечающий разбиению и точкам 1 , … , , выбранным на отрезках разбиения. Предел интегральныхсумм () при условии, что диаметр разбиения () → 0, называется определенным интегралом отфункции () по отрезку [; ] и обозначается ∫ () .Геометрический смыслОпределенный интеграл является площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверхуграфиком функции = (), снизу — осью , сбоку — прямыми = и = .
≈ =∑=1 ( )Δ , = lim ⟹ = ∫ () .→∞Необходимые и достаточные условия интегрируемостиЕсли функция интегрируема на отрезке, то она ограничена (на этом отрезке).Если функция интегрируема на отрезке, то она непрерывна (на этом отрезке).2. Общим решением системы называется совокупность функций+1 = (, 1 , … , ), = 1, … , , (4) определенных на некоторой области пространства ,,1 ,…,обладающая следующими свойствами:1.Для любого набора С1 , … , , при котором существует хотя бы один интервал I такой, что прилюбом ∈ точка (, 1 , … , ) ∈ , функции (4) задают решение системы на любом таком интервале2.
Для любой точки (0 , 10, … , 0) из области определения правых частей системы найдется набор10, … , 0 такой, что (0 , 10 , … , 0 ) = 0 , = 1, … , .ТеоремаСовокупность решений системы линейных однородных уравнений ′ = образует линейноепространство размерности ; общее решение такой системы записывается в виде: = 1 1 + ⋯ + , где 1 … ,- базис пространства решений.(ФДУ).ДоказательствоПо теореме о пространстве решений линейной однородной системы совокупность решений такойсистемы образует линейное пространство.
Надо лишь доказать ,что в этом пространстве существуетбазис, состоящий из решений.111Рассмотрим Решения 1 = ( … ) , … , = ( … )1Удовлетворяющая следующим начальным условиям11 (0 ) = 1, 21(0 ) = ⋯ = 1(0 ) = 022 (0 ) = 1, 12(0 ) = ⋯ = 2(0 ) = 0 (0 ) = 1, 1 (0 ) = ⋯ = −1, (0 ) = 0Где 0- произвольная точка промежутка ,на котором заданы коэффициенты системы (4).Существование таких решений обеспечивается теоремой Существования и единственности.Решения 1 … линейно зависимы , т.к. определитель Вронского этой системы решений в точке 0является определителем единичной матрицы и равен 1 т.е.
отличен от нуля .Пусть дано какое –либо1решение системы (4) 1 = ( … ).Тогда очевидно, в точке 0 выполняется равенство = 101 + ⋯ + 0 ,Где 10=1 (0), … , 0 = (0 ).Это означает что решения и 101 + ⋯ + 0Системы (4) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям. Поэтому равенство = 10 1 +⋯ + 0 справедливо не только в точке 0,но и на всем промежутке Таким образом, доказано ,чторешения системы 1 , … , линейно независимы ,и через них линейно выражается всякое решениесистемы (4).Следовательно ,указанные решения образуют базис пространства решений, размерностьэтого пространства равна ,а общее решение записывается в виде : = 1 1 + ⋯ + Фундаментальная матрица системы – матрица, составленная из коэффициентов при, , ′ , ′′, … , (−1)Билет29ОпределенияПусть функция () определена при ≥ и инт.
на любом отрезке [a, b] .Билет25Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически.∫ √′ 2 () + ′ 2 () .Доказательство ′ () =′()′(); = ′ () .′() = ∫ √1 + ′ 2 () = ∫ √1 + ()2 ′ () = ∫ √′ 2 () + ′ 2 () .′()Кривая задана в полярных координатах = () =Доказательство∫ √( ′ ()2+ (())2 .Тогда на промежутке [a, +∞) определена функция () = ∫ () .Если существует (конечный) предел lim () (∗)→+∞то этот предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции () по+∞промежутку [a, +∞) и обозначается ∫ ()В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае –расходящимся.Свойства несобств. интеграла 1-го рода:1) Аддитивность+∞Пусть с [, +∞).
Тогда несобственные интегралы ∫+∞() и ∫с+∞сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ∫Переходя к пределу → ∞, получаем требуемое2) Линейность+∞+∞Пусть существуют интегралы ∫ () и ∫ ()+∞()+∞= ∫ + ∫+∞+∞Тогда для Ɐα,β ϵ R справедливо ∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ ()3) Пусть () и () инт. на промежутке [, +∞), и пусть для ∀ [, +∞) справедливо неравенство+∞+∞() ≤ ().
Тогда ∫ () ≤ ∫ ()Доказательство очевидно.∞ Исследуем сходимость интеграла ∫1∞, < 1{ 1, > 1.−1+∞ При α=1 получаем ∫1∞ в зависимости от α. При α≠1 имеем: ∫1= 1−∞| =1− 1= ln |1∞ = ∞ Значит интеграл сходится при > 1 и расходится при ≤12.ОЧЕНЬ НАДО НАЙТИБилет30Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах =∫ √1 + ′ 2 () .Доказательство∆2Длина 1-го звена будет равняться ∆ = √∆ᵢ² + ᵢ² = √1 + ∆2 ∆2. Применяем к формуле т.Лагранжа конечных приращений и получаем: ∆ = √1 + ( ′ (ᵢ))²∆ .
Bся длина ломаной будетравняться ∑=1 √1 + ( ′ (ᵢ))2 ∆ . Т.к. ф-ция непрерывна, то существует конечный предел суммы. = lim ∑=1 √1 + ( ′ (ᵢ))2 ∆ = ∫ √1 + ′ 2 () .→∞Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически.∫ √′ 2 () + ′ 2 () .Доказательство ′ () =′(); = ′ () .′()′() = ∫ √1 + ′ 2 () = ∫ √1 + ( ′() )2 ′ () = ∫ √′ 2 () + ′ 2 () .∫ √( ′ ()2Кривая задана в полярных координатах = () =+ (())2 .ДоказательствоЛегко сводится к предыдущему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
