bilety_iidu (825971), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Так как = , = , то, рассматривая полярныйугол φ как параметр, получим ′ = ′ − ; ′ = ′ + ; √ ′2 + ′2 =√( ′ ()2 + (())2 Теорема доказана.2. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами () + 1 (−1) + . . . + = 0 ,где a1, . . . , an – вещественные числа. Уравнение + 1 −1 + . .
. + −1 + = 0 называетсяхарактеристическим уравнением дифференциального уравнения.Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их черезλ1 и λ2. При этом возможны следующие случаи:1)λ1 и λ2—действительные и притом не равные между собой числа. Тогда 1() = 1 и 2 () = 2 Вронскиан этих функций не равен нулю, следовательно, они линейно независимы и образуютфундаментальную систему решений. = С1 1 + С2 2ТеоремаЕсли корни характеристического уравнения λ1 и λ2 удовлетворяют 1 () = 1 и 2 () = 2, то 1 () = 1 и 2 () = 2 являются решениями ДУ.ДоказательствоНепосредственно проверка.
Подставляем и убеждаемся, что корни характеристического уравнениясовпадают со значениями λ1 и λ2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
