1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Зто непосредственно следует нз уравнения энергии, которому формалъно под чиняется движение вершины. Затем движение неограниченно повторяется. Получается траектория цнклоидального типа. Траектория с петлями (рис. 169, а) получится, если в начальный момент сообпгить вершине скорость в направлении против прецессии. Если же начальная скорость сообщена в направлении прецессии, то получится траектория типа рис. 169, в.
В последнем случае скорость можно подобрать такой, что возник. нет регулярная прецесскя без нутаций. (гл. ун механика твврдого твлд В 53. Тенэор и эллипсоид инерции 1. Вычислим момент инерции 1 твердого тела относительно произвольной оси ОА (рис. 170). Без ущерба для общности можно принять, что ось проходит через начало координат О. Координаты будем обозначать либо х, у, г, либо х,, х„ха. Таким образом, х, =: х, ха:-у, ха.: — г. Разложим радиус-вектор г элемента массы тела г(т на составляющие вдоль оси ОА и перпендикулярную к ней: г = г + г3 .
По определению з момента инерции ут 1 -, Г гг гйп — Г (гз гх) Ит, 1 Если з — единичный нектар вдоль оси ОА, то г =(гз) = = хзх -! Угу+ гу,. Кране того, гг =- хг+ уз+ г'. Учтя эти соотаошения, а также саопюшение з'-„'+ з„'+ з' =- 1, получим 1=! за+1,,за+1,зг+21х гг.у +21,гз з.+21 тз,з Рис. 170.
ххл гуу ахг (53. 1) 1,„ == 1хг — постоянные, определяемые (53.2) Для этих постоянных будем пользоваться также обозначениями 1ы 1 г, - 1гз. Величины ! „., !уу, 1аю очевидно, имеют смысл моментов инерции тела относительно коордйнатиых осей Х, У, 2 соответственно. Совокугшость девяти величин 1 ух 1ху 1хг 1ух 1уу 1уг 1гх 1гу 1т (53.3) иззывают тгнзарам инерции тула относительно точки О, а сами эти величины— кампангкпшми зтага тгкзара *).
Тензар инерции симлмтр!гчск, т. е. 1,! —— - 1т, Поэтому он полностью определяется заданием шести иом!юнентов. Формулу (53.1) можно записать в более краткой и симметричной форме: з з 1 ~Д ~~ 1; а!аг. (53. 4) г=! 1=1 Если известны для какой-либо координатной системы все шесть компонентов теизора инерции, то по формуле (53.1) нли (53.4) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат О. Момент инерции относительно нсякой другой оси, не проходящей через начало координат, ногино вычислить с помощью теоремы Гюйгенса — Штайнера. 2.
Формула (53.4) допускает иаглндную геометрическую интерпретацию. Через начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях *) Тензором вообще называют упорядоченную совокупность девяти величин, заданную в каждой системс координат, причем при повороте координатных осей эти величины преобразуются как произведения компонентов двух векторов, где ! „, 1уу, 1гю 1х„ == !у„ !уг --ж 1,у, выражениями 1 х = ~ (У + г ) '!"! 1уу =((аз+ха) дт, 1„=) (ха+у') г(т, ! „1,м ) ху!(т, 1у, —— — 1,у — — ) уг дт, !гх = 1хг = 295 тензОР и эллипсОид инеРции и нз них откладывать отрезки длиной г == 11)г 1. Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность.
11апдем ес уравнение. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением г = э,')1 1, а координаты той же точни — х; = зд) 1. Исключая с помощью этих соотношений величины е! из (5ЗА), получим уравнение искомой поверхности ЕЕ 1; хх =1. (53.6) 1 ха+1 уз+1 гг 1 Е 1гх1! = — 1. (53.7) Тензор инерции приводится к диагональному виду 1 0 0 0 1„0 0 0 1е, (53.8) причем диагональные элементы тензора мы обозначили с помощью одного индекса.
Второй индекс в системе главных осей эллипсоида инерции опущен как излишний. Твним образом, для всякого твердого тела, где бы ни было выбрано начало координат О, существуют гари взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями эллилсоида инерции тела относительно точки О, для которых нгдиатнальные элементы тензора инерции обращаются е нуль. Эти оси называются также г тонами осями тензора инерции.
Они, очевидно, жестко связаны с телом. Точно так же жестко связан с твердым телом и эллипсоид инерции. Если известно положение эллипсоида инерции, то в тот же момент будет изнестно и положение вгего тела. Поэтому задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к задаче о вращении его эллнпсоида инерции вокруг той же точки. Этим воспользовался Пуансо (1777 — 1859) для наглядной геометрической интерпретапии иращения твердого тела вокруг неподвижной тачки. Она будет рассмотрена в следующем параграфе. Главные осн центрального эллипсоида инерции называют также глазными осчми самого тела. Направление главных осей тела часто можно определить, пользуясь соображениями симметрии.
Так, например„главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда парачлельны его ребрам, Если тело обладает симметрией вращения вокруг некоторой оси, то его эллипсоид инерции обладает тэкой же симметрией. К телам такого рода относится, например, цилиндр. В этом случае моменты инерции тела относительно нсех осей, перпендикулярных к оси симметрии, одинаковы. Одной из главных осей тела является его ось симметрии. Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллипсоидом, так как момент инерции 1, а с ним и длина радиуса-вектора г имеют конечйые значения, каково бы ни было направление оси э.
Она называется зллипсоидом инерции тела относительно точки О, являющейся его центром. При перемещении начала координат О относительна тела будет меняться и эллипсоид инерции тела. Если в качестве О взят центр масс тела, то соответствующий эллипсоид называется центральным. 3. Как и всякий тензор, тензор инерции зависит от выбора начала координат и направления координатных осей.
При изменении координатной системы ме. няются и значения компонентов тензора инерции тела. Существенно, однако, что какова бы ни была координатная система, всегда могут быть найдены все шесть номпоиентов тенаора инерции, хотя бы но формулам (53.2). В частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе в уравнении (53.5) пропадиот члены, содержащие произведения координат, и это уравнение примет вид МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. НН Всякая прямая, к пей перпендикулярная, также будет главной осью тела. Таким образом, существует бесконечное множество троек взаимно перпендикулярных главных осей тела, у которых одна ось, а именно ось симметрии, будет общей. Для шара эллипсоиды инерции относительно всех осей, проходящих через центр шара, одинаковы. В этом случае любая ось будет главной осью тела.
Для динамики вращательного движения твердого тела существенна симметия не самого тела, а симметрия соответствующего ему эллипсоида инерции. се тела с одинаковыми зллююоидани инерции динамически эквившггнтны. Чтобы эллипсоид инерции обладал симметрией вращения, не обязательно, чтобы само тело обладало той же симметрией. Возьмем, например, однородный параллелепипед с квадратным основанием. Поместим начало координат О в любой точке геометрической оси параллелепипеда. Тогда нетрудно поназать, что эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, ось симметрии которого совпадает с геометрической осью параллелепипеда. В динамическом отношении движение такого параллелепипеда описывается такими же уравнениями, что и движение однородного цилиндра. Если параллелепипед вырождается в куб, а начало координат помещено в его центре, то эллипсоид инерции вырождается в сферу.
В динамическом отношении однородный куб ведет себя так же, как однородный шар. Я. Допустим теперь, что твердое тело равномерно вращается вокруг закрепленной оси, например, оси, проходящей через неподвижные подшипники, Со стороны подшипников тело подвергается действию снл. Пусть это единственные внешние силы, действующие на тело. Их равнодействующая р найдется по теореме о движении центра масс.
Она равна р оно г с где г — радиус.нектар центра масс тела, пронеденный от оси вращения перпен- С дикулярно к ней. Момент внешних сил относительно начала координат равен М= — ~ [гызг ) йт=ыз) [г г [йт. Примем ось вращения за координатную ось Х, тогда г = хг, ГА = у/+ гй. Учтя соотношения [(У[ = Ф, [гй] = — Г', получим М = ыа!' ) гх дт — ызй ) ху йт, или (Гхвй г гхл). Уберем подшипники н спросим себя, при каких условиях днижеиие тела не изменится, т.
е. останется вращением вокруг прежней оси Х. Для этого необходимо, чтобы х" = М =- О. Следоэательно, ось вращения должна проходить через центр масс и, кроме того, должно быть г,х = ! „== О. Последнее условие означает, что ось вращения должна быть однои из главных осей тела. Найденные условия являются и достаточными. Это следует из того, что при их выполнении удаление подшипников не меняет уравнения движения центра масс и уравнения моментов относительно центра масс. Эти же уравнения (при заданных начальных условиях) однозначно определяют движение твердого тела. б. Итак, во всяком твердом теле сущсстауют три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями центрального вллипсоида инерции тела, вокруг которых тело может вращаться без воздействия внешних сил.
Такие оси называются поэтому свободными или перманентными осями вращения, Последним термином хотят подчеркнуть, что вращение твердого тела по инерции в отсутствие возмущений может продолжаться сколь угодно долго, Иное дело, будет ли это вращение устойчииым по отношению к малым возмущениям, с которыми в реальных условиях всегда надо считаться. Если при наличии таковых характер движения тела меняется мало, т, е. мгновенная ось вращения хотя и непрерывно цзменяет свое положение н теле и пространстве, но все время проходит очень близко от соответствующей свободной оси, то вращение вокруг последней будет устойчивым, Если же сколь угодно малое возмущение существенно меняет ха- 1 В41 вилщвннп по ннвинии надул'и ндпОДвнжнОН тОЧКН 297 или короче— з Ел= ~ 14)го! (4=1, 2, 3). (53. го» 1=! Таким образом, компоненты гектора моглента количестеа движения яелтотся линейными однороднымлг функциями комиоиешиое гектора угловой скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
