1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Роль массы играет величина 11, роль силы — вектор !. Вершина гироскопа движется по поверхности неподвижной сферы единичного радиуса з» = 1. Ее ускорение слагается иэ ускорения (з), направленного по касательной к этой сфере, и 3 « радиального, или центростремительного, ускорения (з)й = — — з = — з ю т, е. з = (з) — з«з. Подставив это выражение в уравнение (52.5), видим, что центростремительное ускорение иэ него выпэдаст. Уравненнс принимает вид 1 (3) = [Мз]+19ю [зз1 (52.7) Следовательно, уравнение (52.5) нли эквивалентное ему уравнение (52.7) определяют не полное ускорение вершины гироскопа з, а только его составляющую (з)1 насательную к поверхности единичной сферы за = 1.
Этого достаточно для нахождения движения вершины по начальным условиям (например, по начальному положению и началыюй скорости вершины гироскопа). Действительно, движение вершины гироскопа аналогично движению не свободной, а связанной материальной точки, выну»кденной находиться на заданной поверхности.. Воображаемую материальную точку, масса которой равна 1 , помещенную в вершине гироскопа, мы иногда будем называть иэобраасаюл)ей точкой. На правую часть в уравнении (52.7) можно смотреть как на некоторую «силу», сообшающую ускорение изображаощей точке. Первое слагаемое в втой «силе» связано 2.
Уравнение (52,3) определяет изменение во времени угловой скорости вращения гироскопа ю1 вокруг оси фигуры. Оно совпадает с соответствующим уравпением вращения твердого тела вокруг закрепленной оси. Уравнение (52А) определяет ускорение з, с которым движется вершина гироскопа. Запишем его в виде МЕХАИИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. ЧИ с действием реальных спл, возникающих при взаимодействиях гироскопа с окружающими телами. Его мы будем называть реальной силой Усе»»л = [Мз! (52.8) Второе слагаемое 1 ы [зз! к взаимодействию тел не имеет отношения.
Это есть а л фиктивная «сила», возникающая прн вращении гироскопа вокруг осн фигуры. Она называется отклоняющий силой: =. 1,ю [зз) (52.9) Отклоняющая сила отлична от нуля талька тогда, когда изобра»кающая точка движется. Она перпендикулярна как к оси фигуры гироскопа, так и к скороши движения изображающей точки. Эта сила стремится отклонить вершину гироскопа вбок от направления ее движения. Действиеи отклоняющей силы объясняются все характерные гироскопические эффекты. Таким образом, основное уравнение движения симметричного гироскопа может быль записано в виде 1 х ( з) л =.Гр +У (52.10) 3.
Приближенная теория гироскопа рассматривает такие дннжения его, при которых ускорением (з) ~ в уравнении (52.10) можно пренебречь. Действительно, в этом случае Урала+ латал = 0 или 1« ы,! [зз)+ [Мз) = О. Так как оба вектора з и М не имеют составляющих вдоль оси фигуры, то отсюда получаем 1,ы,з=М, а это и есть основное уравнение приближенной теории гироскопа. 4. К движению изображающей точки, поскольку оно описывается упавнением (52.10), формально можно применять все теоремы механики точки, например уравнение сохранения энергии.
При этом надо только иметь в виду, что отклоняющая сила как перпендикулярная к скорости з работы не производит. Работа производится только реальной силой д' „,. 5. На основе точного ураннения двйжелния симметричного гироскопа можно, конечно, исследовать движение свободного гироскопа. Поскольку, однако, относящиеся сюда результаты уже были получены в з 49, мы не будем заниматься этим исследованием, а рассмотрим на основе точной теории вынужденную прецес. ,сию и нутации симметричного гироскопа. Допустим, что действующая сила с постояана и приложена в одной из точек аси фигуры гироскопа (рис. 168). Радиус-вектор этой точки, проведенный ич ,точки опоры, обозначим а.
Если точка опоры О не совпадает с центром масс гироскопа, то роль силы с" может выполнять вес самого гироскопа. Момент силы»и равен М = [ас! =[ас'! [, где с" с — слагающая этой силы, перпендикулярная к оси фигуры гироскопа. Следовательно, драла — — [Мз! = [[ас', ! з[ = п)сА, так как векторы а и з коллинеарны.
Таким образом, уравнение (52.10) примет вид 1, (з),=ар„+1,!ы,[[зз!. (52. 1 1) Теперь поставим вопрос, можно ли вершине гироскопа сообщить такую начальную скорость, чтобы ана совершала регулярную прецессию, т. е. равномерно вращалась вокруг аси, параллельной направлению действующей силы с и проходящей через точку опоры гироскопа О. Угловую скорость такого враше. ния обозначим (). Конкретно под силой с будем понимать вес самого гироскопа: У Эз! ОСНОВЫ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 291 1 ()зсемсс — 1 в,Г)+а/=О, И (52.12) откуда 1. в! .е- ]/ 1~1,в*, — 4а/1 з соз а ()— 21 „соз а (52.13) Если центр масс гироскопа лежит вылив точки опоры, то угол и — острый (см.
рнс. 168). В этом случае при недостаточно быстром собственном вращении гироскопа подкоренное выражение в формуле (52,13) может оказаться отри- Я цательным. Тогда рассматриваемая аг регулярная прецессня становится невозможной, а положение гироскопа— неустойчивым. Вообще, для устойчи/ ности гироскопа необходимо выполне- / ние условия / П в"- — 4а//„соз в ) О. (52.14) / Это условие выполняется всегда, когда центр масс гироскопа лежит ниже я точки опоры. Если же центр масс расположен выше точки опоры, то гнроет скоп должен вращаться достатояно быстро.
0 Допустим, что условие (52.14] выРис. 168. полнено. Тогда квадратное уравнение (52.!2) имеет два вещественных корня. В этом случае регулярная прецессия возможна и притом не одна, а две. Прецессия, которой соответствует меньший по абсолютной величине корень уравнения (52.12), назынается медленной. Процессия, соответствующая другому корню, называется быстрой. 6.
Допустим, что выполнено условно Пгое ~ ] 4и/1 ! соз и ' . Тогда для квадратного корня в формуле (52.13) можно написать приближенно 4а/1 соз а Нз 2аГ1, сова 1в 1 — — ~ — 1в и ' 1'.'в', ) н и 1ИьзИ В резульгате получится ар ()ьехл 1 Ивд аыетР (52. 15) (52.16) Формула (52.15) совпадает с йюрмулой (50,4), к которой приводит приближенная теория гироскопа. Таким образом, регулярная прецессия, о которой говорится /' = т)Т.
За положительное направление вектора() примем направление вверх„ т. е. направление, противоположное силе Р (см. рис. 168). Ответ на поставленный вопрос легко получить из уравнения (52.!1). Для этого спроектируем уравнение (52.11) на направление вектора /', . Вершина гироскопа при регулярной прецессии движется со скоростью з = ((Гз] и ускорением з — — — яег, где/ — радиус-вектор, проведенный от оси прецессионного вращения к вершине гироскопа (г.= з з!п и = =- вп а, причем и означает угол между осью фигуры гироскопа н вертикальным направлением).
Взяв от ускорения з его составляющую, перпендикулярную к осн фигуры, и выполнив указанное проектирование, получим после сокращения на 51п я: МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. УЗ1 в приближенной теории, есть медленная лрелессия. Угловая скорость быстрой прецессии, как видно из формулы (52.16), по порядку величины совпадает с ю Здесь не выполнено основное условие применимости приблизкеиной теории а' ю ~~ ы . Поэтому быструю прецессию нельзя рассматривать в рамках приблиа' женной теории. Регулярная прецессия свободного гироскопа, рассмотренная в 8 49, есть частный случай быстрой прецессии, при котором Р = О. 7.
Для того чтобы у читателя не сложилось впечатления, что быстрая прецессия является каким-то чисто умозрительным явлением, рассмотрим тривиальный пример конического маятника, когда ы =- О и ни о каких гироскопических Н эффектах говорить не приходится. Разумеется, в этом случае центр масс должен лежать ниже точки падвеса. Поэтому угол и целесообразно заменить дополнительным углом () =- п — и, который ось маятника образует с вертикалью, направ ленной вниз. Формула (52.13) переходит в т.
е. в известную формулу для круговой частоты конического маятника. 8. Регулярная процессия, как медленная, так и быстрая, является весьма специальным частным случаем движения вершины гироскопа, реализующимся при вполне определенных начзльных условиях. Для исследования общего случая в уравнении (52.7) сделаем замеву з = и„+ пн, Вектор о„определим из условия [Мз]+ 1 оз [зп) = О. Тогда 11 (э)1 = 1тща [эпв). Величина п„есть скорость вершины гироскопа, с которой она двигалась бы, если бы совершала медленную регулярную прецессню. (Вторая слагающая скорости о„будет описывать нутацию.) Если пренебречь ускорением при такой прецессии, то э = па, а потому 1, о„=1цы, [зон[, (52.17) 1 ()„г !йа1ьгьг, откуда 'и Йа = -! — И)9 (52.18) Таким образом, в общем случае на медленное прецессионное движение вершины гироскопа накладывается равномерное круговое движение с круговой частотой ()н, определяемой уравнением (52.18).
Радиус кругового движения равен г = оа о„ 1 †'-'- = †" †. В результате такого наложения траектория вершины гироскопа может быть либо циклоидального типа (рнс. 169, б), либо петлеобразного (рнс. 169, а), либо она будет напоминать синусоиду (рис. 169, в). Какой нз этих случаев осуществляется в каждом конкретном случае, зависит от начальных условий, т. е, от положения вершины гироскопа в начальный момент времени и причем мы опустили у п„значок щ так как слагающня ускореняя вдоль оси фигуры гироскопа сейчас не представляет интереса, и от нее можно отвлечься.
Если на правую часть уравнения (52.17) смотреть как на аналог силы, то эта сила будет перпендикулярна к скорости ею а потому она не может производить работы. Поэтому величива скорости ен меняться не может, и уравнение (52.17) описывает равномерное движение по окружности. Если г — радиус такой окружности, а 42а — УглоВаЯ скоРость вРащениЯ, то о„= ()аг, ) П„) = ()заг. ПРи этом ввндУ перпендикулярности между х и п„из уравнения (52.17) получается б бя1 ОСНОВЪ! ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 293 скорости, которая ей была сообщена в тот же момент, Наложением кругового движения на медленную прецессию и объясняются нршачии, о которых говорилось в б 50.
Радиус кругового движения и есть не что иное как амплит>да нутационных колебаний. При и = 0 нутаций не будет, и движение вершины перейдет в регулярную прецессию. П р им е р. В авиагоризонте, рассмотренном в примере б 50, 11= з(з7, и Число нутаций на один прецесснонвый оборот равно г(= —" — — — — =4,77 10э. () 7!.
ы1, и Х "и Если начальная скорость вершины гироскопа равна нулю, то пи+ о„= О, а потому г = ои(!)и. Но ои = )1(1„, где )1 — радиус прецессии. Таким образом, г ()и 1 1 Ь' !)и Л' 4,77 !04 ' Зтот пример наглядно показывает, насколько мелким и частым дрожанием являются нутации в быстро вращающихся технических гироскопах. э) Рис. 169. 9. В заключение рассмотрим, как можно качественно объяснить характер траектории вершины гироскопа при наличии нутаций. Мы исходим непосредственно из уравнения движения вершины (52.11). Пусть на рис.
169 ось фигуры гироскопа своим положительным концом направлена в сторону читателя. Пусть в начальный момент времени вершина неподвижна и занимает положение А, (см. рис. 169, б). В этот момент скорость з, а потому и отклоняющая сила! ю (зз) и и равны нулю. Под действием силы тяжести вершина получает скорость, направленную вниз. Но тогда появляется и боковая отклоняющая сила. Она начинает загибать траекторию вершины влево (если, встав на плоскость рисунка, идти в сторону движения). В положении Вг скорость вершины становится горизонтальной, а отклоняющая сила — вертикальной. По величине отклоняющая сила превосходит силу веса, и вершина гироскопа начинает подвнматься. В верхнем положении Аи скорость вершины обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
