1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 75
Текст из файла (страница 75)
б. Вид конуса паладин (54.5) зависит от значения параметра 1В вщ (.о/(2К). Очевидно, все коэффициенты ураввеяия (54.5) не могут иметь одинаковые знаки, так как в этом случае уравнение не может удовлетворяться вещественными значениями х, у, г. Отсюда следует, что 1„ — йо > О. Действительно, если бы 1„ — й' было меньше нуля, то в силу условия (54.1) величины 1„— йо и 1, — 1В тем более были бы меньше нуля, т. е. все три коэффициента в уравнении (54.5) были бы отрицательны.
А зто, как мы показали, невозможно, Заметив это, видим, что могут представляться только два случая: случай 1: (lе — 1д)>0, (1,— йз)<0! случай 2: (1е — йз) < О, (1, — йо) < О. В первом случае уравнение (54.5) имеет вид Ах'+ Вуо — Сг' = О, где А, В, С вЂ” положительные постоянные, причем А > В > С. Сечение конуса паладин плоскостью г = а = сопз1 есть эллипс Ахз+ Ву' = Саз, а потому конус поло. дии окружает ось наименьшего момента инерции Я.
Напротив, сечения его плоскостями к = сопз1 и у = сопз1 имеют гиперболическую форму. Во втором случае уравнение конуса поладив имеет вид Ако — Вуо — Сго = 0 с положительными постоянными А, В, С. В этом случае в сечении получается эллипс, если оно производится плоскостью х = сопз1. При сечении же плоскостями у = сопз1 и г = сопВ образуются гиперболы. Таким образом, в зависимости от значения параметра й конус полодии окружает либо огь наиболыггего, либо огь наименьшего моментое инерции тела.
Но он никогда нг окружает огь иромежуточного момента инерции. 7. Теперь вопрос об устойчивости вращения относительно свободных осей тела решается тривиально. Если тело вращается по инерции вокруг одной из свободных осей, то при наличии возмущения это вращение будет искажено. После прекращения возмущения мгновенная ось начнет описывать в теле конус полодин. Если вращение происходило вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментами инерции, а возмущение было мало, то после прекращения последнего возникнет конус паладин малого раствора, окружающий эту ось. Двигаись по нему, мгновенная ось все время будет проходить вблизи свободной оси, вокруг которой было возбуждено первоначальное вращение тела.
Зто значит, что вращение вокруг такой оси является устойчивым. Напротив, если тело первоначально вращалось вокруг оси промежуточного момента инерции, то после воздействия малого возмущения возникнет конус поладив широкого раствора, окружающий либо ось наибольшего, либо ось наименьшего моментов инерции, Двигаясь по такому конусу, мгновенная ось нращения далеко уйдет от своего исходного направления.
Следовательно, вращение вокруг свободной оси с промежуточным моментом инерции является неустойчивым. 8. Если моменты инерции относительно каких-либо главных осей, например Х н У, совпадают между собой (1, = 1„), то эллипсоид инерции и конус паладин з З4] ВРАЩЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 30! будут обладать симметрией вращения относительно осн Я, Конус полодин имеет внд А (х'+ ут) — Сгз == О, где А и С вЂ” положительные постоянные. Его сечение гиоскостью, перпендикулярной к осн 2, будет круговым. Сечения же плоскостями, параллельныл4и этой оси, будут гиперболическими.
Конус полодии, таким образом, окружает ось 2. Вращение вокруг этой осн будет устойчивым, а вращение иокруг перпендикулярной к ней оси — неустойчивым, Действительно, если вращение совершалось, например, вокруг оси Х и подверглось возмущению, то после прекращения такового мгновенная ось начнет описывать кругоной конус полодии с осью симметрии Е. Если возмущение мало, то это будет конус очень большего раствора. Его образующие будут наклонены к оси симметрии Е под углом, близким к 90".
Двигаясь по такому конусу, мгионеяная ось вращения далеко уйдет от своего исходного положения в теле. Однако она все время будет оставаться почти перпендикулярной к оси 2. Всякая прямая, перпендикулярная к оси и проходящая через центр масс тела, может служить перманентной осью вращения. Когда моменты инерции 1„, 1з и 1, совпадают между собой, то коэффициенты уравнения (54.5) тождественно обращаются в нуль. Это означает, чю любая ось, проходящая через центр масс тела, может быть саободгюй осью вращения.
Г Л А В А Ч111 ТЯГОТЕНИЕ 5 55. Законы Кеплера и закон всемирного тяготения 1. В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546 — 1601) Кеплер (1571— 1630) эмпирически установил три закона планетных движений. Эти законы формулируются следующим образом: 1) каждая планета движется по эллипсу, в одном иэ фокусов которого находится Солнце; 2) радиус-веюпор планеты в равные времена описывает равные алаи(ади; 3) коадраты времен обращений планет относятся как кубы больиисх осей эллиптических орбипг, по коп1орым они движутся вокруг Солнца.
Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний — в 1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения. Рассмотрим этот вопрос. Из первого закона Кеплера следует, что траектория планеты— плоская кривая. С учетом этого обстоятельства, как было показано в 5 31, из второго закона Кеплера следует, что сила, заставляющая планету двигаться по замкнутым орбитам, направлена к Солнцу. Определим теперь, как эта сила изменяется с изменением расстояния от Солнца и как она зависит от массы планеты.
Для упрощения расчетов допустим сначала, что планета движется не по эллипсу, а по кругу, в центре которого находится Солнце. Для планет Солнечной системы такое допущение не является особенно грубым. Эллипсы, по которым на самом деле движутся планеты, весьма мало отличаются от кругов. Ускорение планеты при равномерном движении по круговой орбите радиуса с выражается формулой 4и' а = — ы'г= — —,г. тз Для планет, движущихся по круговым траекториям, третий закон Кеплера записывается в виде Т1 , 'Тэ.' Тз .'...
= г1 .' Тг.' сг...., или е — = Л ЗАКОИЪ| КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 303 где Л' — постоянная для всех планет Солнечной системы. Она называется постоянной Кеплера. Через параметры эллиптической орбиты постоянная Кеплера выражается формулой РЯ г где а — длина большой полуоси орбиты. Выразив Т через Л" и г, для ускорения планеты при движении по круговой орбите получим (55.2) Сила, действующая на планету, равна 4я'Д:,"т ГЕ ! (55.3) где т — масса планеты. Мы доказали, что ускорения двух разных планет, обращающихся вокруг Солнца по круговым орбитам, обратно пропорциональны квадратам расстояний их от Солнца.
Но мы еще не доказали, что такая закономерность справедлива и для одной и той же планеты, обращающейся вокруг Солнца по эллиптической орбите. Чтобы доказать это, надо от рассмотрении круговых движений перейти к исследованию движений по эллипсу. Это будет сделано в следующем параграфе. Но можно обойтись и круговыми движениями, если использовать добавочное предположение, что сила взаимодействия между Солнцем и планетой зависит только от мгновенного расстояния между ними, но не зависит от формы траектории, по которой движется планета. Тогда формулы (55.2) и (55.3) можно применять не только к разным планетам, обращающимся по круговым орбитам на разных расстояниях от Солнца, но и к различным положениям одной и той же планеты, движущейся по эллиптической траектории.
2. Коэффициент пропорциональности 4Г|'Ю, входящий в формулы (55,2) и (55.3), — один и тот же для всех планет, а потому он ие может зависеть от массы планеты. Он может, однако, зависеть от параметров, характеризующих Солнце, поскольку последнее является источником снл, заставляющих планеты двигаться по замкнутым орбитам, Но Солнце и планета в их взаимодействии выступают как равноправные тела.
различие между ними только количественное. Они отличаются друг от друта массами. И если сила взаимодействия г" пропорциональна массе планеты т, то она должна быть пропорциональна также и массе Солнца М. Для этой силы можно поэтому написать г" = б —.—, (55.4) ТЯГОТЕНИЕ 1Гл. Т111 где б — новая постоянная, уже не зависящая ни от массы Солнца, ни от массы планеты. Сравнивая эту формулу с (55.3), получаем следующее выражение для постоянной Кеплера: и» 0М (55.5) 3.
Далее, Солнце и планеты отличаются друг от друга и от других тел также только количественно — величинами масс. Поэтому естественно предположить, что притяжение существует не только между Солнцем и планетой, но и между планетами, а также между любыми другими телами, и что сила притяжения определяется формулой (55.4), в которой под М и т следует понимать массы взаимодействующих тел. Это предположение было введено Ньютоном и подтвердилось на опыте. Он сформулировал закон всемирного тяготения, согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними, Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения. Коэффициент пропорциональности 6, входящий в формулу (55.4), — один и тот же для всех тел. В этом смысле он является универсальной постоянной. Это — одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.
В приведенной формулировке закона всемирного тяготения предполагается, что взаимодействующие тела являются точечными. Физически это означает, что размеры тел очень малы по сравнению с расстоянием между ними. Здесь, как и всегда в физике, слова «велик» и «мал» употребляются в относительном смысле— велик или мал по сравнению с чем-то. Указанное условие хорошо выполняется для взаимодействий Солнца с планетами, планет между собой и со спутниками. Но если речь идет о гравитационном притяжении двух тел с размерами )О см, когда расстояние между их центрами масс составляет, например, 20 см, то такие тела не могут рассматриваться как точечные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
