1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Чтобы рассчитать их гравитационное взаимодействие, надо мысленно разбить каждое тело на очень малые части, подсчитать по формуле (55.4) силы притяжения между такими частями, а затем эти силы геометрически сложить (проинтегрировать). В основе этого вычисления лежит принцип суперпозиции гравитационных полей. Согласно этому принципу гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, совершенно не зависит от наличия других масс. Кроме того, гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Принцип этот является обобщением опыта. Пользуясь принципом суперпозиции, легко доказать, что два однородньх шара притягиваются между собой так, как если бы 5 ЗЗ1 ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 305 их массы были сконцентрированы в их центрах (см.
задачи 2, 3, 4 к этому параграфу). Заметим еще, что каждая планета подвергается гравитационному притяжению не только Солнца, но и других тел Солнечной системы. Однако масса Солнца является преобладающей. Оиа более чем в 700 раз превосходит общую массу планет и всех остальных тел Солнечной системы. Благодаря этому Солнце является основным телом, управляющим движением планет. Законы Кеплера можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона (см. 9 62). При таком выводе предполагается, что единственной силой, действующей на планету, является гравитационное притяжение Солнца. Поэтому законы Кеплера являются приближенными законами, не учитывающими гравитационное действие остальных тел Солнечной системы. г ы 1 1 В / / 1 тл л ву Рис. 171.
4. Во времена Ньютона закон всемирного тяготения был подтвержден только астрономическими наблюдениями над движениями планет и их спутников. Впервые непосредственное экспериментальное доказательство этого закона для земных тел, а также численное определение гравитационной постоянной 6 были даны английским физиком Г. Кавендишем (1731 — 1810) в 1798 году. Прибор Кавендиша состоял из легкого горизонтального коромысла (рис. 171, а), иа концах которого укреплялись два одинаковых свинцовых шарика массы т. Коромысло подвешивалось на тонкой вертикальной нити аб. Вблизи свинцовых шариков т и т помещались два других больших свинцовых шара массы М каждый, причем М )~ т.
Шары помещались сначала в положении АА, затем переводились в положение ВВ (рис. !71, б). Благодаря гравитационному взаимодействию шариков т с шарами М коромысло поворачивалось из положения равновесия. Угол кручения а измерялся наблюдением луча света, отражавшегося от зеркальца 5. Если г — расстояние между центрами малого и большого шаров, а 1 — длина коромысла, то момент пары гравитационных сил, ТЯГОТЕНИЕ [ Гл т[[[ поворачивающий коромысло, будет 0 — „Е В положении равноМса Г" весна этот вращающий момент должен быть уравновешен упругим моментом закрученной нити )сс. Написав условие равновесия для положения свинцовых шаров сначала в АА (а = а,), а затем в ВВ (а = а,), получим два уравнения Из них находим 1 (а, — а,) = 26 —,, Мгл Модуль кручения 7" легко найти, наблюдая период свободных колебаний коромысла Т = 2л ф — = 2п ~/ з[ В результате получаем О= —,,[ ( т) (а„— ас).
5. Другой метод определения гравитационной постоянной был предложен Жолли (1809 — 1880) в 1878 году. На одном из плеч рычажных весов одна под другой подвешены две чашки (рис. 172), между которыми уста- Ф р новлено неподвижно тяжелое свинцовое тело массы М правильной геометрической формы. В этом теле просверлен вертикальный канал, сквозь который свободно проходит проволока, соединяющая обе чашки. Если на верхнюю чашку положить тело массы ш, то на него будет действовать вниз сила [',1, = тй+ г, где г — сила гравитационного притяжения Мт между массами М и гл. Она равна г" = лб —., Г" где à — расстояние между центрами рассматриваемых масс, а л — численный коэффиРис.
172. циент, зависящий от формы тела М. Для тел правильной геометрической формы его можно вычислить теоретически. Для шара й = 1. Если массу и перенести в нижнее положение, то сила г изменит направление. Сила, действующая вниз, станет Щ = тд — Г', Значения Я, и [7, определяются по весу гирь, которые надо положить на чашку весов, подвешенную к другому плечу коромысла, чтобы весы находились в равновесии. Таким образом, Я,— [,[с=2Г = — 2еб —, Из этого соотношения и можно вычислить [7, $ 551 ЗАКОНЪ| КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВЕГА!ИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 307 6. Измерения 6 современными методами привели к результату 6 = (6,6732 .+ 0,0031).!О-' дин см' г-' =- = (6,6732 + 0,0031).105И Н мч кг-'.
Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой г" =- 6,67 10" Н = 6,67 10' дин. Гравитационные силы ничтожны, когда речь идет о взаимодействии элементарньи части|). Здесь эти силы, возможно, не играют роли, так как они пренебрежимо малы по сравнению со всеми остальными фундаменгпальными силами (см.
задачу 1 к этому параграфу). Но они являются основными силами, управляющими движением небесных тел, массы которых очень велики. В этих случаях наиболее интенсивные — ядерные — силы совсем не проявляются, поскольку их радиус действия всего порядка 1О " см. Электрические силы, как и силы всемирного тяготения, являются силами дальнодейсп|сующими. Они убывают также обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако на движение астрономических тел электрические силы не оказывают влияния, так как они могут быть и силами притяжения, и силами отталкивания.
Все тела в высокой степени электрически нейтральны, действие положительных зарядов тела компенсируется равным и противоположно направленным действием отрицательных зарядов. Иное дело — гравитационные силы. Они всегда являются сигами притяжения. Гравитационные поля тел складываются, а не вычитаются. Это обстоятельство и является причиной того, почему из всех фундаментальных сил гравитационные силы остаются единственными силами, управляющими движением астрономических тел.
7. Ньютон ограничился констатацией наличия гравитационных сил и их количественным описанием. Но он воздержался от каких бы то ни было высказываний относительно их физической природы, справедливо считая, что по этому вопросу в его время кроме фантастических измышлений ничего сказать было нельзя. После Ньютона было немало попыток дать наглядное физическое объяснение гравитационного притяжения. Никакого научного и дажеисторического интереса эти попытки в настоящее время ие имеют. Теория тяготения получила дальнейшее развитие в общей теории относительности Эйнштейна.
Но в ней речь идет не о наглядном физическом объяснении тяготения, а о новом способе описания его и об обобщении ньютоновского закона тяготения. Отказ Ньютона от объяснения тяготения, от сведения его к другим физическим явлениям был воспринят его приверженцами как (гл. упг ТЯГОТЕИИЕ общефизическая концепция непосредственного действия на расстоянии.
Эта концепция не только считает 'тяготение неотъемлемым свойством материн, но идет значительно дальше. Она считает, что каждому телу присуща способность непосредственно воздействовать на другие тела, находящиеся в других местах пространства, причем это воздействие осуществляется без какого бы то ни было участия промежуточной среды или других физических агентов.
Непосредственное действие на расстоянии отвергается современной наукой. Современная физика считает, что все вааимодейсяшия осу!4(ествляются полями. Однако она не пытается представить механизм действия поля как-то наглядно. Она наделяег поле лишь способностью к объективному существованию и к передаче взаимодействий. Тело А не непосредственно действует на тело В. Оно создает вокруг себя гравитационное поле. Это поле и воздействует на другое тело В и проявляется в виде силы, действующей на него.
ЗАДАЧИ 1. Найти отношение силы гравитационного притяжения между двумя электронами (и двумя протонами] к силе их электростатического отталкивания. Ггр Отз О т в е т, — = —,, где с=4,8 1О те ед. СГСЭ вЂ” элементарный заряд. Гза гд Подставляя в формулу массу электрона ш, =- 9,!! 1О м г н массу протона глр = = 1,67 !О ы г, получим для электрона Г, !Гз„ = 2,4.!О 'з, для протона Ргруеза = 8, 10-зт 2.
Найти потенциальную энергию и силу гравитационного притяжения между однородной полой сферой массы М н материальной точкой массы ш. б) Рис. 173. Р е ш е н и е, Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных масс определяется формулой (25.6) Соединим центр сферы О с точкой А, в которой помещена точечная масса ш (рис.
!73, а и б). Из точки О, как из вершины, опишем два круговых конуса с общей осью ОА, образующие которых наклонены к этой оси под углами О н О+ бо, Они вырежут на поверхности сферы элементарный поясок с площадью б5 = 2лгз з!п Обо, где г — радиус е5 м сферы. Масса этого пояска бМ = М вЂ” = — — зш О бо. Так как точки пояска р ан- 4ягз 2 ноудалеиы от точки А, та потенциальная энергия гравитационного взаимодействия пояска н точечной массы и равна Мш В(7- Π— згп О бО. 2 злконы кн~лггл и злкон нсгмигного тяготнния 369 4 Щ Перейдем к новой переменной р — расстоянию между точечной массой т и какой- либо точкой пояска. Эта переменная связана с О соотношением рз = Яз+ + «з — 2й«соз О, где й — расстояние ОА между центром сферы и точечной массой т.
При перемещении вдоль поверхности сферы величины Я и «остаются постоянными, поэтому р яр =й«яп О дб, а следовательно, Очаге Мт д(7= — С вЂ” др, 2)7« (Г= — а — ~ др. Лйл 2Ю о мив Если точка А лежит вне сферы, то максимальное и минимальное значения р равны соответственно р„,е, = И + «н р„„„=- )7 — «. В этом случае интегрирование дает У= — 6 —. Мт Р (55.6) Допмнциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо и для силы взаимодействия Г, Действительно, согласно (29.3) сила Р определяется формулой ~Ш Мт г" =— = — С вЂ”. д)7 Яз Можно сказать, что сфера притягивает гштериальную линку так, как если бы еся ее масса бьсла сосредоянгюна в ее центре. Можно сказать н иначе: точечнаа масса притягивает сферу так, как если бы еся масса последней была сосредоточена в ее центре.
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рнс. 173, б), то р„„, . = «+ Р, р„„„= « — Л, и интегрирование дает У= — б —. Мт (55.7) На границе полости выражения (55.6) и (55.7) совпадают. Согласно (55.7) потек. циальная энергия материальной тоеси внутри полости не зависит от )т, она постоянна. Сила Р, дейслмующая на мшлериальную точку в этом случае, раааа д(« нулю, так кзк У = сонат, а потому « = — — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
