1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Расстояние от Земли до Солнца йа =. 1,б 1О км. Ответ; Я= ~Г 1 — -1 ' = 21саа=з !Оа км. )г т„, м, 2. Минимальное расстояние между компонентами двойной звезды, обращаю- щимися один относительно другого, равно г,. Относительная скорость их в этом положении равна о,. Сумма масс обоих компонентов равна М.
Найти расстояние между комповентами г и их относительную скорость сй при манснмальном уда- лении относительно друг друга. Прн каком минимальном значении относитель- гюй скорости о, двойная заезда распадется? 1' 26М 1 г, гг 20М Звезда распадается, если о, 1тг г, й 60. Пряменение закона всемирного тяготения к проблеме земной тяжести г я ст Ьсабс = ПЛ~ ) ° ~гг' (б0.3) ') Сила веса, о которой идет речь в агом утвержзюнни, строго позоря, равна силе гравитационного притяжения только в том случае, когда взвешивание производится на весах, покоящихся илн не имеющих ускорения отюснтельно ииерциальной системы отсчета (см. $ 66). По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей е).
Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относитетьно Земли. Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е, его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в 2 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравита- ционное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение силы тяжести д,б, на расстоянии г от центра Земли должно определяться формулой й~абс = ы з М (50,1) гз ' где М вЂ” масса Земли.
Той же формулой должно определяться ускорение Луны ал на ее орбите: ал =б;г, М (50,2) где )т' — радиус лунной орбиты. Таким образом, 324 !гл. чгп тяготвнив Если ал известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения гг,д, на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном. Ускорение Луны ал можно вычислить, зная 77 и.период обра. щения Луны по ее орбите Т (относительно звезд). Эти величины равны соответственно Я = 3,844 10' км, Т = 27,32 суток, Используя их, находим гтл = —,0=0,2723 см/ся. (60. 4) Средний радиус 'земного шара г, определяемый из условия, чтобы величина -- г' равнялась объему Земли, равен г = 6371 км. Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим д,д, — — 991,4 см!св, Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе д,а, = 983,2 см/сз, на экваторе д„, = 981,4 см/са. Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона.
Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли (ах!)„„, тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорение Луны относительно инерциальной системы отсчета (ал),д,. Согласно формуле (69.4) эти ускорения связаны между собой соотношением где лг — масса Луны.
Следовательно, вычисленное выше значение хх,а, надо уменьшить в (1+ и/М) раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет и/М =- 1/81. Введя эту поправку, получим п,а, =- 979,3 см!са, что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся неболыпое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой. Заметим, что с помощью формулы (60.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать численное значение гравитационной постоянной б.
злдлчи 1. Показать, что если высота над земной поверхностью мала по сравнению с раднусом Земли Р, то зависимость ускорения силы тяжести от высоты определяется прнблнженаой формулой я~до(1 — 2- — ) =д (1 — 0.003146) й! з где дз — значение я на земной поверхности. Предполагается, что высота И нзмеряется в километрах. 2. ххля вычисления средней плотности Земля 6 Эйря (1801 †18! предложнл н осуществил следующий метод. Измеряются ускорения силы тяжести яз 325 КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ о о11 на поверхности Земли н и в шахте глубины 5.
Прнннмаетсн, что плотность Земли в цоверхиостном слое толщины Ь однородна и равна бо = 2,5 г!смз, (Зто предположение плохо соответствует действительности.) В опйтах Зйрн было я — ро = = 0,000052 по, Р(5 = 16 000 (Р— радиус Земли). Пользуясь этими данными, вычислить среднюю плотность Земли. (Обратите внимание, что д вблизи поверхности Земли возрастает с глубиной! Чем зто объясняется?) О та е т. 6~ — 6,5 г/смз. 36о Ы Ео 2 —— Ыо 3.
)Топустнм, что в земном шаре вдоль осн его вращения просверлен канал ог полюса к полюсу. Как будет двигаться материальная точка, помещенная в такой канал без начальной скорости? Плотность вещества земного шара р считать олнородной. Ответ. Точка будет совершать гармонические колебания с круговой 4п частотой, определяемой соотношением то= — рб = —, где Р— радиус земного 3 Р' шара, я — ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Период.этих колебаний Т = 2п1~ Р7д 84 мин, Интересно отметить, что период колебаний зависит только вт нвоглности шара, но не зависит огл его размеров.
8. Определить начальную скорость метеоритов о, если максимальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на Землю, равно 1 (! .м Р, где Р— радиус земного шара). Получить численный ответ при 1= 2Р. (См. примечание к задаче 6 58.) Ответ,а =Р 1,' — При 1= 2Р о =- з,г — 8Р=Б,Б км(с.
1 АР Г2 У' 1 — Р» 1г 3 5. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты советского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения спутника (относительно звезд) Т = 102,2 мин, расстояние до поверхности Земли в пернгее 210 км, в апогее 1548 км. Землю считать шаром с радиусом 6371 км. 4п' а' О т а е т.
34 = — - — — 6 10" г, где а — радиус круговой орбиты спутника. 6 Тз В 61. Космические скорости 1, Теория фннитных и ннфинитных движений планет, изложенная в 8 67, полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями). Сопротивление воздуха мы ие будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, прн движении вблизи Земли мы будем пренебрегать силами гравитационного притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать буквой Л4, массу искусственного спутника — буквой и. Полная энергия спутника нли космического корабля в поле земного тяготения равна тоо Мт Е= — — 6— 2 г или в силу соотношения (60.1) Е = лтгбобс 2 (61.1) 1гл.
чш тяготение (В дальнейшем будем писать просто д вместо й,е,.) Если энергия Е отрицательна, то движение финитно н будет происходить по эллиптической траектории. При круговом движении о„=- ~//6 = ) 'иг . (61,2) о„= ~'с2дт = о„)/2 11,2 км/с, (6!.3) называемой параболической или второй космической скоростью. Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю (при условии, что тело не подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел).
Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. начальная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим. 2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до Солнца составляет 150 миллионов километров. Скорость Земли при круговом движении на таком расстоянии 29,8 км/с. Для того, чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной системы, надо сообщить ему скорость относительно Солнца не меньше 29,8),~2 —.. 42,1 км/с. Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с.
Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли дополнительную скорость 42,! — 29,8 = 12,3 км/с в направлении ее движения, чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с параболической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной системы.
В действительности для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Величина третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбиталь.
ного движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны. Если à — радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется первой космической скоростью. Она приблизительно равна 8 км/с. Минимальное значение энергии Е, при котором движение становится инфинитным, равно нулю. В этом случае получается движение по параболе со скоростью 4 а!1 касмичйскид скОРОсти Тачнсю вычяслвние третьей космкнескай скорости давольно кропотлива, так как при этак надо учесть гравитационное взаимодействие трех тел; Солнца, Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет больша>о труда, если пренебречь влиянием поля тяготения Солнца иа движение космического корабля в.
течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного тяготения '). Будем обозначать малыми буквами (И о>о оч) скорости корабля относительно Земли. Все скорости относительна Солнца будем обозначать бальшимн буквами (У, У, У,). Пока корабль движется в поле земного тяготения, его движение удобнее от>>осить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
