1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 83
Текст из файла (страница 83)
И на силы инерции можно смотреть как на действия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей. Правда, эти поля определенным образом преобразуются при переходе от рассматриваемой системы отсчета к другой системе, движущейся относительно нее ускоренно. Но это не является основанием считать эти силы фиктивными. Ведь электрические и магнитные силы также преобразуются при переходе к другой системе отсчета (даже от инерциальной к инерциальной). И тем пе менее никто не сомневается в реальном существовании электромагнитных полей. Е!езавнсимо от того, какую из этих точек зрения мы примем, сущесгвует много явлений, которые могут быть интерпретированы как проявление сил инерции. Когда поезд набирает скорость, пассажир в вагоне испытывает действие силы, направленной против движения поезда.
Если пассажир сидит по ходу поезда, то эта сила прижимает его к спинке сиденья. Это и есть сила инерции. При торможении поезда сила инерции меняет направление и стремится отделить тело пассажира от стенки сиденья. Если в ускоренно движущемся вагоне висит маятник, то сила инерции стремится отклонить его в сторону, противоположную ускорению. В состоянии равновесия сила инерции уравновешивается силами тяжести и натяжением нити подвеса.
Особо заметно проявляются силы инерции при внезапном быстром торможении поезда. Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на летчика или космонавта при больших ускорениях самолета илн при запуске и торможении космического корабля. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ззт » 641 Конечно, все эти явления можно понять, не пользуясь представлением о силах инерции, а рассматривая движения относительно инерцнальиой системы отсчета. Так, в примере с маятником маятник движется ускоренно относительно инерциальной системы отсчета.
Маятник должен отклониться назад, чтобы возникла сила натяжения с горизонтальной составляющей, направленной вперед. Эта составляющая и сообшает маятнику ускорение. Однако во многих случаях бывает проще рассматривать явления непосредственно в движущейся системе отсчета, не переходя к инерциальной. Кроме того, иногда затруднительно разделить полную силу, действующую в неинерциальной системе отсчета, на <реальную» силу, возникающую из-за взаимодействия тел, и «фиктивную» силу инерции, связанную с ускоренным движением системы отсчета.
й 64. Силы инерции при произвольном ускоренном движении системы отсчета 1. Допустим теперь, что система отсчета 5 (см. рис. 182) движется относительно неподвижной системы 84 соверп4енно произвольно. Это движение можно разложить на два: пост11пательное движение со скоростью Т4„равной скорости движения начала координат О, и вращап4гльное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозначим ь».
Она может меняться как по величине, так и по направлению. Пусть 1, ~, 1г — единичные векторы (орты) координатных осей системы координат 5, которую мы будем предполагать прямоугольной. Длины этих векторов, поскольку они единичные, остаются неизменными. Но их направления с течением времени могут изменяться. Это — переменные векторы.
Каждый из них вращается с угловой скоростью ь». Их производные по времени определяются формулами (46.1!). Выпишем эти формулы еще раз: -„~ = [ь»11, .~ = [ЫЯ, „= [в«1<1. Ход рассуждений остается в точности таким же, как и в предыдущем параграфе. Усложняются только вычисления. Формулы (63.2), (63.3) и (63.4), разумеется, остаются без изменения. Остается неизменной и интерпретация слагаемых 1«» и 1«». Первое есть абсолютная скорость п„а второе — абсолютное ускорение а« начала координат О.
Меняются только слагаемые х и г, которые мы и должны найти. 2. Пусть х, 14, г — координаты движущейся точки М в движущейся системе Э. Тогда х= х)+у~'+ г)г. (64.2) заа движение ОтнОсит. неинерп. систем отсчвтл тгл. ~х Дифференцируя это выражение, получим Г ='Хо+ Ц)+ гй)+~х +У +2 В первой скобке дифференцируются только координаты х, д, г, как если бы единичные векторы г, ~', й, а с ними и система отсчета 5 были неподвижными. Такую операцию должен был бы выполнить наблюдатель, покоящийся в системе 5, если бы он поставил перед собой задачу найти скорость точки М в этой системе, т. е.
НО нашей терминологии относительную скорость и „. Таким образом, И~~о — — хо + я+ гй. (64.3) Используя далее формулы (64.1), получим х ~ + у -- + г = х [т]+ р [аоЯ + 2 [бой] = [то (хг+у/+ гй)] = [боГ]. су е(( ета Таким образом Г = о„„+ [оРГ]. Окончательно для абсолютной скорости можно Фебе = Эоео+ обере т. е. выражение, совпадающее с (63.5). Однако скорость дается выражением (64.4) написать (64.5) теперь переносная где (64.8) а„„= хг+ Я/+ гй. Ф ер = тео+ [отГ].
Эта величина есть абсолютная скорость, которую имела бы точка М, если бы она покоилась в движущейся системе отсчета 5. Поэтомуто она и называется переносной скоростью. Переносная скорость слагается из двух частей: скорости оо, с которой движется начало координат О, и скорости (ооГ), возникающей из-за вращения системы 5 вокруг этого начала, 3. Несколько сложнее обстоит дело с абсолютным ускорением. Для вычисления абсолютного ускорения продифференцируем выражение (64.5) по времени.
С учетом соотношения (64.6) находим а.б — = О б =Об +Оо+[ОЗЕ1+[баГ!. Производная те,„, найдется дифференцированием выражения (64.3). При этом, разумеется, надо диффе[оенцировать не только компоненты относительной скорости х, у, г, но и координатные орты г, т', й. Зто делается в точности так же, как и дифференцирование выражения (64.2). Поэтому по аналогии с формулой (64.4) можно написать Е.,„= а.,„+ [ып.,о], (64.7) $64) ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ззй Последнее выражение дает относительное ускорение.
Для его нахождения надо дважды дифференцировать координаты х, у, г, считая координатные орты т',.7', Ф неподвижными. Именно так поступал бы наблюдатель, изучающий движение относительно системы отсчета 5 и не подозревающий о ее движении. Потому-то величина (64.8) и называется относительным ускорением. Слагаемое !вг! преобразуем, подставив н него выражение (64.6) для г: [в'1=[ -1+[ [ И Окончательно для абсолютного ускорения найдем ами = а„„+2 [вт4„„!+ О,+ [в [вг!!+ [вг!. (64.9) Этому результату можно придать вид (64.10) аабс = аотн + акр+ аждар где а„= 2 [ве„„), а„,р — — ер+ [в [вг11+ [вг!. (64.11) (64.12) Вектор а„,р зависит только от движения системы отсчета 5 относи~ельно неподвижной системы 5,.
Только такое ускорение испытывала бы точка, если бы она покоилась в системе 5. Поэтому вектор а„,р называется переносным ускорением. Наконец, слагаемое а„,р —— - 2 (ве,т„! зависит как от относительного, так и от переносного движений. Оно называется кориолисоеым ускорением по имени французского ученого Кориолиса (1792 — 1843), который впервые ввел это понятие в механику. Равенство (64.10) вместе с Выражениями для отдельных слагаемых, стоящих в его правой части, выражает так называемую теорему Кориолиса. Согласно этой теореме абсолютное ускорение яшлется векторной суммой относительного, кориолисоеа и переносного ускорений. Исследуем структуру переносного ускорения.
Для этого воспользуемся формулой (64.12). Слагаемое юр есть переносное ускорение, вызванное поступательным ускоренным движением системы 5, тождественным с движением начала координат О. Остальные два слагаемых вызываются вращением системы 5. Из них !вр! есть часть переносного ускорения, вызванная неравномерностью вращения. Прн равномерном вращении (в = сопз1) это слагаемое пропадает. Другое слагаемое !в!вг)), обозначаемое в дальнейшем а„, есть центростремительное ускорение, направленное к мгновенной оси вращения.
Действительно, представим радиус-вектор в виде р = р л + пю где г„и гь — компоненты этого радиуса-вектора, 34О движвнив относит. няинярц. систем отсчвтл [гл. гх направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно. Так как [еаза[ = О, то ап = [е [ег]] = [е[ет Д. Раскрыв по известной формуле двойное векторное произведение и приняв во внимание, что (ет'3) = О, получим ан = — езгь. (б4. 13) Эта формула и доказывает наше утверждение. 4. Можно было бы теперь перейти к написанию уравнения относительного движения материальной точки.
Однако мы хотим еще раз на частном примере получить теорему Кориолиса. Таким путем мы лучше выясним происхождение кориолисова ускорения и других членов, из которых складывается абсолютное ускорение. Пусть шарик М [рпс. 183) движется вдоль жесткого стержня, вращающе. тося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью оз, перпендикулярной к пло- скости рисунка. Его абсолютная скорость о„б, й~з складывается из двух взаимно перпендикулярных скоростеи: скорости вдоль стержня и скорости, к нему перпендикулярной. Первая есть а относительная скорость в системе отсчета, в которой стержень покоится. Вторая возникает и~, из-за вращения стержня и потому является переносной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
