1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Считая массу Земли М бесконечно большой но сравнению с массой корабля т, запишем уравнение энергии в виде тп! Мт гпэ — — 6 — = —, 2 г где о — скорость корабля в тот момент, когда он практически выходит яз зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость а'„- =. СМ>г, получим = аэ 2о„', После того как корабль выйдет из зоны действия земного тяго- тения, будем относить его «эижение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны земного тяготения скорость корабля У в этой системе равна векторной сумме скорости а и скорости кругового движения Земли У„.
Если корабль выходит нз зоны земного тяготения под углом б, то та«ай же угад будет между скоростями и и У. Значит, Ук +о(ч+2Ука сааб. Третья космическая скорость оа найдется из условия 1' =- 1'ч: — У 2 У„. Под- ставляя это значение для У в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для о , из котарага найдем а .=()>Г+ сааа Ю вЂ” саад) У, (Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина э по своему смыслу существенно положительна.) После этого получим а', "=()'1+ совий — созб) Уй+2о~». (61.4) Минимальное значение третьей космической скорости получится при Ф = Р (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное прн д = и (запуск в направлении против орбитального движения Земли).
Для этих значений формула (61.4) дает ом"" = )' Р>!71Уй+2ок ею!6,7 кмус, (61.5) азаке ~/5 828Ук +2ок 72,7 кмус, Вычислим теперь приближенно чепииртую космическую скороешь ом Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью У,.
Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение ч) Более подробное рассмотрение показывает (см. $65), что в действитель. ности при таком расчете мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лищь его кеодкородкосп>ью в той области пространства, где преоб!адающим является поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компенсируегся силамн инерции, вознниающнми нз-за свободнога падении Земли на Солнце. Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычислении третьей космической скорости, ничтожна. 328 тяготение (гл, унт надо затормозить. Как и ранее, находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет У= — У+ о (относительно Солнца). Наименьшая энергии, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости У и о направлены противоположно.
В этом случае У = У, — о (все скорости положительны), а энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна =Ч (1/ — о )3 — бМф=г/~(У» +21/ о — о~ ) где )с = С/) — расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис. 181а). Если е < О, то траекторией ракеты будет эллипс с большой осью / ОМ Уз +21/ о о/ Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х = СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса. РасРис. 181 а.
стояние х однознзчно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения. Большая ось эллипса 2а = )! + х. Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем н квадратному уравнению для о . Меньший корень этого уравнения равен Четвертая космическая скорость о4 ракеты определится из соотношения от = = о- "+ 2э', или ох= Ук (1 — ~~ — ) +2ок. )с+х) Она зависит от параметра х, определяющего место падения. При х = 0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость о4 максимальна и равна о"'"'=(У» -1-2ох)'/' =31,8 км(с. Ракета упадет в передней точке Солнца.
При х =- / (/ — радиус Солнца) ра. кета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. В этом случае скорость минимальна н равна / 2/ 1з 1"/а оман Укк 1 — ~// — ~ +2ох ~ (Ук(1 — ) 2и) -1-2ох) А 29,2 кмус, где а = 4,65 !О а рад — средний угловой радиус Солнца, ЗАДА Ч И 1. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите радиуса й/ с периодом Т,. В некоторый момент на очень короткое время был включен реактивный двигатель, увеличивший скорость спутнина в сс раз, и спутник стал вращаться по эллиптической орбите. Двигатель сообщал ускорение спутнику все время в направлении движения.
Определить максимальное расстояние спутника от центра Земли, которого он достигнет после выключения двигателя. Найти также период Т, обращения спутника по новой (эллиптической) орбите, 4 бц кОсмические скОРООТИ Р е ш е н и е. Обозначим Е„полную энергию спутника при движении по круговой орбите. Согласно (58.3) Е, = — К, Е/.= — 2К. После того как отра- ботал двигатель, скорость спутника возросла ва раз, а кинетическая энергия К— в ао раз. Потенциальная энергия не изменилась, так как за время работы дви- гателя спутник переместился пренебрежимо мало.
Таким образом, полная энергия спутника па эллиптической орбите будет Ею=аоК+Е/=(сна-2) К=(2 — око) Е„. Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энергиям (см. формулу (58.2)). Поэтому а 1 /7 а= —. )7 2 — ао' 2 — ао' Орбита будет эллиптической, если иа '. 2. Максимальное расстояние спутника от центра Земли (в апогее) ао/7 Й „=2а — /7=— макс 2 — ао' Период обращения Т, найдется из третьего закона Кеплера и равен Т, Та= (2- мо) ц ' 2.
Найти такой радиус /7 круговой орбиты спутника Земли, движущегося в направлении ее вращения в плоскости земного экватора, чтобы он все время оставался неподвижным относительно Земли. (Такой спутник называется спьа- ционарным). / а 'ьь/ь О т в е т. /7=~ — ~ /(о — 6,50/7о.
Здесь /7о — экваториальный радиус М /ььо Земли, ма/7о — центростремительное ускорение на экваторе, обусловленное осевым вращением Земли, 8 — ускорение свободного падения. На экваторе мо/7о/а=1/288. 3. Силы приливного трения, вызываемые лунными приливами, замедляют осевое вращение Земли. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не сделаются равными у~левые скорости осевого вращения Земли и орбиталь- ного движения Луны вокруг Земли. Определить общую угловую скорость м обоих вращений, продолжительность земных суток Т и радиус лунной орбиты а после того, как это произойдет, В настоящее время угловая скорость осевого вращения Земли равна ма — — 7,29 1О ' рад/с, момент количества движения Земли относительно своей оси Ез —— 5,91 1О" г.сма/с, момент инерции Земли относительно той же оси 13 — — 8,!! ° 1бм г смь, радиус лунной орбиты ао = = — 3,84 10ьо см, период обращения Луны яокруг Земли (относительно звезд) Тл — — 27,3 сут, масса Луны ьп = 7,35 10о г.
Лля упрощения расчета считать, что земная ось перпендикулярна к плоскости лунной орбиты. Р е ш е н и е. Используя приведенные данные, находим: момент инерции Луны относительно оси вращения Земли 1л =- лио =. 1,08 10ь? г.сма (моментом инерции Луны относительно ее собственвой оси пренебрегаем), угловая скорость орбитального вращения Луны вокруг Земли мл = 2,57 !О ' рад/с, момент коли- чества движения Луны относительно Земли / ьь = !лыл = 28,9 10'о г смо/с, полный момент количества движения системы Земля — Луна Е = Е + 1.„= 3 л = 34,8 10ьо г смо/с. По закову сохранения момента количества движения (1 + тао) ы =- Е, или, пренебрегая /з, аьаою = Е.
По третьему закону Кеплера ааыа = асман. Из этих двух уравнений можно найти неизвестные а и еь В ука- занном приближении Еа г!.ьз а= —,, ао= ~- — 1 ао-145 по=5,58 10ь' см, "ь Ь ('л/ ы/мл = (ььо/ьь) ' = 0,573, Т 27,3/0,573 = 47,7 сут. 339 ТЯГОТЕНИИ (гл, уи! 4. Космический корабль подходит к Луне по параболической траектории, почти яасающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую орбиту, в мамент наибольшего сближения включают тормозной двигатель, выбрасынающий газы со сноростью и 4 кмис относительно корабля в направлении ега движеии»!.
Какую часть обшей массы системы будет составлять горючее, использованное для торможения корабля? Средний радиус Луны )? =(738 км, уснорение свободного падения на поверхность Луны я= (62 см с'-'. Ответ. ' =()г2 — !) ~ =.О,!7. т» ь 5. Искусственный спутник движется вокруг Земли в разрекенной атмосфере по круговой (или почти круговой) орбите. Как влияег сопротивление среды на скорость движения спутника и его момен~ количества движения относительно центра Земли? Р е ш е и н е. Согласно (58.3) прн круговом движении Е = — К.
Трение уменьшает полную энергию Е. Поэтому кинетическая энергия К возрастает (спутник приближается к Земле). 6. Космический корабль без начальной скорости свабодво падает на Землю из удаленной точки. В хаком месте следует повернуть направление скорости корабля на 90' (без изменения ее величины), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траектории? О т в е т, Посередине между центроы Земли и нача.чьным положением корабля.
7. Космичесхий корабль движется вахруг Земли по эллиптической орбите. В каков точке орбиты следует изменить нвпрввленне скорости корабчя (без изменения ее величины), чтобы корабль стал двигаться па круговой орбите? Р е ш е н и е. Так как энергия корабля зависит толька ат длины 2а большой аси его орбиты, то переход иа круговую орбиту произойдет' на расстоянии а, т. е. в точке пересечения эллипса с его малой осью.
Направление скорости корабля надо повернуть на такой угол, чтобы оно оказалось перпендииулярны»« и линии, соединяющей корабль с центром Земли. й. касмичесиий корабль движется вокруг земли па эллиптической орбита. В точке пересечения эллипса с егд маЛОЙ осьЮ включается даигагель. Кая надо изменить скорость нарабля в зтай тачке, чтобы ои ~)ерешел на параболическую орбиту? О т в е т. Увеличить в г'2 раз. 9. Квяую перегрузну испытывает при старте космонавт в космическом корабле на самом начальном участке полета, когда корабль вместе с ракетой. носителем поднимается аертинально вверх с постоянным ускорениеы и эа время т = 4 с набирает скорость о = с«осю где о« вЂ” первая космическая скорость, а с» = 0,03? (Перегрузкой называется отношение л = (Р— Р»)IР», где Р» — вес космонавта на земле, а Р— «аес», который наказали бы пружинные весы прн навешивании касмоиавта в корабле.) Р и и! е и и е.
Примем за положительное направление вверх. «Вес» космонавта в корабле будет Ло Р=Р,+т Л! Считая ни начальном участие величину Р постоянной, находим скорость коРабля через время ул Р— Р, а =~он= гп Отсюда Р— Р» аа «» Г)? » — ⻠— »г — - 6. й ВЬ|ВОД ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ и 62. Вывод законов движения планет нз закона всемирного тяготения Ньютона 1 — тяф=а, 2 (62. 2) где М вЂ” масса Солнца, е — полная энергия планеты, приходящаяся на единицу ее массы, а — секториальная скорость, остающаяся постоянной во время движения.
Для нахождения уравнения траектории планеты исключим время. Г(Г Считая г функцией ф, имеем Р= — ф, Подставляя это значение в уравнение (62.1) йф и исключая ф с помощью уравнения (62.2), получим (62.3) 1 1 Введем нову|о переменную р= — — + —, где Р— постоянная, значение ко. Г Р' торой будет установлено ниже. Тогда уравнение [62.3) перендет в (й)'+( -И'=-:-+ й~-"!-) Подберем постоянную р так, чтобы в этом уравнении исчезли члены, содержащие первые степени р. Для этого надо положить 4ои Р= — ° бМ ' (62.4) При таком выборе постоянной Р получим 'Г(Р тз в 1 (--~ =--.+ — — р'.
, Ьр) га р 1 е Поскольку слева стоит неотрицательная величина, постоянная —, + — также ра газ неотрнцательна, и ее можно обозначить посредством Аа А = — + —,. Р (62.5) В результате получим ! =,4з рз, (-- -— г(р тг (62.6) Очевидно Аз~ рз, а потому можно положить р!А = сов 8, где 8 — новая В предыдущих параграфах три закона Кеплера были приняты за исходные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
