1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Первые наблюдают эту скоростьравной скорости света, вторые же, в зависимости от того, летит ли импульс от лабораторииили навстречу ей, — меньше или больше скорости света на величину u.Скорость лаборатории u находится из уравненияv0 − v =vu(v − u)v(1 − u2 /c2 )−v = 2= αv,1 − uv/c2c − uvгде α = 10−4 . При таком малом α скорость u ' αc2 /v = 90 км/с. Скорость объекта относительно Земли равна разности скорости сближения объекта с лабораторией и скорости лаборатории,наблюдаемых с Земли:v0 = v 0 = u = v ·c2 − u2v−u−u=' 100 000 км/с − 90 км/с = 99 910 км/с.c2 − uv1 − vu/c214.1.11 v = 2,9 · 108 км/с.14.1.12 u = (v + c/n)/(1 + v/nc).2nl14.1.13 T =.c(1 − v 2 /c2 ) s14.1.14∗ .
v =Lτ c2l(l + 2L)1+!l3 (l + 2L)−1; при l/τ , L/τ c получаем v = l2 /(2Lτ ).(Lτ c)2p14.1.15 v0 = (c2 − vu − (c2 − v 2 )(c2 − u2 ) )/(v − u). uu2 .vuu214.1.16 N = 1 + 2 + 21+ 2 + 2 .vccc♦14.1.17 На рисунке изображены траектории светового сигнала по наблюдениям с Земли ис ракеты. Минимальное расстояние между ракетой и Землей одинаково по обоим наблюдениями равно l. Поэтому по наблюдениям с Земли время возвращения сигналаравно 2l/c, а поpнаблюдениям с ракеты время возвращения равно (2l/c) · 1/ cos α = 2l/c 1 − β 2 , где β = v/c =sin α.
Таким образом, промежуток времени между уходоми приходом светового сигнала наpЗемлю увеличивается при наблюдении с ракеты в 1/ 1 − β 2 раз.360♦14.1.18 Пусть происходит следующее. Несколько наблюдателей двигаются около Землис разными скоростями. На Землю вернулся отраженный от одного наблюдателя радарный импульс. Пока этот импульс путешествовал, стрелки часов на месте старта сделали три полныхоборота, во время второго путешествия импульса стрелки сделали еще два оборота. И наблюдатель, от которого отразился импульс, и все остальные наблюдатели зафиксируют события: триоборота стрелок земных часов во время первого путешествия импульса и два оборота стрелокво время второго путешествия.
Каждый оборот для любого наблюдателя длится одинаковоевремя. Поэтому для всех наблюдателей отношение длительности первого и второго путешествия импульса равно отношению числа оборотов стрелки часов 3 : 2. Приведенный примериллюстрирует независимость отношения времен, характеризующих события, от скорости наблюдателей.♦14.1.20 Период колебанийp световых ходиков независимо от их ориентации по наблюдениямpсо станции увеличится в 1/ 1 − β 2 раз, и поэтому ходики будут «идти» в 1/ 1 − β 2 размедленнее.
Для определения расстояния между зеркалами l0 , которое наблюдается со станцииу продольных ходиков, определим период колебаний ходиков через l0 :τ1 =Этот период в 1/Значит,l0l02l0+=.c(1 + β)c(1 − β)c(1 − β 2 )p1 − β 2 раз больше периода колебаний ходиков 2l/c, измеренных в ракете.2l02l= p.c(1 − β 2 )c 1 − β2pИз последнего уравнения следует, что l0 = l 1 − β 2 . Этоp означает, что ходики и ракета, илюди в ней, по наблюдениям с Земли «сплющатся» в 1/ 1 − β 2 раз в направлении скоростиβc.
Точно также всё «сплющится» и на станции по наблюдениям с ракеты. Много измененийв наблюдаемую картину движения вносит относительное движение станции.pИ прежняя одновременность событий нарушается, и часы на станции идут медленнее в 1/ 1 − β 2 раз, и всёτ1 =361pсокращается в 1/ 1 − β 2 раз в направлении движения. Но «сплющенные» люди на станциисвоими «сплющенными» приборами, используя «замедленное» время и неправильно определяяодновременность событий, получают, измеряя относительную скорость улетающего от них света, не скорость c − βc, а скорость c. Свет же, который летит им навстречу, приближается кним не со скоростью c + βc, а, по их искаженным измерениям, со скоростью c.
Так могли быобъяснить разницу измерений относительной скорости света наблюдатели с ракеты. Но точнотак же могли бы объяснить и наблюдатели со станции, считая, что у них все нормально, аискажения наблюдаются у «ракетчиков».♦♦p14.1.21. В 1 − u2 /c2 + u2 /v 2 раз.14.1.22. Скорости зайцев и Мазая равны прежней скорости четвертого зайца.14.1.23. См. рис. λ+ = λ/2, λ− = 2λ, λ⊥ = 5λ/4.14.1.24∗ . N =p(1 + β)/2.14.1.25∗ . δ ' ∆/c.sin α + 2β + β 2 sin α.14.1.26∗ . sin α1 =1 + 2β sin α + β 214.1.27.
В системе отсчета, которая движется со скоростью u sin α в направлении, противоположном движению корабля, скорость ракеты vp перпендикулярна направлению движения362корабля vk ; vp и vk определяются формуламиvp = u sin αq1 − (u/c)2 cos α,vk = (v − u cos α).vu cos α 1−.c2В системе отсчета, в которой скорость корабля равна нулю, составляющие скорости ракеты v⊥и vk , перпендикулярные и параллельные прежней скорости корабля vk , определяются формуламиqv⊥ = vp /1 − (vk /c)2 ,vk = v k ,а полная скорость ракеты v1 формулойq.qvu cos α 2 + v2 =v1 = v⊥u2 + v 2 − 2vu cos α − (vu/c)2 sin2 α1−.kc2p14.1.28∗ . tg ν = γ tg (α/2), γ = 1/ 1 − β 2 .§ 14.2. Замедление времени, сокращение продольных размеров.Преобразование Лоренца14.2.1. В 2,5 раза.p14.2.2.
v > c/ 1 + (τ c/l)2 .14.2.3. ∆v = 6 · 104 км/с.14.2.4. ∆ν = 107 Гц.14.2.5∗ . В точке, движущейся со скоростью стенки, частоты электромагнитных колебанийпадающей и отраженной волны совпадают. Поэтому частота падающей волны ν связана счастотой отраженной волны ν 0 равенствомν/(1 + β) = ν 0 /(1 − β),ν 0 = ν(1 − β)/(1 + β).14.2.6∗ . В точках, движущихся со скоростью стенки, частота электромагнитных колебаний волны в диэлектрике и вне диэлектрика одинакова. Поэтому частота волны вне диэлектрика ν связана с частотой волны внутри диэлектрика ν 0 равенствомν/(1 + β) = ν 0 /(1 + nβ),ν − ν 0 = (n − 1)β/(1 + nβ).p14.2.7. τ = l(1 − vu/c2 )/v 1 − u2 /c2 .414.2.8. Через 5 · 10 лет.♦p 14.2.10.
Навстречу карандашу движется со скоростью βc пенал. Длина пенала l/γ (γ =1 1 − β 2 ) в γ 2 раз меньше длины карандаша γl. В момент, когда дно пенала достигнет переднего конца карандаша, дно остановится. Однако открытый конец пенала будет двигаться соскоростью cβ до тех пор, пока волна «остановок» участков пенала, идущая от его дна со скоростью c/β, не дойдет до открытого конца. В этот момент длина пенала равна длине карандашаи пенал захлопывается.14.2.12∗ .
tg α = ββ1 /q1 − β12 .14.2.14. ∆v = cν02 (ν12 − ν22 )/(ν12 − ν02 )(ν22 − ν02 ).14.2.16. cos θ = (cos α + β)/(1 + β cos α),ν 0 = (1 + β cos α)/p1 − β2.363p14.2.17. а) τ = L/(v + u), τ2 = τ1 (1 + vu)/ 1 − (u/c)2 ;s!rv2alvaτ1 .v2∗б ) τ1 =1 + 2 − 1 , τ2 = τ1 1 +1− 2.2av2cc14.2.18. Центр колебаний движется со скоростью βc. Координатытела относительно цен0ωt0βz 0A00sin1+; б) y 0 = A sin ωt,тра связаны со временем t соотношениями: а) z =γγγωcpγ = 1 1 − β2.§ 14.3. Преобразование электрического и магнитного полейp14.3.1.
Расстояние между зарядами в пластинах уменьшится в γ = 1/ 1 − β 2 раз, чтоприведет к увеличению поверхностной плотности заряда каждой пластины в γ раз. Поэтомуэлектрическая напряженность увеличится в γ раз:E 0 = γE,B = βE 0 = γβE.p14.3.2∗ . E⊥ = γ · E cos α, Ek = E sin α, B = γβE cos α = βE⊥ , γ = 1 1 − β 2 .p14.3.3. Er = 2γρ/r, Br = 2γβρ/r, где γ = 1/ 1 − β 2 , r — расстояние до нити.p14.3.4. а. ρe = −ρ/γ, ρi = γρ, γ = 1/ 1 − β 2 .б. Увеличится в γ раз.в∗ .
Разное изменение плотности зарядов электронов и ионов при движении проводникаприводит к появлению нескомпенсированной объемной плотности заряда ρ0 = γρ − ρ/γ = β 2 γρ.Электрическое поле этого заряда E = β 2 γρs/r, а магнитная индукция движущегося проводникаB = βγρs/r, где s — сечение проводника, а r — расстояние до его оси.
Поэтому E = βB.q14.3.5∗ . а. ρi = γ1 ρ, где γ1 = 1/ 1 − β12 . Для определения плотности электронов перейдемв состояние движения со скоростью β1 c через промежуточное состояние движенияp со скоростьюβc, в котором электроны неподвижны, а их плотность равна ρ0e = −ρ/γ, γ = 1 1 − β 2 . Затем,сообщая промежуточному состоянию скорость β2 c = c(β1 − β)/(1 − β1 β), перейдемв нужноеqсостояние, в котором плотность электронов определяется формулой ρe = ρ0e / 1 − β22 = −γ1 (1 −ββ1 )ρ.б. Увеличится в γ1 раз.в. E1 = β1 B1 .~ × B].~ = −[β~14.3.6.
а. E~ × B],~б. В движущемся состоянии электрическое поле E определяется формулой E = −[β00~~~где B — индукция магнитного поля в движущемся состоянии. При малых β B близко к B.~×B~ ' −[β~ 0 ].Поэтому Eв. Оба объяснения правомерны. Это означает, что определить абсолютное движение магнита нельзя.♦14.3.7∗ .
а. В качестве пробного тела выберемпрямой проводник, который неподвижен в начальном состоянии и в котором со скоростью βc движутся электроны проводимости. Плотность электронов на единицу длины проводника −ρ, а плотность ионов кристаллической решетки проводника +ρ. Поэтому проводник не заряжен и электрическое поле в начальном состоянии на него не действует. В движущемся со скоростью −βc состоянииэлектроны проводимости неподвижны, а ионы движутся со скоростью −βc. Плотность электронов впроводнике уменьшится в γ раз, а ионов — увеличится в γ раз.
Поэтому проводник окажется послепреобразования заряженным с плотностью γρ − ρ/γ = β 2 γρ, и на единицу длины проводникав поперечном направлении со стороны электрического поля E будет действовать сила β 2 γρE.364Но проводник движется без ускорения. Это означает, что сила со стороны электрического поля E компенсируется силой, действующей со стороны магнитного поля: IB/c + β 2 γρE = 0,I = −γρβc — ток в проводнике после преобразования, B — магнитное поле, перпендикулярное как проводнику, так и напряженности электрического поля.
Из последней формулы следует,что в преобразованной системе появляется магнитное поле B, связанное с электрическим полем~ × E].~ = [β~соотношением B~ =б. В преобразованной системе (см задачу а) магнитное поле определяется формулой B00~~~[β × E ], где E — электрическое поле в преобразованной системе. При малых скоростях сноса~ × E].~ 0 близко к E.~ Поэтому B~ ' [β~Epp2214.3.9. а) Увеличится в 1/p 1 − β раз; б) уменьшится в 1/ 1 − β раз.214.3.10.
Увеличится в 1/p 1 − β раз.p14.3.11. Emax = Q/(R2 1 − β 2 ), σmax = Q/(4πR2 1 − β 2 ), σmin = Q/(4πR2 ).∗♦14.3.12 . На рисунке изображена сфера вокруг неподвижного заряда и эллипсоид, возникшийpиз этой сферы при сносе ее вместе с зарядом со скоростью βc. Малая ось эллипсоида вγ = 1/ 1 − β 2 раз меньше сферы. На поверхности этого эллипсоида находится электрическоеполе, которое раньше находилось на поверхности сферы. Поперечная составляющая этого поляE⊥ увеличивается в γ раз, продольная же составляющая Ek не изменится. Поэтому тангенс угла между новой напряженностью поля и направлением сноса увеличится в γ раз.
Во столько жераз увеличится и тангенс угла радиус-вектора. Поэтому электрическое поле по-прежнему будетнаправлено по радиус-вектору. Однако напряженность нового поля будет зависеть не только отрасстояния до заряда r, но и от угла α между направлением скорости βc и радиус-вектором r.Например, если сравнивать эту напряженность с напряженностью неподвижного заряда, онаувеличится в поперечном направлении в γ 2 раз, а в продольном направлении уменьшится в γ 3раз. Для других направлений напряженность будет определяться формулой1 − β2~ = q ··~r.E3r(1 − β 2 sin2 α)3/2В начальном состоянии магнитного поля не было.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
