1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 8
Текст из файла (страница 8)
для последовательных конечных вовс>ротов щ>а- ср вяло векторного ело>кения действовать не будет. О Пример. В результате двух посче- А' У довательных конечных поворотов ф1 и фз на угол я,>2 вокруг осей 011 и Ог де- фл картовой системы координат то лка А х тела переместится в положение Х. Такое же положение точка А займет в Кинее(итини !Г;1.! результате единственного поворота фа на угол я,'2 вокруг оси ОЯ !Рпс. 29). Однако пРН этом вектоР фз. лежаЩий на оси 0)и не является суммой векторов ф) )л фз,. располо)кенных в плоскости йОВ. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Рассмотрим Одновр( ме(п(ое Вра(ц()ние тела, вок!гуг дв1 х пере('еь кающихся в точке 0 осей 00 и 00н !рис.
30). Пусть а! угловая скорость вращения тела вокруг оси 00), аз угловая скорость вращения оси 00' вокруг неподвижной оси 00". За бесконечно малын ггромежуток Времени (1! тело совер(пит элементарный поворот (1ф~ вокрзт оси 00' и элементарный поворот (уфз вокруг оси 00". Как показано вылив !Ст!. 110.3)), результирующий поворот Йр представляется векторной суммой: (уф = (1ф( + (1фз. Поделив обе )асти равенства на (й, полу (им ((ф ((ф( + йф) н! (и Ф и)пи, с учетом определения упювой скорости, а в1+в2.
110Я1) Е( ти тело Вращая)тся Вохру! Двух пер( с()каюп(нхся Осв(, то 1- ка пересечения осей остается неподвижной. Следовательно, результирующее движение тела —. вращение вокруг неподвижной точки. В каждый момент времени оно представляет собой вращение вокруг проходя!Ней через эту точку мгновенной оси, по- ложение которой в пространстве и с)" В теле непрерывно меняется. Х!ы показали 1сх!. 110.Е1)), что угловая О скорость а результирующего движения те21а раВна ВектОрной с(мме угловых скоростей В) и аз вращеи)2 и)! ния Вокруг ка)кдОЙ пз осе'.й.
Гем самым установлено по.Поженив мгновешюй оси в пространстве: она О проходит через точку 0 и направ- , 1((на Вдоль ВектО1)а а, Вы 1исляех!О- го по формуле !10е1). Если модули векторов а) и аз ПОСТОЯННЫ, МОДУЛЬ ОЗ И1КЖЕ ПОСТО- Рвс. 30 янсн 1сх!. рис. 30). Однако направление а в пространстве меняется: этот вектор, а вместе с ним и мгновенная ось. вращается с угловой скоростью вз вокруг неподвижной оси 00".
1 Ы] Проиоводнин ио орс нани овитот>о си>освоив«ой длинм 43 Имея ввиду полученпук> в данном параграфе формулу (10А) сс>оисения угловых скоростей, можно говорип о том. ч го врапдения вокруг пересекающихся осей складываются векторно. 11. Производная по времени вектора постоянной длины и меняющегося направления Рассмотрим вектор а, природа которого не имеет значения.
Это можст быть ради1с-всктор. определяюгпий положс»исо пространстве какой-либо точки твердого тела. или вектор скорости дви:кущс;йсч настины, или вектор угловой скорости мг«овенного вращения твердого тела и т.д. Пусть начало вектора а находится в и<'подвижной ч очке О и совпадает с началом Уя — — [сои] «еподви>кной спстеи>ы координат Олйл [рис. 31). Направление вектора а в пространстве произволь- и пым образок> меняется, а сто д„шна остается неизх«иной. Найдем производную по времсни с]а/сК вектора а. Полученный резуль- О у тат буде> ~«с~о испол«зоват> ся в дальнейшем. х Поскольку по условию расстояние ОА между точками нача- Рвс. 31 ла, и конан вектора а нс'изменно.
движение вектора в пространстве аналоги шо движению твердого тела. например. тслпа>го стержня ОА [см. рис. 31). Это движение представляет собой вращение вокруг неподвижной точки О [мгновенное вращение) с некоторой угловой скоростьк> а>. Воспользуемся полученной ранее формулой [6.1) для скорости произвольной точки совершающего мгновенное вращение твердо> о тела, вьй>азии скорость точки А ч~ роз 1глов1 ю скорость в> и проведенный из О в А радиус-веки>р [в данном случае.
векр а): Ъ;~ = ]сна). С другой стороны, скорость У;,~ точки А, по определению. есть производная по времени радиуса-вектора этой точки, то ость производная вектора а: На ил = дг Канал(апи(ха ~г>1. 1 Приравнивая полученные выражения для скорости >гл, най- дом — = [а>а). (и (11.1) а Рис.
32 меняется: вектор >г вращается с угловой скоростьк> а>, равной угловая скорое!и движения часгицы по окружности. Действительно. за один и тот же прот!ежуток времени радиус-вектор г частицы и вектор ее скорости >г сове1ппают поворот на одинаковый утол (р (рис. 32).
В соответс>вии с (11.1) производная вектора Ъ равна — = [о> >г) . (11. 2) В('ктор ) скОр(>ш1я д() /д! = [а> Ъ) и('рп('ндикулярен п(>ремножае.;!ым век!О1)ак! Н> и >г и. с(вдова!е.>ьно, направ>(ен к центру окружное>и. по которой движется частица (рис. 32 а). Из равенства век>оров (11.2) стетуе! ранено(во ик мод1О>ей. С учетом !ОГО, ч!О В(>кто1Н1 в> и Ъ взаимно перпендикутярны, а модуль 1' скорости частицы. движущейся по окружности ради- 1'авепство (11.1) означает, что производная по орел(е>и> вектори постоянной дл(>не>, нс(привление. коа(враго в прогтране(пве меняв>пся, равна векторномр произведению его угловой скорости вралйения ни собсп(венно вектор.
Подчеркнем, что полученный резульпп справедлив для вектора а любой природы. П р и м е р. Частица А движется по окружности радиуса г с постоянной по модуан> скоростьк> Ъ' (рис. 32 а). Требуется найти ускорение частицы. Ускорение равно производной скорости по времени д>г>)д!. При неизменной длине направление в пространстве вектора Ъ' Преобрииоиииие скороопи и ускорен и ь зг) уса г.
равен атг, получим — = ) ~га '1Г] ! = азЪ' = оззг. (11.3) Таким образом. с поьипцью доказанного свойства (11.1) получена известная формула (11.3) для модуля центростремительного ускорения частчщьь движущейся по окружности, и верно определено его направление (см. (11.2)).
что подтверждает справедливость формулы 111.1). й 12. Преобразование скорости и ускорения частицы при переходе к другой системе отсчета Преобразование скорости и ускорения при переходе к системе отсчета, движущейся поступательно. Рассмотрим дви>купзз юся в пространстве частицу А.
Для описания движения введем две системы отсчета; неподвижную, которой соответствует декартова система координат Оьт1у~ е1 с началотз в н>чке Г)ь и движущуккя, которой ге>е>тветствуиг посгупап льно движущаяся декартова система координат Олуха с началом в точке О 1рис. 33). Пусть Кг> радиус;вектор, проведенный к точке О из точки Оь г радиус вектор частицы А в движущейся системе коор- Л динат, К вЂ” радиус:-вектор частицы А в неподви>кной системе ксюрдинат. Из ри- К сунка видно. чп> в лк>бой момент времени выполня- х ется векторное равенство кк= ккО+г.
Условно будем называть скоропгь 11 ускорение час- р .зз тицы А в неподвижной системе отсчета ибеолюрлной еноростг>ью Ъ'ибо и абсоинт~ным уско- РЕНВЕН аиб,. и ЕЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИС В ДннжУШЕйСЯ СнетЕМЕ ото и'та "- отноенпзельнот", екирогнгью гиии и опзносптельны>н ускореннеии аоки. Если орты координатных осей движущейся системы координ и обозначить через 1. 3.
1г, то радиус-вектор г можно представить в виде г = я1 + у) + и1г, где ян у, я координаты точки А в указанной системе отсчета. Кинеа(о)нина ~гг!. 1 ОтнОси!Рльная скорость 1ас1ицы равна Ин . дР . «г„,„= — '1+ — 1+ — ' Ес. (!1 с!1 й! Ее о!Нос!и!(Нп нос ускОЕИ ни( с!'х . с!'р . с)" и аотн = — ' 1+ —, ! + —" 11. (Е(' Лт (Е(е Вычис»(им абсолютнун) скорость частипы А как производную по вр('м(н1и Р(.' радиу('а-в('к'!'Ора Г: «Габт = = (Е).О +.«1+ УЕ + ВЕС) = (Ж (и с!! + — '1+ — '3+ — 11 = ЪО+ Етотн (121) (и с!! ((1 (и где ЪО = дКО,((й — скорость точки О в неподвижной системе отеч(га О!я!1)! !. При ди(р(1)еренцировании Ныло ) ч!Рно.
в неподвижной системе отсчета О!(е)у!я! орты 1, 1 и Ес координатных осей поступательно движущейся системы координат Оя!р«яв.,"!Нются постоянными в()кторами (моду !и и напр)!Н)н)нпя в НЕ)остранстве векторов 1, Е и 11 при поступательном движении ОСТНЮТСЯ НЕИЗК1РННЫХ1И) .
Мысленно представим себе. что с движущейся системой координа! Ояуе ж(с!КО Связана н(КО1орая заполняк)щая все пространство среда геометричсских точек, расстояния между любыми двубгя точками которой остак)тся неизменными в процессе движения. По аналогии с гвердым телом будс)м называть ее «твердой. гео)н'!рической средой. Часлща А движется в пой «твердойн геот!Р)ри н ской ср()де.
п( Ис~ы~~~а~ ~~~алого сопрогив.тения. ЕЕазовем скорость точки «твердой» геометрической среды, в которой в данный момент находится !астица А. Нервное!!Ой скоРостью и обозначим ее чеРез Ъ"пор. ПосколысУ в(естко связанная с поступательно движущейся систехи)й координат Огра «твердая» геометрическая среда также движется поступят(!льно., скоросп1 Гсрх Р('. то !('к Одинаковы. В час'! )юс'п1, скорость Ъ'„о точки среды, в которой находится частица А. совпадает со с!(оросГьк) «ТО начала сис"!'('1О 1 координат: «пор — т О. С учетом этого равенства пз (12.1) получим формулу, связывающук) абсолнпную и относительную скорости частицы А; ) або — )' О + )Готн — т' пер + «отн. (1'2.
2) В соотвегс!Нпп с э!Ой с))ОЕИ!млей скорость !Истицы Ъ'аб, в неподвижной системе отсчета складь!вается из скорости Ъгпер с сг) Прсобрииоеинис скоросиии и ускорен и жесзксз с:вязансзой с двигкусзСсЙся с~с~е~оЙ ксзсз1здзсссезт <лвердой» геометрической среды. в которой в данный момент расположена частица. и скорости»го,и частисСы в движущейся ристе:ме отсчссса. Вычислим абсолютное ускорение частицы А как производную по времени абсо:потной скорости: сХ б сгтго сСтс с е х сгс/ сгс а»ас =- = + =- во+ — 1 — 1+ — '3+ — 1с) =- ей сй сй лс ей лс сгс сс'н . сс с = ао+ — '1+ — З+ — 1с = ао+ а„,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
