1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Бо)п)сл то 1- ное описание этого движения таково: существует только одна точка гес!и, скорость которой в !побой момент времени равна нулю. Можно докап)пь> что движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, прс)дставз!яслт собой вращение вокруг проходящей через эту точку ллгноненной Оси пли, ллна !е говоря, мг!ювелпю)е враи!сзние. Это озна !ает следукппее.
Во-первых> в . побой момент времени су!пествует гикая проходя!Пая через неподвилсную то !ку твердого тела прямая ш, что скорости всех точек тела, оказавшихся в рассматриваемый момент времени на этой примой. равны нулю. а скорость 1;! любой иной точки А тела направлена по касательной к окружности с псзн!1)оз! На щ)ямой п), пр!л пп! 'Кл = О)ТС> гдс; Й вЂ” расс!ОЯ- ние от точки А ло пряхюй ю,, о) угловая скорость вращения. Та!спз! образом, в рассматриваемый момент времени распределение скоростей в твердом теле в тсшности такое, как при враспеняи вокруг неподвижной оси, совпадающей с прямой пи Во-вторых, с течением времени прямая и>, перемепсается, вообще говс)ря> как в теле, так и в пространстве. Прямая сп, обла- Виды доно)сенин )иее))доги )нели дшОН1ая Опис'шп1ыхпз Выпи) сВОЙстВах1и. назыВается мгнс)ВВННОЙ осью вращения.
При свободном движении никаких кшп)магических ограничений на движение твердого тела пе накладывается. ХХисло степеней свободы. Количество независимых величин, которые необходимо галатеи чтобы определить положе)псе тела в пространстве, называется зислол), степсисей. 1)вободы те.ла. Т)пс, д.зя спй)еде.пения положения в зй)ос)1)анствс) мазе1п)еизьнои точки нужно задать три координаты (напри)!1)р.
декартовы координаты и, 11, х). Следователы)о, число степеней свободы равно трем. Для определение положения в пространстве твердого тела достатОчно 'задать нотсожс)нз!11 любых трех не зп)жазпнх на ОднОЙ прямой точек этого тела ~жес)тко связанного с телом произвольного недеформнруемого треугольника). Определение положения в пространстве трех произвольных точек требует задания дев)пи вели зин — по три координаты для каждой точки (л)с!1!.,В!), (ввсчв,вв), ()с)В!1)ьвз).
Однако в жестком треугольнике девять координат его вершин не независимы, а связаны мелсду собой тремя уравнениями. Каждое выражает неизменность расстояния между парой точек: 'св) — вв) + (11! — Вв) + сл) — ВВ) =1!В, (в! — лз) + (Ч) — 'Чв) + (В) — Вв) =1!в; (вв вв) + (112 Вв) + (Вв Вв) =1зв где 11В, '1)в, 1вз расстояния Хи!жду парами точек 1 и й), 1 н 3, й и 3 соответственно. С помо)пью этой системы уравнений можно любые три координаты выразить через шесть остальных. Поэтому д„)я опреде:п.ния положе)шзя тве1)лого тела В п1)остраиствсе досзазочно задать ни девять, а !пес)ь независимых Везшчнн.
Слодоватез:зьно, число степеней свободы твердого тела равно шести, если на движение тела не наложены )в!какие ограничения. С помо)пью апаш)гичных РассУжДений можно пок)хз)гзси что закРеп„юнное в оД- ной точке тело, имс;ез П)и с)епенп Свободы: тело. )ах|и;пзп)нное. на неподвплспой осн, обладает одной степенью свободы и т.д. Скорость и ускорение при поступательном движении твердого тела.
Примером поступательного движения служит движение кабинок известного аттракпиона кочеса обозрения. Нести)11)я на то, чго сраекто1)ня движения кажд~й точки каоин- 28 КиВЕ(((Гт((ха ~Г(!.! ки окружность, всякая жестко связьпп(ая с кабинкой прямая в процессе движения остается параллельной самой себе. СледоВ()т(,лы1О, т(вижепие ИВлиется поступят(льным. Покажем, что при поступательном движении все точки твердого т(д!й движутся по Одинйков)1м трйекторня.,! п в кажу(ыЙ мохи нт Врет!они им(зкт! ОдинакоВые скорос!и и ускорения. Пусть А и В .
положения двух точек тела в некоторый момент времени. Через пр(лгзвольный промежуток времеви .Ь(', эти ж( точки займут положения А' и В' (рис. 1О). Согласно определению поступательного движепи» прямые АВ и А'В' параллельны между собой. Поскольку расстояния между точками твердого тела не меняются в процессе движения, отрезки АВ и А'В' равны. Следовательно, фпгура АА'В'В паралле.тограмм.
Векторы пере)!е~пе!!Пя Ьгл и Ьгн точек А н В за прои:)вольный промежуток времени Ь!'; равны; Ьгл = (.')гп. Поэтому в любой момент времени равны дрот другу скорости тезок Аи В; '1ГИ = 1пп — 1пп = (Гн. Хгз Лгв .и о М и(- о Ь! Аналогично д(жазывается, что равны друг другу и ускорения точек: ал — аи. ')1ы покйзйли, что при поступйтельном 1(вижепии (корости и ускорения двух произвольных точек А и В твердого тела в,любой момент времени одинаковы. Следовательно, одинаковыми являются скорости п ускорения всех точек тела.
Напомнит(, что траектория движения точки задается зависи- МОСТЬЮ ОТ ВРЕХПЛП1 ЕЕ рйдиусй-векторй г111: г 1г) = го+ ~ хг(11; где го радиус-вектор в начальный момент времени, и полностью определяется начальным ш)ложеиием и зависимостью скорости Ъ От Вр(',мени. Поэтому траектОрпи дВиженпя Всех то"1ек тВ(зрдОГО тела пр(1 поступательном движении представляют собой одинаковые кривые. Ки- «В) Р)рви<ение снвердвев )нели ввнриг непвдвиви)нвй веи 29 нематическое описание поступательного движения твердого тела сводится к изу"юния) двп)к<)ння ОдноЙ то ски это« о т<)з«а, й 5.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угловая координата. Пусть 00 неподвижная ось грац(ения .)всрдого т(ьза. Направит« Оси «п)подвижной д<)ка1)«овей прямоуголы«ой системы координат так, чтобы ось г совпадала с осью вращения (рис. 1б). Проведем из начала координат к произвольной точке А тела радиус-вектор г. Угловой коорди)сато<1 (дглолс по<)арета) называется угол <р между положительным направлением оси и и прОекщи:й радиуса-вектора г па координатную плоскость сгйс.
Уго.,« поворота ж)„щ зина, скалярная. Он может быть положительным, отрицательным или нулем. Положительное направление отсче- Рис. 16 та, угловой координаты зч ТОВплись определять по след< юзс(еьсу правилу: оно образует правы)1 винт с положительным направлением оси г декартовой системы координат. Угол <р измеряется в радианах (рад). Вектор элементарного поворота.
Пусть тело повернулось ца бесконе шо малыйз угол <1(р вокруг оси 00'. При этом «й)опзвольная то зка А те:за, д~~~~~с~ по окружности,;заняла по- ложение А' (рис. 17). О' Век«вором олемеппгар)<ого поооропса на:зывается вектор <1<р) модуль которого вс<р равен модулю угла поворота <1<р: л И<р! = !'Йр~; <з<р вектор <с<р направлен вдоль оси вращения тела, пр«1 этом направзп)нио <1<р связано правилом правого винта с направлением ьрапп)ния тела,. О Подчеркнем, что поззожязе„зьное направленн< отсчета угла поворота <р (угло- ВОЙ ИООрдииаты) не'заВисит 01' напр«)вления вращения тела, а определяется только выбором положительного направления оси В неподвижной системы координат 30 Киггвмсг!ггггкгз ~лз!.! (рллс.
15). Направление вектора злементарного поворота с1ср свя'зано с налл1завзленллеы В1)гшизния тс'.лв. Угловая скорость. Пусть тело, вращаясь вокруг неподвижной оси 00г, совершило за промежуток времени с11 злементарный поворот Йр. Углсгесзг1 скорослвгто тлели называется вектор вэ =— !ллй сл! Вектор угловой скорости ез совпадает по направлению с вектором сглр и, с яедовательно, направлен вдо.,ль осн вращения тела, при лем так, что образует правый винт ! направлением врал!ения срлзс. 18). Есщп ось г неподвиллной декартовой системы коордллиат совпадает с осью вразпепия тела, проекция на ось г вектора угловой скорости равна сл! Модуль угловой зисорости можно пред!'тавпть В следу!оплел! Видел со = (св! = ссг Ф Мод!ель 1слсзвсзй ско1зосли чист!сино 1за- Ряс ла вен углу поворота тела за единицу времени.
Единица угловой скорости в системе СИ радиан в секунду ( 1)адл,' с ) . Ъ'гловое ускорение. Углооьлм уторслглсгем 'р называется вектор, равный производной вектора угловой скорости по вре'лепи: глаз слг Напр!лязг!!ни!! вллкто1за р совпадзит с нгпл1завслеллисзл! век ! ора с1вл приращения угловой скорости за бесконечно малый промежуток времени с11. Есчн тело вращается вокруг неподвижной оси 00', то вектор с1ез, и, сзсздовглтеслыло, вектор р лежат на оси вращения (рис. 19).
Если с течением времени модуль угловой скорости увеличивается, вектор р сонаправлеп с вектором угловой скорости пл, в противном случае — противоположен иь Еслзл ось в неподвллжной декартовой системы координат направлена вдоль оси вращения тела, то проекция на згу ось вектора углового ускорения равна сйО: глг 1й) Р>рви>ение >пвердого тели вокруг неподвижной оси 31 единица иглового ускорения в системсе Си . радиан»а секунду в квадрате (рад,>с~). Векторы элеи>сигарного поворота 4р., угловой скорости св и углового ускорения р являются аксиальнымн, в отличие от полярных векторов -- радиуса-вектора г, скорости >1 и ускорения а.
Векторы 11ф> св и р не имеют определеш|ых точек приложения и могут откладываться из любой точки неподвижной оси вращения. Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси 00' с угловои скоростью в> и угловым ускорением р. Найдем свЯзь скоРости >г>1 (линейной скорости) и ускорения а,1 (линейного ускорения) произвольной точки А тела с уг.,ювой скоростью в> н угловым ускоренп1'м р. Положение точки А зададим радиусом-вектором г.
проведен- Рис. 10 ным из произвольнои точки 0 на оси вращения ОО' (рис. 20). Упщ между осью 00' и вектором г обозна гам буквой О. За щюмежуток времени сй тело совершает элементарный поворсн 11ф. При этом точка А., двигаясь по окружности радиуса р = гвшО с центром на осн вра>пения. сове>1ппа1>т перев>свис>вие 11г. Модуль перемен>ения ]11г] щ>иблнзптельно равен д.,пине дуги окружности, вдоль которой движется точка А: ]с1г] = р]11ф] = г в>п О]йр]. Учитывая это равенство, вектор перс>ив;п1ения 11г х>ожно щ>едставить Р Виде Р1',кторнОГО произволе>п1я элементарного поворота Аф и радиуса- вектора г: >1г = ~11ф г].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
