1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 7
Текст из файла (страница 7)
! лярпая и дВигкс.ния прям))я яВляется ыгнОВРешой Ось10 Вращс. , будет показано, каким способом при плоском двпгкс) о нанти пол!>:кенеп) е)с)подвпгкпой в данный мо- ЫРИТ т дого тела, через которую проходит мгновенная ОС! ВР тем самым определить поло>кение мгновенной оси. Пр олесо радиуса г катится без проска:Взывания ЕП) ЕОР ой поверхности со скоростью $о (с)корость центра колеса). Найти скорость точки А - конца горизонтального диаметра колеса [рис.
23). Пусть В) — угловая скорость вращонпя колеса вокр1т про- Г4 0 ходящей через его цеатр [точ- А ку О) оси. Модуль е> определим пз ус"10Вия равРистВа е)улю с:кс)- рости нижней точки колеса точки В: Ъ'в — Ъ'о + [св гв] — О, 'и'о — е>г — О, и и2З е) = —. Скорость Ъ.~ точк!л А наход)Ется как векторная сумма скорости Ъ'о поступательного движения колеса вместе с точкой О И СКОРОСТИ Ъс),.и = [В) Г,)] ВРаЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРОХОДЯЩЕЙ ТЕРЕЗ точку О оси: ъ'л = ъ'о + [В) гя].
Складываемые векторы перпендикулярны друг другу. Модуль скорости точки А равен 2 ея = )О2+(СВГ) = 1О+ ( ") =1ОС)2. Ъггловаи скорость твердого тела при плоском движении. Для того чтсюы по формуле [7.1) выразить скорость )Ея произвольной точки А твердого тела терез скорость Ъ'о любой другой его точки О,необходимо знать угловую скорость «) вращения тела вокруг проходящей через точку О оси. Возникает вопрос, не зависит ли угловая скорость е> от выбора точки О, отнсюительно ко горой рассмагрпваегся вращение, не и)менитсе! ли 1тловая скорость при замене О на другую точку О'.' Пусть твсй>дое тело совсй>п)ас)! плоско!! движс)ние.
Ра«мотрим произвольные точки гсща О и О, имеющие скорости )со и Ъ'>. и произвс>льную точку А тела [1>ис. 24). Траектории движе- Е 8) Ыг>сввеннин вив врс>нсенин при плоском с>винсении 37 ния вес;х трех точек лежат в одной плоскости. Обозна >им через а и в' угловьп: скорости вращения вокруг проходящих через точки О и О' перпендикулярных плоскости движеешя осей.
Выразим по формуле (7.1) скорость Ъл произвольной точки А тела >врез Ъ'о и Ъ"„и за~~~ пр>сресвнием полученные выражения: Ъ'л = Ъ'о + ~а г], '7л = т' о + са г ] где г и г — векторы, проведенпьп; к ~~~~~. А нз точек О и О' СООТВЕЬГСТВЕ>Н НО. Ъ'о+ ~а г] = ~с',>+ 1в' г']. Учтем, сто с помощью (7.1) мо>кеео вь>Раость Ъ о '>е!Рез >со. Рпс. 24 Ъ'о — — Ъ'о + ~а а], где а — вектор, проведенныи из точки О в точку Ос: а = г — г' (сте.
рис. 24). Проведя щэостые преобразования, получим Ъ'о+ ~в г] = Ъ'о+ ~в а]+ ~а' г'], ~а,г — а] = [а' г'], ~в г'] = ~в' г']. Отсюда в> = О>'. (722) Поскольку точки О и О' тела были выбраны произвольно, и показано, что угловые скорости вращения твердого тела вокруг проходящих через эти точки осей одинаковы (скс. (7.2)), можно утверждать, что при плоском движении угловая скорость в не зависит от выбора точки, относительно которой рассматрг>вается вращение. Вектор а называют угловой скоросп>ью прас>сенсея санердого тела. При ятом нет необходимости указыва и, полсоксние оси вращения - опа может проходить через люоую точку тела. Вектор в перпендикулярен к плоскости Р движения тела (схс.
рис. 22). й 8. Положение мгновенной оси вращения при плоском движении В предыдущем параграфе пока:зано, что если скорость некоторой точки совер>лающего плоское движение твердого тепла в рассматриваемый момент времени равна нулю. то через зту нине>аи>вини ~гл.! точку проходит перпендик>лярная плоскости двп>к(>пня мгновенная ось вращения.
Так, скорость >(111 нижн(й точки М колеса, которое катится без проскальзывания по плоской горизонтальной поверхности, равна нулю Тряс. 25). Скорость любой другой точки А колеса с помощью ч( — — Тккг(] формулы (7.1) и с учетом того обстоятельства, что Ъ'и = О, А ьложно представить в виде Ъ'Л = "(Га> + [В Га1 = ~В Г а], где г,1 ИТ>оведенн((й из ЛХ в А вектор, в угловая скорос гь вращения колеса (точка А выбрана так, что плоскости движения точек ЛХ и А совпадают).
Полученное для Ъл выра>кение аналогично формуле (5.2), описывающей вращение твердого тела вокруг неподвижной осн, и подразумевает, что в рассматриваемый момент времени скорость точки А направлена по касательной к окружности с центром в неподвижной точке М. ЛТгновепное распределение скоростеи в колесе такое же, как прп вращении вокруг проходя- 1П(>й «(р(.з то (ку М, п(>1пюнднкзлярной к п~оскости движения неподвижной оси. Следова(ельно, проходящая через гонку ЛХ перпендикулярная плоскости движения колеса прямая является мгновенной осью Вращ(ения. Прн плоском дВи>к(>нии Вс(".Гда сущ(>стВует:к(>стко сВязанная с т(к>ом.
по не обязательно расположенная внутри тела точка 1И, скорость которой в 1>ассматрпваемый момент времени равна нулю и через которую проходит мгновенная ось вращения тела. Определим в оощем слу (ае плоского движения положение то >ки ЛХ. Пусть заданы скорость Ъ'о некоторой точки О тела (точки плоской фигуры (Р, обра>ующейся в сечении твердого тела плоскостью движения, рис. 26) п у>левая (корость в> т((ла.
Скорость любой другой точки тела, в том числе, искомой точки ЛХ, со- Ч о гласно (7.1) можно представить в сл( ду ющ('.м Вид(к РИС. 26 Мм = Ъ'о+ ~вг(1>). где гм вектор, проведенный из точки О к точке М. 1в) Ыгновеннил оов вригленил ири плоском движении 39 Поскольку через то ску ЛХ проходит мгновенная ось вращения, и Ъ'лг = О, из предыдущего равенства получим Лго + [в гм) = О. Умнооквсм обе гнети уравнения векто1що слив с па в: [в Ъ'о) + [в [в гл7Ц = О.
Раскроем двойное векторное произведение: [в Лго) + в (в гм) — глг (в в) = О Учтем в полученном уравнении, что [в глг) = О, так как вектор в перпендикулярен плоскости движения, и, следовательно, вектору г,ц: [в Ъ'о1 — гри (в в) = О. Выразим вектор гм: [в Ъ'о) [8П) щг Из [8.1) следует, что вектор гЛ7 перпендикулярен скорости Ъ'о теэчки О, а его длина равна гзд = —. ро (8.2) Для того чтобы, зная скорость Ъ"о хотя бы одной точки совершающего плоское движение твердого тела и его угловую скорость в, найти положение мгнове'иной оси вращения, необходимо выполнить следу1ощпс: действия.
По фо1>муле [8.1) найти в( ктсг1> глг, отложить его пз точки О в плоскости движения перпендикулярно вектору Лго и орреднпггь тем самым пологкение точки ЛХ. Мгновенная ось вращения проходит через то гку ЛХ перпендикулярно к плоскости движения тела. Ксли угловая скорость враьцения твердого тела нс равна нулю (в у'= 0), то согласно (8.1), искомая точка ЛХ существует. П р и м е р. Пус гь известны направления векторов скорости Ъ;л и Ъ'в двух точек А и В совершающего плоское движение тела, но неизвестны их модули. Чтобы найти положение точки М, через которую проходит мгновенная ось, достаточно определить точку пересе и!Ния пе1гпендикуля1)ных к векторам Лги и КН лежащих а плоскости движения прямых [рпс.
27). Рис. 27 40 Кинелеатини ~ Ге!. ! 9. Свободное движение твердого тела Пусть твердое тело движется свободно, то есть никакие ки- НЕМЯТИ 1ССКИ! ОГРН1ПЛ и ПИЯ Нй ДапеК! ПИЕ ТЕЛН НЕ ННКЛНДЫВй101 ся. Выберем дье щюпзвольные точки 0 и А тела. О!х!у!г! неподви>кная сист! ма кое|>динйт (гнете)ла отеч!.та). С то.!кой 0 свяжем дв!лжу!л!у!ося систеи!у от!' и!тй и поместны в нее начало лвн>кущейся посту пйт!'.льне систе)ы1,1 координат Оху, ос!л которой паралле.льны соответствующим осям системы координат О! х ! у! х! (р!лс. 28) . Поскольку в сист!вн) отсчета Ох!)г в любой момент времени точка 0 твердого тела неподвижна, движение тела в этой систелме отсчета предстйвт!51- ет собой вращение вокруг Рис.
28 проходящей через точку О мгновенной оси, положение которой с течением времени непрерывно меняется как в теле, так и в щюстранстве. С~обод~ос дни>к!)иие тве)рдого т!.тй хюекно рае1ст!атйп!Нить как совокупность двух движений поступательного движения вм!)сге с произвол! Ной:го"!Кой О телй и в|)ащения вок1)1г щ)оходящей через эту точку мгновенной оси. В соответствии с этим утверждением скорость Ъя точки А равна сумме скорости Ъ'О то)ки 0 и относительной скорости Ъ"„,„= [еа гл1, обусловленной вращением тела с угловой скоростью в) вокруг проходящей через точку 0 мгнове!гной ос!л; *>>! = Ъ О + Ъ ити = Ъ(О + ~в) !" А]. (9.1) Здесь гл вектор, проведенный из точки 0 в точку А, Ъ)л и Ъ'О .
скорости точек А н 0 в неподвижной системе отсчета О!х)у! "!. Ъгс„, -. скорость точки А в системе отсчета Охух, в) .-. угловая скорость мгновенного врьнцения твердого те !а в сист!.ме отсчетй Охух. „1о!л!к!алел),ство форм!.лы (9.1) аийлогпчно выводу выражения ~7.1) для плоского движения. й 10.
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей Сложение элементарных поворотов. Пусть тело соверпплло два элементарных поворепа Йре и Йрэ вокруг осей. пере- Сло>сев>сие врисслсний 1 ло) секающихся в неподвижной то лке О. Согласно результатам, полу ленным в 3 5, проведенный из то ски О в произвольную точку А тела радиус-вектор г в результата первого поворота получит приращение 11г ~ . (10.1) 11Г> = [Йрл, г] Прп этом точка А займет положение А', определяемое радиусом-вектором г'1 г = г+ 11гл. В результате второго поворота вектор г' полу лит приращение 11Г2.' 11Г2 — ~11ф2~ Г ] — ~сйф2, Г + 11Г1] — ~11ф2; 1] + ~с1ф2~ 11Г1] ~йф2~ г] (10.2) Слагаемым ]11ф2, 11Г>] пренебреглп как величиной более высокс>го порядка малости, по сравнению с ~11ф2, г].
Результирующее перемещение- точки А вектор дг равс н сумъле двух перемепсеьплй (10.1) и (10.2): слг — ссг1 + АГ2 — Гссф!, Г] + !слф2, Г] = Гссф! + ссф2, Г]. Полученное выражение показывает, что вектор суг можно рассматривать как перемещение точки А. обусловленное единственным ачемептарпым поворотом сзф. равным векторной сумме 11фл и суф2,.
Иг = ~11ф,г], гдс 11ф = суфл + 1ф2. (10.3) Результирующий поворот точки А происходит вокруг проходящей через неподлзижную точку О прямой, направленной вдсиь сйр. Согласно (10.3) юлс>мс>н~>н>лсл повороты вокруг переел>юлющихся осей, складываются по щ>авилам векторного сложения. Если ввести в рассмотрение вектор ф коне >ного поворота тела, направленный вдоль оси вращения и лисленно фз равный углу поворота ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
