1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Условия равновесия подвешенного шарика дают для обоих рассматриваемых случаев уравнения 1 !7ч и 2 Т, жпа,— — — — =О, 4пво 2ав 2 ! Ф~ У 2 1 4!4 Тг соэ а,+ — — — — — — т8= 0, 4пео 2аг 2 4нео ав 1 94 !г2 Т, з!па,— — — т — =О, 4пео 2а 2 1 94 1 94 !/ 2 Т сова + — — — — — — — т9=0, в - '+ 4лво а' 4пво 2аг 2 где Т„Т вЂ” натяжения нити, а„а — углы отклонения нити, + (), — (à — заряды закрепленных шариков, +д — заряд подвешенного шарика, гл — масса подвешенного шарика (рис.
416). Исключая 4жр У РЕ. 4яз ла У ф ~а,чае > / ь ! йз Рнс. 416. ' Рнс. 415. неизвестные из данной системы уравнений, получим сгяа,— с18аз=с!да,— с162а,=2(2 )г 2 — 1). 0 ч =2(! г ! !)ь1!ы — !БУ2 с . а, = 7'56', аа = 15'52' при шй > — — ~1 — ) !— ! 1ср г 'г' 2~ ,4лва а' ~ 4 )' а,=82'04', а,=164'08' цри тля < — — ~1 — — / . ()4 / )I 2'1 4лв, аз 'Ч 4 413. Индуцированные отрицательные заряды на поверхности проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцнрованиых отрнцательных зарядов равна нулю. (Индуцировавные положительные заряды уйдут на удаленные края пластинки, и нх полем можно будет пренебречь.) Это распределение нндуцироваиных зарядов не зависит от толщины пластинки.
Поместим слева от пластинки на том же расстоянии !!заряд — 4. Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместилн слева от пластинки заряд †, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +д и отрицательных вндуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядамн +д и †и зарядами, индуцированнымн на поверхностях пластинки (рис.
4!7). Если толщина пластинки очень мала по сравнению с с), то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует. Итак, мы показали, что поле справа от пластикки, создаваемое зарядом +4 н нндуцированными отрицательными зарядами, созна.
дает с полем, создаваемым точечнымн зарядами +4 к — 4. Поскольку ,28! в точке нахождения заряда +д напряженность поля от индуцврованных отрицательных зарядов равна напря:кенности поля от точечного заряда — 4, находящегося на расстоянии 28 от +4, то иско- 1 дз мая сила притяжения равна Р= — — .
4лее 4бз е1е е= етеже~. 415. Так как Я >) д, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент Рис. 417 Рис. 418 кольца длины ЯЬа (рис. 418). Со стороны заряда 11 на него действует сила ЬР= — —, где Ь4 = д Ьа!2л. Силы натяжения 1 ЯЬ4 4лзе кольца Т уравновешивают ЬР. Из условия равновесия, учитывая„ что Ьа мало, имеем ЬР=2Т ып (Ьа/2) ш Тба.
Искомая сила является натяжением Т = 9418лзееДзе 418. При отклонения нити на угол ер на заряд д действует сила Р, перпендикулярная пластине н равная „, 1 зэ 4лее 4 [1(1 — соз ер)+Ь[з (см. решение задачи 413). При малых углах отклонения 1(! — соз «р) (< Ь зз и, следовательно, Р= — г — . Прн этом период колебаннй будет 4лее 4Ьз ' равен Т =2л !/ 1 ' = — р' лзе)аь Г 16лзетлз 8лЬ дэ д 417. Задача формально сводится к определению периода малых колебаний математического маятника, дчины Ц2 около положения равновесия в поле силы дЕ: Т=2л у — — га 2 !8-ез с. Ь ш У 24Е 282 416. Каждый заряд создаст в точке !) напряженность поля Е,=д!4пееаз.
Полная напряженность будет суммой трех векторов (рис. 419). Горизонтальные составляющие зтих' векторов в сумме дадут нуль, так как они равны по величине и составляют друг с другом углы по 120'. Сами векторы образуют с вертикалью углы 90' — а, где сг †уг между ребром тетраздра н высотой й треугольника АВС. Вертикальные составляющие одинаковы и равны каждая Ег Р 6 Рис.
420. Рис. 419. о з!па!4пееаз. Из ДАВЕ очевидно, что з!п а= Г'2/3. Отсюда искомая напряженность поля рг6 Е= — —. 4пез а' ' 419. Рассмотрим случай разноименных зарядов д, > О, дз < О. НапРЯженности, созДанные заРЯдами 4, и йм Равны соответственно Е,=4,/4яеег,' и Ез=рз!4па,ге. Как видно из рис. 420, Ее=Ее+ +Е,— 2Е,Е,сов гр. Из Д АВС сезар= . Следовательно, 3 гг+ ге 2г,гз Е= — ~ — + — — — (гь+гз — й ) ° 1 Чг 4з ч!4з е е з 4яее рг Если заряды одноименны, то 4ж1.
1) Е= — 4 ~ — — ~ щ — ' 4яее ( г' (г+1)з) 4пе, гз ' ! ! ! р 2) Е= — д 4яе ( з ! Р!4)9. 4пер гь (См. рнс. 421.) 421. Напряженность поля Е в произвольной точке А на ося кольца может. быть найдена как геометрическая сумма капряжен- настей, создаваемых отдельиымв малымн элемеитамя заряженного кольца (рис. 422). Суммируя векторы напряженности в точке А, следует учитывать только составляющие, направленные вдоль оси Е -1] +2 Е б/ е 1[ Рис.
421. Рнс. 422. кольца. Составляющие векторов напряженности, направленные перпендикулярно оси, при сложении дадут нуль вследствие симметрии. Следовательно, напряженность поля в точке А равна (] 1 Е Е= — сова=— 4пзэ Р'+ г' 4язэ (Рз+ гэ)'/и ' 422. Сила, действующая иа заряд — 4, равна 1 раях Г=— 4яеэ (Рз+ ха)'/в я направлена всегда к центру кольца; так как х(< Р, то, пренебрегая в знаменателе х по сравнению с Р, получим Е= — — х. 1 д1] 4пеэ Рз Таким образов, сила пропорциональна х н направлена к центру кольца. Под влиянием этой силы заряд совершает колебательное движение, пеРиод котоРого Равен Т=4к г/пзетРз/41].
"423г В обоих случаях напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстояние г от пластины или нити, может зависеть только от о или т н г. Зависимость от о и т должна быть линейной (принцип суперпозиции), т. е. Е=о/(г) нли Е=тф(г). Здесь /(г) и ф(г) — некоторые, пока неизвестные функции г. Примечание. Принцип суперпозвции в данном случае заключается в том, что напряженность от суммы зарядов равна сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Как известно, [Е]= — —. Размерности о н- т: [о] /г/,У, 1 Я [ер] 1Р ' [т]=ЩЕ. Очевидно, в случае пластины Е=й,а/еэ, а в случае нити Е=йзт/езг, где йг и й,— некоторые безразмерные'коэффиця- евты.
На основании соображений симметрии легко определить направление напряженности. Напряженность Е направлена перпекдикулярно к пластине нли нити. Теория дает для коэффициентов Ь, и Ьз значения Ьг=!/2, Ьз=1/2п. 424. Ввиду очень малой тозщины пластинки мы можем считать, что заряд распредепен равномерно на двух поверхностях, площадь каждой из которых равна аЬ. Таким образом, поверхностная плотность заряда о=у/2аЬ. Поле внутри металла будет равно нулю, вне металла напряженность равна Е=2 — = —. ф Ч 2е,2аЬ 2ееаЬ 425.Е = ~ ~ Е = ~ г', Е 2зеЯ ~ 2ееЗ Л 2ееЗ Напряженность считается положительной, если она направлена слева направо.
426. Выделим на проводнике столь малый участок АВ, чтобы его можно было считать плоским (рис. 423). Поле вблизи этого участка можно представить как суперпозицию двух полей: того, )г,. что создается зарядами этого х участка (векторы Е„Е,), и того, что создается остальными зарядами проводника (векторы Е„Ез). Так как участок АВ 2~ можно считать плоским„ то Е, = Е, = и/2е,. Кроме того, так как поле, создаваемое зарядами, находящимися вне участка АВ, является непрерывным, то Е,= Е,. Наконец, так как внутри проводника поле отсутствует, то Ез=Е„откуда, учитывая предыдущие равенства, получаем Е, =Е,=а/2е,. Следовательно, искомая напряженность Е =Е,-(-Ее=а/2зе+аДзе=о/зе.
42). Вели (к)~а/2, то Е=Ря/е,. Если!я! > а/2, то Е=ро/2ао. 426. Найдем напряженность поля на расстоянии г < /1 от центра шара. С этой целью проведем из центра шара сферу радиуса г. Все заряды, которые находятся внутри сферы, дают в интересующей нас точке такую напряженность, как если бы оин находились в центре, а от зарядов, находящихся вне сферы, напряженность поля равна нулю. Таким образом, 1 4 1 рг Š— — ягэр = — ° 4иве 3 г', Зе, ' Вне шара (г > Р) напряженность равна Е = ()/4яеегз, где () — заряд шара.
(График Е=/(г) см. на рис. 424.) 429. Найдем напряженность поля на расстоянии г < Р от ося цилиндра. Заряды, которые находятся внутри цилиндра радиуса г. создают на расстоянии г от ося цилиндра такую же напряженность, как если бы онн находились на оси. Заряды же, находящиеся вне цилиндра, поля не создают.
Следовательно, если г С Я, то игэр рг Е==== —. 2пгег 2пеег 2ее ' Если же г > /1, то т и/1 ар И ар Е 2пеег 2пе,г 2еег 430. Вл= р!!л/Ззе — рг/Зеэ= ра/Зеэ. (См. рис. 425 и решение задачи 428.) Рис. 424. Рнс. 423. 431. См. решения задач 430 и 429. 482. Молекула будет притягиваться к ааряженному цилиндру. Сила притяжения равна т4 ~ 1 1 ) тдЛ В этом выражении мы можем пренебречь велнчняой Л (Л 1О-з см) ,по сравнению с г !г не мовюг быть меньше радиуса цилиндра). Окончательно для Р получаем выражение Е=тчЛ/2иэегз. 433. В начальный момент силы, действующие на обе молекулы, одинаковы.
При приближении к цилиндру сила Еы действующая на молекулу.с постояннмм электрическим моментом, растет пропорционально !/г'. Е,=дк4Л/гэ 1см. задачу 432). Сила Еэ, действующая на еупругуюэ молекулу, растет быстрее, пропорционально 1/гэ (за счет непрерывного увеличения электрического момента этой молекулы). Массы молекул одинаковы, поэтому ускорение второй молекулы при приближении к цилиндру нарастает быстрее, чем у первой, и она быстрее достигнет поверхности цилиндра. 434. Ввиду того, что а и Ь много больше с и Н, мы можем считать пластинку бесконечно большой. Учитывая, что напряженность поля от нескольких зарядов равна сумме напряженностей, создаваемых каждым из зтик зарядов, и воспользовавшись результатами решения задач 413 и 424, получаем значение искомой снлыг 40 ()* Р= — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
