1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2зеаб 1блл,(э Первое слагаемое соответствует силе отталкивания, второе — силе притяжения. Положительно заряженная пластинка будет притягивать точечный положительный заряд, если 0з/1блеег/з > 40/2зеаб, т. е. если О/аз > Злб/аЬ. 435. Вне шара потенциал ф=0/4лзег=Дар/Ззег. Для того чтобы определить потенциал внутри шара (при г ( /с), надо к потенциалу ф=()/4лаей добавить величину, чясленио равную работе, нроизводимой полем над единичным положительным зарядом при его перемещении по радиусу от г до /с.
Эта работа равна заштрихованной плошади на рис. 424 (см. задачу 428). Вычисляя, получим ф='(3/(з — гз) р/бее. 438. Потенциал всех точек шара одинаков. Для решения задачи достаточно найти потенциал одной точки. Проще всего найти потенциал центра шара. Он равен потенциалу, созданному.в центре шара точечным зарядом ф=4/4лза(, илюс потенциал, созданный зарядамя, возникающими на поверхности вира вследствие электростатической индукции. Но этот последний потенциал равен нулю, так как суммарный заряд на сфере ранен нулю н все элементы заряда йаходятся на равном расстоянии от центра.
Следовательно, потенциал шара ф= 4/4лгеа 43У. Потенциал шара ф равен Поскольку шар заземлен, его потенциал равен нулю, т. е. д/(/с+ г) = г — О/г О. Следовательно, Я = — д. /с+г 438. На суживающейся части трубы возникнут положительные иидуцированные заряды. Под их влиянием электрон начнет ускоРйться. Кинетическая энергия элентрона будет увеличиваться за счет уменьшения потенциальной знергии системы электрон — труба.
439. 4 — Я оа /)з %г /сз /гг /се 440. Для равновесия заряда 4 необходимо, чтобы заряды ( — 0) находились на раиных расстояниях а от него (рис. 426). Сумма сил, действующнх на зяряд ( — О), также равна нулю: (р~4а — 114/аз = 9. Отсюда 4=0/4. Расстояние а может быть любым. Равновесие неустойчиво, так как при смещении заряда †() вдоль 00г на отре- () 3 зок х от заРЯда 4 сила пРитаженнЯ ге —— 4 з, действрю4ле, 4(а+х)' ' щая со стороны заряда д, меньше силы отталкиваияя ()* 4лге (2а+ л)з и заряд — Я уходит еще дальше от положения равновесия.
Прн смещении заряда — 0 вдоль 00т на к к заряду у Ег > Ра для х ~а, и система не возвращается к положению равновесия. Также нарушает равновесие, как нетрудно видеть, произвольное перемещение заряда у, Потенциальная энергия заряда — 0 в поле двух других зарядов равна йгг 0 у Е Е* зу— 4наэ ( у а+у) Иггзсу(а+у) где г — смещение заряда д от положения равновесия. При измене- нии г от О до а энергия меняется в соответствии с кривой МУР (рис. 426). Рис. 426, с Характерно, что ь(аксимумы всех трех потенциальных кривых соответствуют положению зарядов при равновесии.
Именно с этим связана неустойчивость равновесия. 441. Нет, не может. Для того чтобы, к примеру, положительный заряд находился в состоянии устойчивого равновесия, необходимо, чтобы при смещении заряда в любом направлении на него действовала сила, возвращающая в положение равновесия.
Следовательно, силовые линяя электрического поля должнм сходиться в точке, в которой расположен заряд. Но силовые линии электрического поля цачинаются на положительных зарядах н оканчиваются на отрицательных. В точке же, где расположен рассматриваемый заряд, отрицательных зарядов нет, и, следовательно, силовые линии внешнего по отношению к заряду поля не могут сходиться в точке, где он расположен. 442. Энергия заряженного шара равна работе, которую могут совершить заряды, находящиеся на шаре, если они покинут его и удалятся на бесконечно большое расстояние.
Пусть с шара каждый раз удаляется на бесконечность порция заряда в 4 единиц (д (( Щ. 288 где у=расстояние между зарядом д и одним из зарядов — О. Зависимость йгг от у при О~у~~ со изображена кривой АВС дпя одного заряда и кривой 0ЕР для другого (рис. 426). Энергия заряда у при неподвижных зарядах — 0 равна у! — Я 0'1 Оэ а 4пез (а — г а+а) 8пе, а' — гз' При удалении и-й порции, ногда заряд шара станет равным г) — п4, электрическое поле совершит работу, равную ! (1) — по) ЬА= — ' 4.
4пее )1 Рабата, затраченная на удаление У порций заряда, где /у = ()/4, равна Г() — 4 е — 24 е — 34 () — 814 1 А= — 1 —.д+ — д+ — 4+ . + 4(= 4пеа '( /Г' й /1 )1 При Ф- оэ (д — 0) А=Яэ/8пза/1. Следовательно, энергия заряженного шара равна йг=Яз/йпекз)с. (Эта энергия называется собственной.) Тот же результат можно получить, используя график изменения потенциала шара при уменьшении заряда. График будет представлять собой прямую линию, проходящую под некоторым углом к оси абсцисс, а работа будет численно равна площади, ограниченной графиком и осями координат.
443. Энергия всей системы зарядов равна сумме собственных энер. гий зарядов, находящихся нз первой сфере (йгг=Цз/йпза/с,) и на второй сфере (йуз= 9з/йпзз/1з), а также энергии взаимодействия зарядов первой сферы с зарядами второй сферы. Эта энергия взаимо. действия равна произведению заряда ()э иа потенциал, создаваемый иа поверхности сферы радиуса )гз зарядом Ггп Таким образом, иско. мая энергия йу всей системы равна 4ю~ (21~~ Й~~+~~~(А~)~' В случае, когда (), = — Ц,= с/ (сферический конденсатор), 444: )Р= — ~ — + — +" + — + 1 ) рг рз Ов Апвз ~ 2г 2гэ '' 2г„ (цг )+ (эг+4э)+ + (Чг+Чэ+ ° +оэ->)~ 445. Как всегда, считаем потенциал на бесконечности равным нулю.
Тогда потенциалы пластин равны соответственно +(//2 и — У/2, причем (/= Я/С. Потейциалы в точках первоначального положения электрона соответственно равны О, +(//4, — (//4. Начальные значе- ния полной энергии электрона равны: 1) —, 2) — — —, 3) — + —, 4 т з е(/ шэз еи 2 ' 2 ° 4' 2 4' 1О Б, Б. Буховиев в ЛЭ. Конечные скорости о,, сохранения энергии: тоа то, а а 1) — —,, па= 2 о„оз определяются на основании закона еи ъ а а 2) — — — =— 2 4 2 еи а а з) + 2 4 2 определим минимальное расстояние г, между зарядами~ га 2пе т,т )ог+о )а гг (т, + т,) ануа 447.
Энергия взаимодействия равна половине энергии взаимодействия дйух точечных зарядов +д и †, находящихся на расстоянии 2а(, т, е. йт = — 9 4аА)яз и= — 4а)16пзаб. Скорость найдем из закона сохранения энергии. Когда заряд находится на бесконечно большом расстоянии от пластины, его скорость равна нулю и энергия взаимодействия йт тоже равна нулю. Таким образом, 448. Работа по перемещению заряда — 4 пропорциональна разности потенциалов между точкой О и весьма удаленной от кольца точкой А, лежащей на оси (рис. 160). Потенциал на бесконечности принимаем равным нулю. Потенциал точки А, если расстояние ОА))1т, мы можем считать равным нулю. Потенциал в точке О найдется суммированием потенциалов, созданных отдельными малымн элементами кольца: к ар '4пза,йы )2 4неой ' В первом случае конечная скорость равна начальной, во втором случае меньше ее, а в последнем больше.
Во всех случаях скорость первоначально растет (во время движения внутри конденсатора), а затем начинает убывать. 446. Расстояние между зарядами станет минимальным в момент, когда их скорости сравншотся, т. е. когда относительная скорость зарядов станет равной нулю. Очевидно, что скорость зарядов при минимальном расстоянии между ними, согласно закону сохранения импульса, равна о=(тьо,— тапа))(та-(-та). Используя также закон сохранения энергии + + лагоа твоа ргуа (та+ та) "а Чгча +— 2 2 4пзагх 2 4неага Используя закон сохраяения энергии тоз/2=де/4пзз/т, найдем Гэ Л 449. Полная энергия заряда равна йг=тоз/2 — 40/4пее/1.
Если (г )О, то заряд уйдет,в бесконечность. При йГ=О скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от центра кольца будет равна нулю, а при йт > 0 — отлична от нуля. Если же йг < О, то заряд будет совершать периодическое движение вдоль оси кольца. Наибольшее расстояние г, на которое при этом удалится заряд от центра кольца,.можно найти из закона сохранения энергии: шо* 4О 4О 2 4яеэ/с 4яеэ )ГМ'+ г' 1 (2пгчтоз/1 )э 480. Энергия заряженного шара %' = Оз/8пзэ/т =2язэ/10з, где Я вЂ” радиус шара, а <р — его потенпиал. При разряде эта энергия выделится в форме тепла. Вычислив, найдем йг=0,55 Дж. 431. Пусть первоначально заряды шариков были дг и фм Тогда работа Аз=гугб,/4пзэ/, где 1 — расстояние между шариками.
Заряды шариков после соединения стали одинаковыми: 4=(д,+дз)/2, а работа Аз=(д,+дз)з/!6пзз/. Нетрудно видеть, что Аэ > Ап Кроме того, в проводнике прн соединении шариков выделяется тепло О. Однако полный запас энергии шариков по закону сохранения энергии должен быть одинаков в обоих случаях. Так как работа Ад и, соответственно, Аэ представляет собой потенциальную энергию второго шарика в поле первого (з первом н во втором случаях), то Аг-(- йгд-— Аэ+ ()+ 5'м где йгт= — ~ †' т †' ( — собственная 4пеэ ~ 2г 2г / 1 / бз энергия шариков до соединения, йгз= — ~ — + — /1 — собствен- 4~~~2 2г / ная энергия шариков после перераспределения зарядов (см. задачу 442).
Энергия, выделившаяса в форме тепла, равна (4 — чэ)'/ 1 Ц=Ф',— )ге+Аз — Аз — — э ~ — — — ). 1бяеэ ~ г 1 )' 482. Предположим, что радиус оболочки увеличялся на 6, где 6 — сколь угодно малая величина. Тогда растягивающая сила совершаю работу А=4п/1з/Ь, где / — сила, приходящаяся на единицу плошади. Эта работа совершается за счет уменьшения электростатической энергии. Вначале электростатическая энергия равна ()з/8пезй, после растяжения 1сэ/Ьпвз(/с-)-6).
Изменение энергии 14з 6 8пеэ/т Ьяеэ(Я-(-6) Ьпеэ /г (/с+ 6) равно работе А, т. е. 4я/сз/6=1гзб/8паэ/1(/1+6). Учитывая, что величина. Ь сколь угодно мала, получаем для силы следующее выражение: /= Яз/32пзезйа =оз/2вэ. Здесь через и = ()/4я/тэ обозначена плотность электричества, т. е, заряд, приходящийся на единнпу площади.
10 э 291 Можно определить искомую силу и непосредственно. Рассмотрим на сфере малую площадку 3 (рис. 427). Найдем напряженность Е, электрического поля на рассматриваемой площадке, создаваемую всеми зарядами, за иснлючением зарядов, находящихся на самой площадке. Для определенности рассмотрим случай, когда сфера несет положительный заряд. Обозначим через Е, напряженность электрического поля, создаваемого зарядами, находящимися на рассматриваемой площадке. Так как внутри сферы результирующая напряженность равна нулю, то Е,=Ее. Результирующая напряженность на сфере Е, +Е, = Я/4па,/1з. Следовательно, 2Е,=(с/4лзе/тз=п/еа.
Отсюда Е,=о/2ем Лля того чтобы определить силу, действующую со стороны всех зарядов, не находящихся на площадке, на заряды, находящиеся на площадке, надо напряженность Е, умножить на величину электрического заряца площадки пбй Е=Е,пЕ=озЯ/2ае. Сила, приходящаяся на единицу площади, будет равйа /=аз/2зе. 458. с/ ( Зп)т ггее)7п. сл~лг Е Рнс. 428. Рис. 427. 454. Пусть разность потенциалов на клеммах батареи равна (/, а заряд батареи равен ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
