1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Следовательно, этот груз движется вверх с ускорением а=8/2. С тем же ускорением движется вниз другой груз. Дополнительный груз на второй чашке находится из уравнения — ~ — =Р+Р,— Е, и 2 откуда Рд — — 30 Н, Решая зту систему уравнений, получим (при условии т,=т,+т,) (тз — тз) т', — 4тэ (тз+тз+6тзтз) тзг+4т,та- 86. Чтобы восстановить равновесие, надо с правой '.чашка весов (т, — те)э снять груз весом Р= е К. тг+ и, 67. Так как массой блоков и пити мы пренебрегаем, натяжение нити будет всюду одинаково (рис.
311). Поэтому тгК вЂ” Т = т,аг, о!тК вЂ” 2Т = т,а „ огаК Т = иааз о = — (о +о!)!2. Отсюда 4!и!!па Згпзпга+ и!те 4тгтэ+ т,тэ+ т,т, К и,т, — 4и, и, + и!из 4т,тэ+ тэта+ и,т, К 4т,тэ — Зтгт, + тета 4т!тв+ т,та+ т,т, К а,= гггхф Рис. 31!. аз= 88. Так как масса блоков и нити пренебрежимо мала, натяже- ние нити всюду одно и то же.
Поэтому т,К вЂ” Т= тзад, т,К вЂ” 2Т = тэоэ, 2Т вЂ” Т=О. е ~~! ' ~я!+о!О!+ — '1=(., о;(б!)з1 2 г=! Вычитая одно уравнение нз другого, получим после сокращения на бг! з з э (ог+ — а!И)='у ог+ — З! '~' а!=О. 1 2 ! ! г=! г=! Поскольку это равенство должно быть справедливым при тобом Ы, з ускоренна грузов связаны соотношением ~н~~~а1=0, Так кая массы ! ! Отсюда Т= О и а! =а,=К. Оба груза свободно падают с ускорением К Блоки В и С вращаются против часовой стрелки, блок А— по часовой стрелке.
89. Пусть в некоторый момент 1-й груз находится на расстоянии к; от потолка. Тогда из нерастяжимости всех нитей следует, что сумма всех таких расстояний остается во время движения постоянз ной: ~я!=С. За время б! произойдет изменение каждого нз этих г=! расстояний, поэтому через время З! блоков к трение в их осях пренебрежимо малы, то ната!кение одной и той же нити, яерекннутой через любой блок, по обе стороны блока одинаково н равно половине катяження той нити, на которой этот блок висит.
Отсюда следует, что натяжения всех нитей, на которых висят грузы, равны между собой. Обозначив зто натяжение через Т, запишем уравнение движения в-го груза в виде т!а — Т=т;аг, нли Т д — — =ар ваг Сложив все 8 таких уравнений, получим з з 8д — Т ~ — =~~в' а;=О. г=! Отсюда Т 88 з ~~~~ (1)т!) г=! 90. Обозначим натяжение нити, на которой висят грузы т, н т„ через Т. Тогда натяжение нити, на которой висит груз т„равно 2Т, а натяжение нити, на которой висит груз тв, равно 4Т. Уравнения движения для грузов запишутся в виде т!9 — Т = тван тва — Т = таам твй — 2Т=т,а,, твй — 4Т = т,ав. Из-за нерастяжимости нитей ускорения грузов связаны соотношением а,+ аз+ 2ав+4аа=О (Это соотношение можно получить тем же способом, как в решения задачи 89.) Решив полученную систему уравнений прн заданных значениях т„т„тв, тв, найдем ав — — 8/Зз ш 0,3 м(св. 91.
Для данного случая уравнения динамики запишутся в анде П! та — Т=та, Т= Ма, где Т вЂ” натяжение нити. Отсюда а — 8= М+т 2 = — я. Уравнения кинематики дают х=ов( — а(в/2, ег ое — ат. 7 Решая данную систему уравнений, найдем, что через 5 с тележка будет находиться на том же месте (х= 0) и будет иметь скорость е! 7 мгс, направленную вправо. Тележка пройдет путь 8=2 (ее — — — ~=17,5 м, а (1/2)в) 2 2 92.
Нв рис. 312 изображены стрелками все силы, действующие нв тела тп т„т,. Обозначим через о ускорение тел т, и т„ а через с и Ь вЂ горизонтальн и вертикальное ускорения тела т . Рис. 312. Запишем проекции уравнений движения на горизонтальное и вертикальное направления: т,а=тей — Т, т,о=Т+У яп а, тзЬ=тед — У сова, т,с=Уз!па.
Из геометрических соображений следует соотношение Ь((о+с)=!йа. Решая зти уравнения, находим а, Ь, с: те+те яп а соз а и — Ье те+ те+ тз яп за т, яп се соз а+(т,+ т,+ те) з(п а т,+т,+тз з!п'а (т, + те) з! п сс соз а — т, з! п'а с т, те+те з!пе а Решение справедливо при (да — !~те!т, (см. задачу 35). 93. На рис. 313 изображены все силы, действугощие из стержень и клин. Обоаначим через а ускорение стержня относительно неподвижного стола, а через Ь вЂ” ускорение клина. Запишем проекции Рис.
313. уравнений движения стержня и кальное направления: ли =тя — У соз а, МЬ= У з!и а, клина иа горизонтальное и верти- О=Уз — Уз+Ушла, О = Уе — У соз а — Мя. Из геометрических соображений следует уравнение кинематической !93 7 в. в. вуховвее в дв. связи между ускорениями стержни и клина: а!5=15 а. Решая уравнения, получаем т15за т15а М+т15за ' М+т15за ~' 94.
Единственной силой, действующей на бусинку, является сила реакции стержня У, которая направлена перпендикулярно стержню. Абсолютное ускорение м, бусинки (ускорение относительно неподвижного наблюдателя) будет направлено в сторону действня силы реакции У. Относительное ускорение м направлено вдоль стержня (рис. 314); «~а = а+«о. Из треугольника ускорений следует те=а сова, ш,=аз!па. На основания второго закона Ньютона сйла реакции, равна У=та з|п а.
Время движения бусинки по стержню т ойределяется из уравнения ! = (а соз сс)тз!2. Отсюда т = )г21!(а соз а). Рис. 3!4. Рис. 315. 95. Рассмотрим элемент нити, находящийся в щели. Пусть нить движется вниз. Тогда на элемент нити действуют силы натяжения нити с обеих сторон н сила трении (рнс. 315). Так как массой рассматриваемого кусочка нити мы пренебрегаем, то Т,— à — Т,=О. Уравнения динамики запишутся следующим образом: т й — Т,=т,а, т,(! — Т,= — т,а.
Отсюда (тг — тз) л — Р а т, +те 96. 1) Если г" ~ йтй, то бруски не будут двигаться. 2) Если йМа= р > йтй, то будет двигаться меньший брусок. 3) Если Г > йМ5, то бруски будут двигаться в разные стороны. (Предполагается, что пока действовалн силы г, трение отсутствовало.) 97. !) Если скорость вагона возрастает, картина будет скользить вдоль задней стенки вагона вниз с ускорением д — йа.(Если да > 5, то картина будет находиться в покое.) 2) Если скорость вагона убывает, картина будет двигаться вниз с ускорением 5 н вперед с ускорением а. 98.
По второму закону Ньютона (т, + те) а = т,й з)п а — т,й з(п 5 — Ать соз и — йтзд соз 5, Грузы окажутся на одном уровне после прохождения пути 8, удовлетворяющего следующим уравнениям: 8 з(п сг=й — 5 з1п р, 5=ать/2. Исключая 5 и о нз системы трех уравнений, получим тг ачз(з(п а+в1п 1))(й соз р+з)пр)+20 глз йтз(з!и а+зш р) (з!п а — й соз и) — 2Н ' хе+уз=бе = или (хз+ уз)з = (у/з/2)з (у — йх)з.
Учтем, что й < у/х, и обозначим А=у/з/4. Тогда хе+ уз = 2А (у — йх). Последнее уравнение можно записать в виде (х+йА)з+(у — А)а=Аз(!+уз). йз(ар) Рис. 316. — / у/з ~ лто — уравнение окружности радиуса /1 =А У)+уз= ~ — ~ )/1+а 4 / у/з с центром, лежащим ниже точки О на А= — и левее вертикали 4 на йА =Фу/з/4. По другую сторону вертикали геометрическое место искомых точек составляет аналогичйую дугу. !00. Уравнения движения дают для ускорения камня следующие выражения: а,=у(з1п а+а сов п) прн дввжении вверх, а =у(зшя — й созп) при движении вниз.
Кинематнческне уравнения запишутся следующим образом~ 1=не/, — аг/г/2, 1= аз/з/2, о,— аА =О. Из зтих пяти уравнений находим 01',сова . 0/аз!пгх — 1 ! 01. Тележка первоначально движется равнозамедленно. Ско. ость тележки равна о=ее — (//М)1, где/ — сила трения, равная йту. ело движется равноускоренно. Скорость тела и=(//лг)1. Если уч 195 99. Рассмотрим желоб, составляющий произвольный угол н с вертикалью (рис. 316). если й < с!я ю, то путь, пройденный песчинкой, Я=а/з/2, где а=у(созю— — йзшю).
Координаты песчнн- /) кя: х=оа!п О, у=о созф. Ог сюда тележка длинная, то скорости тела и телажки могут сравняться. Это произойдет в момент времени т=оз/(//т+//М). После этого и тело, и тележка начнут двигаться с постоянной скоростью, равной Мо /(М+т). Тележка к этому моменту времени пройдет путь 5 = = озт — (//2М)т'„а тело — путь з=(//2т) тз. Путь, пройденный телом относительно тележки, равен 8 — з.
Этот путь должен быть меньше 1. Таким образом, тело не покинет тележку при условии Я вЂ” а ~1, т. е. Мое 2яя (М+т) 102. Если Р~я(т+М)я, движения нет. Пусть Р > я(т+М)я. Исследуем случай отсутствия скольжения тела по бруску. Уравнения движения при этом будут иэыть вид та=/, Ма=-Р— / — Я(т+М)ЬЧ /~йтд. Отсюда Р т+М что возможно, если Ь (т+ М) й < Р < 2Ь (т+ М) я. Если же Р > 2Ь (т+М) й, то тело будет скользить по бруску. В этом случае уравнения движения имеют вид та=ятд, МЬ=Р— Ьтй — Ь(М+т)я, откуда а=ля, Ь= — — Ь Р (2т+ М) М М К. Легко убедиться в том, что Ь > а.
103. Уравнения движения бруска н тела имеют вид (1) '(2) где / — сила трения, а и Ь вЂ” ускорения. Предположим, что проскальзывания нет, тогда а=Ь. Из уравнений движения можно определить ускорение и силу трения. Сила трения /=тР/(М+т). Чтобы не было проскальзывания, сила трения должна удовлетворять неравенству /<Ьтя, т. е. Р/(М+т)е Ья. Если Р > й(М+т)я, то возникает скольжение. Уравнения (1) и (2) в этом случае примут вид та = йта, МЬ = Р— Ьтй, Из этих уравнений находим а и Ь: а=Яд, Ь=(Р— йтя)/М. Очевидно, что Ь > а. Ускорение тела относительно бруска будет направлено в сторону, противоположную движению, и по величине равно (Р— йтя)/М вЂ” Ья.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
