1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, чем выше находится человек, тем большее значение будет иметь сила М,. Но Р р —— Мм Поэтому и сила трения, удерживающая лестницу, растет по мере (ого, как чело- х. век поднимается вверх. Когда Р-р достигнет своего максимального значения, равного йР, лестница гу начнет скользить.
144. При равновесии сумма сил, действующих на ка тину (рис. 338), равна нулю. Следовательно, Рис. 338. Р=р,р+Т сова, М=Т вша. Сила трения должна удовлетворять неравенству Р р~йМ или й)Рт /М. Равенство моментов относительно точки В дает уравнение Р— ! з!псз=Т(! сова+ у~аз — !аз!па а) з!пге. 2 ! ~2$Р— ое Ф !зша й) ! соз а+ 2 $г лз — Н зш' а !з1па 145.
Найдем первоначально направление силы у, с которой стержень ВС действует на стержень С!9. Предяоложим, что у этой силы имеется вертикальная составляющая, направленная вверх. Тогда по третьему закону Ньютона стержень С!У действует нз стержень ВС с силой, у которой вертикальная составляющая направлена вниз. Однако это противоречит симметрии задачи. Следовательно, вертикальная составляющая силы ! должнз быть равнз нулю.
Сила. действующая на стержень СВ со стороны стержня хуЕ, будет иметь и а/ Рис. 339. горизонтзльную и вертикальную составляющие, кзк указано на рис. 339, а. Из равенства нулю- всех сил, действуинцих нз СР, следует, что Е=юл и ! !'. Равенство нулю момента снл относительно !У дает уз!п ф СО=тйС!у(сов Я!2, или 1911=щи(2у, На рис. 339,б изображены силы, действующие на стержень ВЕ. Из условия равенства нулю момента сил относительно Е вытекает соз а Зюя /з1па !УЕ=Есозгз 0Е+тй — ВЕ, или 1нм= —. 2 2! следовательно, 19 и = 3 19 3. 149.
Действующие на ящик силы изображены на рис. 340.,Условия равновесия имеют внд (! сов а=Г р и Р=й!+айяша. В момент' нарушения равновесия сила трения достигает максимальной величины Е, =Ай!. Отсюда Я=ЙР!(сов и+ймпм)..Величина Ц будет минимальной при значении угла а, соответствующем максимуму знаменателя дроби. Дли нахождения максимума преобразуем знаменатель, введя вместо й новую величину ~р, так что 1н ~р =й. Тогда соз а+9 з!и и= соз !и — 9)!соз 9, нли соз а+/г сйп а = 290 = г' 1+йх сов(а — р). Так как максимальное значение соз(а-~р) равно 1, то Я ! =вР/У!+да. Отсюда 2=О/ДГРс — С)с=0 75. 147.
Силы, действующие из цилиндр, изображены на рис. 341. Так как цилиндр поступательно не движется, то Р р — Рсоза=О, Ряпсс — та+3/=О. Сила тренвя Р.„р —- йл/. Отсюда Р=йяй/(сова+2 яп а). Знамена. тель итого выражения можно представить в 'виде А яп (а+ср), где А= РТ+йз. Следовательно, минимальная сила, с которой нужно Рис. 340. Рис. 341. тянуть нить, Ряса=дар/)/Т-(-йз. Угол а, найдется из уравнения соз а, + й ми а, = Р Т+ йс, откуда 1ц а, = й. 148. Силы, действующие на поршень и заднюю крышку цилиндра, равны Рс=Рс=р3 (рис.
342, и). Йа точку колеса А в горизонтальном направлении действуег также сила Р,, передаваемая от поршня через кривошипно-шатунный. механизм.- Сумма моментов снл, действующих на колесо, относительно его оси равна нулю. (Массой колеса мы пренебрегаем.) Следовательно, Ртр/7= Р,г, где Ртр — сила трения. Так как сумма сил, действующих Ря а/ ф Ряс. 342. на колесо, также равна нулю, то сила Рз, действующая на ось со стороны подшипников паровоза, равна Рз — — Ртр+Р,. По третьему закону Ньютона иа паровоз со стороны оси действует сила Рс=Рз. Слшсо!йвтельио, сила тяги Р=Є— Р,=Рта —— РЗг/Р. Во втором положении поршня н крйвошнпно-шатунного механизма интересующие нас силы изображены на рнс.
342, б. Ртр — — Рзг//с по тем же соображениям, что и в предыдущем случае. Сйла тяги Р=Рч — Рс=Ртр — — РЗг//7. Как и следовало ожяцатсь сила тяги равна силе трейия, ибо сила трения †единственн внешняя сила, действующая на паровоз, 21! 149. Наибольшая длина выступающей части самого верхнего кнрпича равна 1!2.
Центр тяжести двух верхних кирпичей Сз находится на расстоянии 1!4 от края второго кирпича (рис. 343). Следовательно, на зту длину второй кирпич может быть выдвинут относительно третьего. Центр тяжести трех верхних кирпичей 7 Сз определяется равенством моментов сил тяжести относительно Сз: Р(В2 — х) =2рх.
Лз Отсюда я=176, т. е. третий кирпич может выступать над четвертым не более чем на 1/6. Аналогично можно найти, что четвертый кирпич выступает над пятым на 1/8, и Рис. 343. т. д. Характер изыенения длины выступающей части с увеличением числа кирпичей очевиден.
Максимальное расстояние, на которое правый край верхнего кирпича может выступать над правым краем кирпича, служащего основанием, записывается в виде ряда При неограниченном увеличении числа кирпичей зта сумма стремится к бесконечности. Действительно, сумма ряда 1 ! 1 1 1 1 1 '+ †+ †+ †+ †+ †" 2 3 4 5 6 7 8 больше суммы ряда !!3 !!2 1 ! 1 1 1 1 1, 1+ — + — + — + — + — + — + — '+ .. 2 4 4 8 8 8 8 а зта последняя сумма заведомо бесконечно велика в случае бесконечного числа членов.
Центр тяжести всех кирпичей проходит через правый край самого нижнего кирпича. Равновесие будет неустойчивым. (Данная картина имела бы местб в случае, если бы Земля была плоской.) 130. В окружность радиуса г впишем правильный многоугольник (рис. 344). Найдем далее момент (относительно оси АК) сил тяжести, приложенных к серединам сторон многоугольника АВ, ВС, С0, 72Е н т, д., считая, что сила тяжести действует перпенднкулярно чертежу.
Этот момент равен рй (АВх,+ВСхз+С(зхз+(7Ехз+Егхз+ЕКхз), где р — масса единицы длины проволоки. Рассматривая подобие соответствующих треугольников, можно показать, что произведения АВх,, ВСхю С()хз и т. д. равны соответственно АВ'И, В'С'И, С'17'И и т. д., где И вЂ” апофема многоугольника.
Таким образом, момент равен рйИ ( А В'+ В'С'+ С'0'+ 77'Е'+ Е'Е' + Е'К) = рдИ2г. Если число сторон безгранично возрастает, то величина И стремитря 2!2 к г, а момент — и 2гзрл. С другой стороны, момент равен произведению силы тяжести проволоки пгря на расстояние х центра тяжести от оси АК. Итак, 2гзря=пгрях, откуда к=2г)п. ч". Ю -3-- су — -" т- шла б' —— Ъ % лл 1 Ю 1 хх ! ш I лз I l Š— — — — — - л / Лу г ,л' /Г Рис. 344. 151. Разбиваем полукруг на треугольники и сегменты, как показано на рис.
345. Центр тяжести треугольника лежит, как известно. на пересечении медиан. В данном случае центр тяжести каждого треугольника находится на РасстоЯнин з)зл от точки О (Л вЂ” апофема). Прн безграничном увеличении числа сторон центры тяжести треугольников будут лежать на окружности радиуса з/зг, а площади сегментов будут стремиться к нулю. Таким образом, хх задача сводится к тому, чтобы оп- Рис.
345. ределнть центр тяжести полуокружиостн радиуса з1зг. Из решения задачи 150 следует, что х— расстояние центра тяжести полукруга от точки Π†равняет 22 4' х= — — г= — г. пЗ Зп 152. Применяя метод, изложенный в решении задач 150 и 151, можно показать, что центр тяжести находится в точке С, располо- 2 яп (гх/2) женной на расстоянии СО= г от центра кривизны дуги (см. рис.
59). 153. Используя решения задач !50, 151, 152, можно показать, что центр тяжести находится в точке С, отстоящей от точки О на 4 з!п(сс)2) расстояние СО=— 3 154. При определении положения центра тяжести пластинку с вырезом формально можно рассматривать как сплошную, если 213 считать, что яа иее иалщкеи полукруг отрвцательиой массы, равной по величиие массе вырезаемой части. Момент сил тяжести положительной и отрикательиой масс отвосительио оси АВ равен зг пгз 4 ! 1 рд(2гз — — — г != — гэру, 2 2 Зя,/ 3 есля сила тяжести действует перпендикулярно чертежу, Р— масса едивицы площади пластинки (см. решение задачи 151). С другой стороны, этот момент равен произведению силы тяжести пластинки яа расстояние х=ОС от центра ее тяжести до оси АВ.
Следовп- 1 2 тельно, хря(2гз — ягз12)= — г'ру. Отсюда к= 3 3 (4 — я) $7. Работа и энергия 165. Работа силы ке зависит от массы того тела,"ва которое действует данная сила Сила в 30 Н совершит работу А=РЛ=!50 Дж. Зта работа пойдет ви увеличение потепцивльиой энергии'(50 Дж) и квяетичесхой эяергии (100 Дж) груза.
166. Прежде всего нужно взйтя силу давления воздуха иа одно из полушарий. Представим себе, что его основание закрыто плоской крышкой — диском радиуса В. Тогда, если из получившегося сосуда откачать воздух, сила давлеиия иа плоскую крышку будет Р,= РЗ = =ля)тз. Очевидио, такова же будет и сила давлевия воздуха на полушарие. В противвом случае силы взаимио ие уравновесятся и сосуд должен будет вечяо дввгаться в сторону, большей сялы.
Число лошадей должно быть равно Р,/Р, так как другое. полушарие может быть просто привязано к столбу. Натяиутая веревка. создаст тапио такую же силу, как и упряжка лошадей, тянущая с другой стороны. 167. Изменение количества движения тели равно импульсу силы тяжести. Так как силы, действующие ва камень и Землю, равны и действуют цхияаковое время, то равны я измеяеяия количества двяжеиия этих тел. Измеяепие киветической зкергяв тела равно работе сил тяготеиия. Силы равны, по луги, пройдеииые камнем и Землей, обратио пропорциональны их массам. Именно поэтому заков сохранеиия эиергии можно записать в форме, ие учитывающей изменения кииетической энергии Земли: тоз/2+йт=сопз(, где и-масса камня, а яу — потевциальвая эиергия взаимодействия.
166. По закону сохранения эяергии т,йй=тзф2, где ш,— масса копра, Л вЂ высо падеиия копра, из †скорос копра перед ударом. Ввиду краткрзремевиости удара сила сопротивлеиия ие может заметио изменить общего количества движения системы. Так как удар иеупругий, то т,з,=(т,+ш,)э„ где и, †мас сваи, скорость копра и сваи в первый момент после удара. Механическая зиергия копра и сваи расходуется иа работу против свлы сопротивлеиия грунта Р: (т,+тз) оз +(из+ шз)6З=ГЯ, где 8 — глубина погружения сваи в грунт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
