1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(т+ М) з з!п' а+ Мс сов с а Наконец, если ос — начальная скорость относительно ствола пушки и задан угол наклона вектора начальной скорости относительно земли (начальный угол траектории), то о, =о и а =у. Тогда о, соз у (т+ М)' созе у+ Мс шп' у т ц, сова. (т-(- М)' соз' а-)- Мс з!па а Во всех случаях знак минус означает, что пушка откатится в сторону, противоположную движению снаряда. ф 6. Статнка . !22. Рассмотрим часть нити, прилегающую к цилиндру. Разобьем угол О на большое число л частей н обозначим О/л =а. Представим нить как л связанных между собой кусочков н выделим /-й кусочек (рис.
322). На него действуют соседние части нити с силамн Т/ н г Т/ь„ реакция цилиндра сУ/ и сила трения й/у/. учтя, что угол а мал, полу- Т ~ч чнм следующие уравнения равновесия: Т/„— Т вЂ” й///=О, лс/ — Т а/2 — Т/ьса/2=0. Отсюда Т/+с — — Т/(1+да), т. е. Т, = Тз (1+ йа), Тс = Т, (1 + йсс), 7 и = Тп -с (1+ да). Рис. 322. Следовательно, Т„=Те (1+ да)з = Те (! -(-АО/л)з, и при л - оь получим Т = 1пп Т„= Нш Т, П + йй/л)з = Т,ее а, И т Л Ф где е=2,7!323... — основание натуральных логарнфмов. 123. В положении равновесия (рис.
323) тй — 2тй соз а = О. Следовательно, а = 60'. Искомое расстояние 6 =1 с!й сс =!/ )' 3. Равновесие установится после того, как затухнут колебания, возникающие прн опускании груза. 124. Равенство проекций снл на направление вертякали (рис. 324) приводит к уравнению 2сУ з!и (а/2) — 2г.т соз (а/2) =О, Рнс. 323 Рис. 324. 125. Если груз Р опустится на высоту 5, то точка К опустится на Чзй. Груз !с при этом поднимается на ~/зд. Применяя «золотое» пРавйло механики, имеем Рл=(ез(зй.
Отсюда Р=з(з(С. 126. Если ящик не опрокидывается, то момент силы Р, вращающий его против часовой стрелки вокруг ребра при основании, меньше или равен моменту силы тяжести, вращающему ящик по часовой стрелке. Чтобы ящик скользил, сила Р должна быть больше максимальной силы трения, приложенной к ящику. Следовательно, Рдв тд!(2, Р)йтй, Отсюда й~((25. 127. Для поворота балки необходимо, чтобы момент сил, приложенных к концам балки, был больше момента сил трения, когда эти силы достигают своего максимального значении.
Силы трения распределены равномерно вдоль балки (рнс. 325). Среднее плечо сил Рис. 325. трения, действующих на левую или правую часть балки, равно (74, если длину всей балки обозначить через !. Момент всех сил трения относительно центра балки равен 2(йР(2)((/4). Следовательно, для поворота балки необходимо, чтобы приложенные силы Р удовлетворяли неравенству 2Р!!2 > йР((4. Отсюда Р > аР(4.
Для поступательного перемещения балки необходимо, чтобы 2Р > йР. Следовательно, балку легче повернуть. 125. Уравнение движения груза имеет вид Рэа(я= Р— Р, (рис. 325). Сумма сил, действующих на кран по вертикали, равна нулю. Поэтому Р, + Р,= Р+Р. Равенство нулю суммы моментов сил относительно точки А дает уравнение Р(+ Р5(2=(.Рз.
Решая данную систему уравнений, найдем Р, ш 2,23 !Оз Н, Р, ш 1,77 !Оз Н. 204 где й( †си нормального давления, а Р р~ йй( †си трения. (Массой клина обычно можно пренебречь.) Следовательно, 15 (а(2)~й и ге~2агс155. 129г Для равновесия рычага приложенная к точке (У сила должна создать момент„равный Р.АВ. Сила будет минимальной прн максимальном плече, равном В)у. Следовательно, Р=Р.АВ7ВО= = Р7 )' 2 и направлена перпендикулярно В!У. 130.
Если трение между полом и ящиками отсутствует, то ящики сдвинутся одновременно. Если же коэффициент трения не равен нулю, то раньше сдвинется правый ящик (см. рис. 49), так как сила, приложенная к нему со стороны палки, будет больше, чем сила, приложенная к левому ящику. Действительно, со стороны правого ящика на палку действует сила Р„ направленная против Р, а со стороны левого ящика †си Р„ направленная по Р. Сумма ис. 327. Рис. 326.
сил при равновесии равна нулю. Следовательно, Р, =Р+Р, и сила Р, раньше, чем Р,, достигнет значения максимальной силы трения покоя. И1. Равенство нулю суммы моментов сил, действующих на шар, относительно точки А (рис. 327) приводит к уравнению Р; )7 — Л'!7 =0 Так как Р р~йй, то й) !. 132. Для того чтобы тело находилось в покое, необходимо, чтобы суммарный момент сил, стремящийся повернуть тело но часовой стрелке, был равен моменту сил, стремящемуся повернуть тело против часовой стрелки вокруг какой-либо точки (например, вокруг центра тяжести).
В данном случае момент сил трения, вращающий кирпич по часовой стрелке, должен быть равен моменту сил давления плоскости на кирпич. Отсюда следует, что сила давления плоскости на правую часть кирпича должна быть беляше, чем на левую. По третьему закону Ньютона и сила давления правой половины кирпича на плоскость должна быть больше силы давления левой. 133, Для того чтобы каток поднялся иа ступеньку, необходимо, чтобы момент сил, вращающих каток вокруг точки А (рис. 328) против часовой стрелки, был бы по крайней мере равен моменту сил, вращающих его по часовой стрелке: г [е — е=г Гг'-м-ьг. Отсюда Ь=(2 х Зг 2))г!2. Так как в < )7, то й=(! — $'"2!2) В ш 0,290.
206 !34. Так как на одной нз плоскостей сила трения равна нулю, то она равна нулю и на другой плоскости. В прбтивном случае шар вращался бы вокруг своего центра, ибо момент всех остальных снл относительно этого центра равен нулю (ввиду равенства нулю плеча каждой нэ этих сил относительно центра шара). Суммы проекций Рис.
328. Рис. 329. сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю (рнс. 329). Поэтому М, соз аэ — Мз соз а, =О, Р— М, яп а,— М, яп ат.=О, где Мз и М,— искомые силы давления. Отсюда Р Р Мз= Мз= япа,-(-созаэ.1йа,' ыпаг+созиз (яа,' 135. Обозначим через Р силу, приложенную к одной ручке. Из-за действия сялы Р произойдет поворот ящика, вследствие чего возникнут в точках. А и В упругие силы М, и Мз (рис. 330), дей-- ствующие иа ящик со стороны шкафа. Эти приложенные к ящику . Ю Рис.
331. Рис. 330. силы Равны дРУг дРУгУ: М,=Мз=М. Из УсловиЯ Равенства нУлю момента всех действующих сил относительно центра ящика С следует, что М=Р1!2а. Ящик может быть выдвинут, если приложен- 206 ная сила Р болыпе максимальной силы трения покоя: Р > /,+/, = =2дй/. Для того чтобы последнее неравенство выполнялось, необходимо, чтобы д < а/1. 136. Доска, отклоненная на угол а от горизонтального положения на шероховатом бревне, аналогична телу, удерживаемому силами трения иа наклонной плоскости с углом при основании а. Понтону при равновесии Р р — — тй тп сл. Учитывая, что Ртр ~ /лтл соз а, имеем 1д а ~ й. !37. Силы, приложенные к лестнице, изображены на рис.
331. В случае равновесия суммы проекций сил вдоль вертикали и горизонтали равны нулю. Следовательно, /Ул=Р р, /Ул=тд. Равенство нулю суммы моментов сил относительно точки В дает еще одно уравнение: Фл соз а =(ялл ып а)/2. Отсюда Ртр — — (тй 13сл)/2. Так как сила треняя удовлетворяет неравенству Р р~ йс/з, то для равновесия получаем следующее необходимое и достаточное условие: 1да~йй. 133. Приложенные к лестнице силы изображены на рис. 332. Из условия равенства нулю суммы сил и суммы моментов сил имеем /+д/л=тд, (1) Д'л =Ртр (2) / з1п а+Мл соз а=(тд з!и а)/2. (3) Силы трения / и Р р удовлетворяют неравенствам /~йй/л и Р р~ДМз. Используя первое неравенство и уравнения (1) и (3), йолучаем с(бааз/з/2з/л — й/2.
Так как й)Д/л/Д/„то с13арв(1 — й')/2Ь ВведЯ обозначение 9=13(3, данному неравенству можно придать более удобную для вычислений форму: с1ц а ) с(и 23, или а ~ 2(3. Рис. 332. Рис. 333. 139. Если в момент, когда конец палочни В начнет приподниматься, значение силы трения Р ~ЙЧ окажется достаточным для того, чтобы конец А не проскальзйзал, то.палочка начнет вращаться вокруг точки А.
В противном случае конец А начнет снользить до тех пор, пока сила трения Ртр — — ЬЧ не окажется способной удержать 207 палочку в равновесии (рнс. 333). После этого палочка начнет вращаться вокруг конца Я. Найдем, какие значения должен иметь коэффициент трения й, чтобы скольжение прекратилось при определенном угле а между палочкой и нитью. Равенство сил в момент, когда палочка почти горизонтальна, приводит к уравнениям Рта — — Т соз а, .
Р = М+ Т шп гх. Равенство моментов сил относительно точки А запишется следующим образом: РЦ2=71 з!псе. Используя данную систему уравнений, найдем й — Рта/М вЂ” с(к м. Зля того чтобы палочка вообще не начала скользить, необходимо, чтобы 5~с!560'=1! 3~ 3. 140. Сумма моментов сил, действующих на человека относительно его центра тяжести, равна йулю. Поэтому сила Р, действующая со стороны земли, обязательно направлена к центру тяжести человека С (рис.
334). Горизонтальная составляющая этой силы не может быть бОЛЬШЕ МаКСНМаЛЬНОй СИЛЫ трЕНИя ПОКОЯ: Ра!!тССч~йРСОЗСГ. ОтСЮ- да й'3=!йа. Рис. 335, Рис. 334. 141. На лестницу действуют сила тяжести Р, сила Р со стороны земли и реакция опоры М. Так как стена гладкая, сила М (рис.
335) перпендикулярна ей. Направление силы Р проще всего определить, если найти точку, относительно которой моменты сил Р и М равны нулю. Такой точкой будет точка пересечения прямых ОМ и ОР. Тогда и момент сцлы Р относительно этой точки тоже должен быть равен нулю.
Счедовательно, сила должна быть направлена таким образом, чтобы ее продолжение прошло через точку О. Как вытекает из рис. 335, направление силы Р составляет с лестницей угол ()=30' — агс!5(1/2 )г 3)-ш 14'10'. Сила, действующая йа лестницу со стороны земли, будет направлена вдоль лестницы только в том случае, если все остальные силы будут приложены к центру масс лестницы или же будут действовать вдоль нее. 142. Лестницу нельзя удержать от падения с помощью веревки, привязанной к ее середине.
Моменты сил реакции пола и стены, а также момент силы натяжения веревки относительно точки О равны нулю при любом натяжении Т (рис. 336). Момент силы тяжести относительно той же точки отличен от нуля. Поэтому лестница обязательно упадет. Р Р Рис. 337. Рис. 336. 143. Со стороны стены на лестницу действует реакция Мм перпендикулярная стене. На нижний конец лестницы действуют силы М, ( еакция опоры) и Р р (сила трения) (рис. 337). Р сли для простоты йе учитывать массу лестницы, то кроме этих сил. на нее действует еще вес человека Р. Равенство проекций сил по горизон- тали и вертикали дает Мз — — Р и Мт= Ртр Пусть вначале человек находится в нижней части лестницы (точка А). Равенство моментов сил относительно точки О приводит н уравнению М,СВ= = Р сов ге АО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
