1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Воспользовавшись формулой 1к (() — ф) =(12 р — 1в фй1 +!К () 1К ф), придем к уравнению йЧ* — Зд(оа з!им)1+2ое=О. Отсюда 1= — е ~3 з!пи ~ Рг! — 9 созт п~. 2я Это выражение имеет смысл (лает два разных илн одинаковых действительных значения 1) лишь прн сова~~ !/3. 48. Путь 3, пройденный бомбой по горизонтальному направлению, равен 5= и' )з — Н'=(п сов а) 1, где 1 — время падения бомбы. Пройденный по вертинали путь Н =(и з!и а) 1+5)з/2 (рис.
294), Исключив время из этих уравнений, находим: оз / l оз Уз 2Ноз 1дсг= — — ш — + — — ! . ч.ч р' ( йя) чч.чз Имеет смысл решение со знаком плюс. Знаку минус соответствует а < О, т. е. случай сбрасывания бомбы в момент, когда самолет летит вверх. Рнс. 295. Рис. 294. 49. Решенне задачи значительно упростится, если оси координат направить вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней (рис.
295). Тогда проекции ускорения шарика нз оси х и р будут соответственно равны а„.=л„.=я з!па, аи=ли —— — я сова. Скорость шарика в момент первого соударепия с наклонной плоскостью будет равна о,= р ай. Начальная скорость шарика после первого соударення равна о, н образует с осью у угол а (рис. 295). Расстояние между точками первого и второго соударений шарика с плоскостью равно (йз!па)тз, 1т = (оз з!и и) тт+ где 1,— время полета. Это время определяется уравнением (оз соз а) 1з — (у соз а) 1112 = О.
Отсюда 1,=2рз)у и 1,=83 япа. Скорость шарика в момент второго соударения определяется равенствами о,»=оз»+и 1,=оэ япа+(у япа)1,=3о, з!па, э!р=озр+от!1=от соз а — (усов а)1,= — о, соз сз. После окончания процесса соударения эти скорости равны "з»=оз» "зр= о~р. Расстояние между точками второго и третьего соударений равно 1, = (Зэ, з(п а) 1э+ (у з!и а) 1,12, где !э в время полета. Так как начальная скорость вдоль оси у та же, что и при первом соударении, то 1,= 1,. Поэтому 1,= !баяна.
Аналогично можно показать, что расстояние между следующими точками !э=246 яп а. Следовательно, отношение 1,:1,:1з... = 1:2:3... 30. Составляющие сноростей тел вдоль х и у в любой момент времени определяются так: о,р — — о, яп а, — у1, оэр — — оз яп а,— у1, о㻠— вз соз ам о,„= — оз соз а,. Пусть и †скорос первого тела относительно второго. !'огда ир — э, яп а,— 81 — э, яп ат+у1=оз(з!па,— з!п а ), и„=оз(соз а,+ сов аз).
Следовательно, скорость и равна а,+а, и=к и»э+иэ=2р,соз 2 Тела движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. По прошествии времейи т расстояние между ними будет аз аз 5=2 (сэ соз ' ~) т. 2 31. Скорость любого камня при подлете к земле о = )гЯ+283. Камень, подлетевший по наиболее пологой траектории, имеет наибольшую горизонтальную скорость. Но последняя равна вз э рязз — -в, Поэтому сов ц=эз)Р рз-)-2уй. Отсюда й= — !беар.
28 б2. Первый шарик отражается от пола, имея вертинальпую составляющую скорости о = р»2ул. Его вертикальная координата у,=оз1 — угз12, в то время как вертикальная координата второго шарика уе =й †81~. В момент встречи у,=уз. Отсюда следует, что шарики встретились на высоте 0,75Д. бб. Из решения задачи 43 следует, что снаряд не попадает в точку, расположенную на высоте у, если расстояние по горизон- тали от втой точки до пушки , > "з )/ оз-26р К Следовательно, граница «опасной зоны» определяется уравнением оо й у — гз 2д 2изз Сечение такой поверхности (параболонда) представляет собой параболу, которая совпадает с траекторией снаряда, выпущенного со скоростью оз горизонтально из пушки, установленной на высоте Н = озо/2я.
64. 1) Обозначим через /.=ла длину гусенвцы. Тогда = (1. — 2п/7)/2 в расстояние между осями колес. В поступательном движении участвуют л,= 1/а=(й — 2п/1)/2а звеньев. Такое же число звеньев находится в покое относительно земли. Во вращательном движении участвуют лз=2п/1/а звеньев. 2) Время движения трактора 1з =8/о. За полный оборот гусеницы звено пройдет поступательно путь 21, двигаясь со скоростью 2о. Время поступательного движения звена за один оборот 1/о.
Всего гусеница сделает У=Я/й оборотов. Следовательно, время поступательного движения звена 1,= Н//о. Столько же времени звено покоится. Звено будет участвовать во вращательном движении в течение времени 2Н/ 8+2пКФ вЂ” Д/(. о 2о При условии 5)> й можно считать число оборотов целым, пренебре. гая временем неполного оборота гусеницы. 65. Обозначим искомый радиус через /1 и угловую скорость движения Г Г Г лг. Рис. 296. Рис. 297.
трактора по дуге через ю. Тогда о,=ю(/1 — Ф2), оз — — ы(/1+й/2) (рис. 296). Отсюда иг /7 — б/2 б па+ оь /6= — — =бм. оо К+И/2 2 оз — о1 66. Первоначально наблюдатель находится на полюсе (точка О, рнс. 297). Земная ось проходит через точку О перпендикулврно ай! чертезку. ОА (параллельиое ВС) — направление на звезду. Гора находится справа от точни А.
и=в йг' — угол, на который повернется земной шар за время цг, ю — угловая скорость вращения Земли. Чтобы видеть звезду, наблюдатель должен за это время пробежать расстояние ОС щ ОАю цг. Скорость наблюдателя о=ОС/цг'=ОАю = = 0,7 м!с. 87. !) За время полного оборота Т диск пройдет путь, равный длине окружности диска, т. е. 5=2пг, где г †ради диска Следовательно, поступательная скорость любой точки диска о„= 2яг)Т =э. С другой стороны, линейная скорость вращения относительно центра О точек, лежащих на ободе диска, равна оа =юг, где ю †углов скорость вращения. Так как и= 2я)Т, то эз=2яг(Т =эа, что и требовалось доказать.
2) Скорость точек обода относительно неподвижного наблюдателя складывается из двух скоростей: скорости поступательного и скорости вращательного движений. Для точки А суммарная скорость будет равна 2о. Для точек В и О суммируемые скорости равны по абсолютной величине, и их сумма составляет Эг 2э (рис. 298, а). Для Рис.
298. точки С суммарная скорость относительно неподвижного наблюдателя равна нулю, так как скорости поступательного движения и вращательного движения равны по абсолютной величине к направлены в противоположные стороны. 3) Мгновенные скорости точек диаметра АС возрастают прямо пропорционально расстоянию от точки С. Поэтому движение диска в данный момент времени можно рассматривать как вращение вокруг точки соприкосновения диска с плоскостью. Ось, проходящая через точку С перпендикулярно плоскости диска, носит название мгновенной оси вращения. Она перемещается при хвнжении диска, проходя все время через точку соприкосновения диска с плоскостью. Следовательно, в данный момент времени все точки диска, отстоящие от точки С ва одно и то же расстояние, будут иметь одинаковую суммарную скорость относительно неподвижного наблюдателя.
Тонни, находящиеся на расстоянии радиуса диска от мгновенной оси (от точки С), будут иметь ту же по абсолютной величине скорость, что и скорость оси, т. е. о (рис. 298, б). 88. Составляющая скорости вдоль палочки для всех точек палочки одинакова н равна и =и сова. Следовательно, скорость конца палочки В равна ил=псов ц7соз(э. Движение палочки можно рассматривать как поступательное движение вдоль АВ со скоростью и 382 и одновременное вращение вокруг оси, перпендякулярной плоскости чертежа и проходящей через некоторую точку 0 палочки.
Расстояние точки 0 от конца палочки А легко определить из соотношения осоаи169 ! — АО 1йа — А0=1 — - —, о шп а АО ' 16 сс+1ц() ' движение палочки в данный момент времени можно также рассматривать как чистое вращение вокруг оси 0', перпендикулярной плоскости чертежа и расположенной на перпендикуляре 00' к АВ.
Расстоя. ние 00' равно 00'=АОс!да=( 1 !ам+16() ' 69. Распределение скоростей различных точек палочки показано на рнс. 299. Скорость ос произвольной точки С палочки по величине равна А СОа — оз созе я„(„оз з11гз ю АОа и направлена перпендикулярно прямой, проведенной наточки 0' (см. предыдущую задачу) в дан- Рис.
299. ную точку С. 66. ос=он соз 60'=о/2. 61. Удобнее всего решать эту задачу в системе отсчета, связанной с равномерно движущимися автомобилями. В этой системе дорога движется назад со скоростью о=50 км!ч, автомашины находятся в покое друг относительно друга, а их колеса вращаются. Линейная скорость точек на окружности колеса и линейная скорость зажатого камня также равны и.
Камень пролетит наибольшее расстояние, если он вырвется в момент, когда его скорость составляет с горизонтом угол 45'. Найдем это расстояние. Пренебрегая тем обстоятельством, что в момент вылета камень находится несколько выше уровня шоссе, получим 1=оз шп 2ц/й=оз16=19,6 м. Расстояние между машинами должно быть не меньше 19,6 и. 62. Угол между соседними спицами переднего колеса равен ф=2п!Мп Колесо бчдег казаться зрителю невращающимся, если за время между съемками двух соседних кадров (т=!124 с) колесо повернется на угол а = Ьр, где й — целое положительное число. С другой стороны, угол поворота колеса за время т равен ге=аз, где ы — углован скорость колеса.
Следовательно, переднее колесо будет казаться невращающнмся, если ш= 2пй1М,т. При этом скорость повозки о=мг=2лйг/Ф,т. Она будет иметь наименьшее значеане о„,1в=2нг!Д1,т=8,8 м1с. Задние колеса также будут казаться невращающимнся, если 2пй,г))Угт=2яйг!1!ДГзт. Отсюда при й,= й,=! дгз= ДГг!1!г=9. 63. 1) Спицы кажутся вращающимися против часовой стрелки, если за время т (см, задачу 62) колесо повернется на угол ()и удовлетворяющий условию Ьр > (3, > Ьр — ф/2, где я =1, 2, 3, ... Последовательные положения спиц колеса для данного случая изображены и р (2А — 1) ~р — >ы, > т 2т Так как число спиц передних и задних колес одинаково, то для ю з' а/ Рис.
300. того, чтобы колеса казались вращающимися против часовой стрелки, скорость повозки должна удовлетворять неравенствам ляк Ьрг ~рг — >о> —— т т 2т' д р/7 д р/7 0/7 — > о > — — —. т т 2т' (2) )7=1,5г, поэтому второе неравенство можно переписать следующим образом: Ьрг 1,5Ьрг 1,Ьрг 1,5 — > о > т 2т' Оба неравенства, совместимые лишь при 2=1, дают значения скорости повозки в виде ~рг/т > о > 0,75~рг/т, <р = 2п/6, 8,8 м/с > о > 6,6 м/с. 2) Спицы заднего нолеса будут казаться вращающ совой стрелке, если за время т колесо повернется на летвоРЯющий Условию (2Д вЂ” 1) <Р/2 > Вз > (й — 1) гР (Рис сюда для скорости повозки вытекает йерзвенство 1,5 >о> (2Д вЂ” 1) ~рг 1,5 (А — ! ) ~рг Одновременно должно быть удовлетворено неравенство оба неравенства совместимы, если 0,75 ~рг/т > о > 0,5 у они совместимы прн условии 2юг/т > о > 1,Ьрг/т.
Е неравенства несовместимы. Следовательно, 6,6 м/с > о 17,6 м/с > о > 14,2 м/с. на рис. 300, а, Зрителю кажется, что каждая спица повернулась иа угол гз < ~р/2 против часовой стрелки. Возможные значения угловой скорости заключены соответственно в интервале 64. Через точку С (рис. 301) проходит мгновенная ось вращения (см, задачу 5!). Поэтому точка А имеет скорость, равную од = о ()с+г)(г. Точка В имеет скорость ив = о ( — г)!г 65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
