1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отсюда Р = ° — тму+ тгя+злту щ 24 500 Н ш, Л ш,+шэ 3 214 169. В результате ыеупругого удара лынейная скорость ящика та с находюцейся я нем пулей в перный момент будет равна и=— М+т " где а — скорость пули. Угол отклонения и на основании закона сохранения энергии связан со скоростыа о соотыошением (М+т) из т'оз =(М+т)й(1 — сов и)я. Отсюда а М+е а = 2 тп — — у' Ед. 2 т тдаз/2 = йтгйг8» тза~/2= йтзйгЮз. Отсюда еа/за=2,/Зз, н, следовательно, 8 2 м. 161.
Обозначим через и скорость тела и тележки после прекращения их относительного движения. На основании закона сохранения количества движения (М+т) = М (1) Тележка леряет кинетическую энергию заиду того, что сила трения Г, действующая на тележку, совершает отрицательную работу: Моз/2— — Миз/2=15, где Я вЂ” путь, пройденный тележкой. Тело приобретает кинетическую энергию за 'счш' того, что сила треыия, действукнцая на тело, совершает положительную рабату: тиз/2 = уз.
Здесь з — путь, пройденный телом. Изменение кинетической энергия системы (М 1 2 ) 2 2 з ( ) 1 )(.с з) (2) как легко видеть, равняегсы силе трения, умноженыой на относительное перемещение тела вдоль тележки. Из уравнений (1) н (2) слетМаз тмизз дует, что Я вЂ” з= . Так как 5 — э~1, то 1~ Мав Учитывая, что )=дай, получаем ! ь 162. В результате сгорания второй порции топлива скорость а ракеты увеличится на величину Ло. По закону сохранения количества движения (так как сгорание пронсходит мгновенно) (М + т) з = М (з+ Ло) + т (о — и), где т — масса порции топлива, М вЂ” масса раиеты без топлива, и— скорость истечения газов относительно ракеты. Приращение скорости 160. Ввиду кратковременности взрыва внешние горизонтальные силы (силы треяия) не могут за время взрыва заметно изменить общего количества движения системы.
До взрыва ы сразу после него. оно остаегси равным нулю. Следовательно, етот+лгэоз=О. Отсюда з,!зз= — тз/тм Тзк каи тележки в конце концов останавливаются, ,их начальные кинетические энергии тратятся на работу против снл трения: т ракеты Ьо= — и не зависит от скоростя о ракеты перед сжигаиием- М второй порции. Напротив, приращение кинетической энергии ракеты (без топлива) М (и+ йо)э Моэ I т ЬЕ = — — =ти ( — и+о) 2 2 ь2М будет тем больше, чем больше о.
Высота подъема ракеты определяется полученной ею энергией. Поэтому вторую порцию топлива выгоднее сжечь в момент, когда скорость ракеты наибольшая, т. е. непосредственно вслед за первой порцией. При этом наибольшая часть механической энергии, возникающей при сгорании топлива, будет сообщена ракете, а механическая энергия продуктов сгорания минимальна. 163. Достаточно рассмотреть последовательное сгорание двух порций топлива. Пусть вначале масса ракеты с топливом равна М+2т.
После сгорания первой порции скорость ракещ о = =ти,/(М+т), где и, †скорос газов относительно ракеты.Начальная скорость ракеты принимается равной нулю. Приращение скорости ракеты после сгорания второй порции до=~()иэгМ, где и,— ноное значение скорости газов относительно .ракеты. При сгорании первой порции выделилась механическая энергия АЕ,=(М+т) оз)2+вшах/2. При сгорании второй норцин выделяется энергия М (о+ Ло)з т (о — и,)' (М+ т) о' 2 2- 2 ' По условию'задачи ЬЕг=ЬЕм Отсюда ~ (2(М+т) 2 ) э (2М+ 2 ) ' Следовательно, и, > иэ — скорость газов отис(сительно ракеты уменьшается. Эго связано с уменьшением массы ракеты в процессе сгорания топлива.
164. Оба склона можно разбить на множество сколь угодно малых наклонных плоскостей с различными углами наклона.. Рассмотрим Рис. 346. одну нз них (рис. 346). Работа по подъему тела на такой наклонной плоскости равна работе против сил тяжести тл бй плюс работа против снл трения Е рйо. Но Р,р —— Атйсоза н бЯ=Ы/сова 2! 6- Отсюдэ Ртэ ЬВ=Ьшйй!. Общая работа ЬА=шь»(ЛЬ+Ь Ь!). Если рассмотреть все наклонные плоскости и сложить элементарные работы, то общая работа будет равна А = ~ ЛА = тя(~Ч», 'ЬЬ+ Ь ~ Ь 1) = тйЬ+ Ьшй!.
Работа определяется только высотой горы Ь и длиной ! ее основания. 166. Сила, приложенная к рукоятке, будет минимальна, если она составляет с ней прямой угол. Обозначая через г значение искомой силы, на основании «золотого» правила механики будем иметь 2пйг =РЬ. Отсюда г"=РЬ(2пй. 166. По определению коэффициент полезного действия = Агl(А»+Аз), где А»=РН вЂ” работа по поднятию груза Р на высоту Н, а А,— работе, совершаемая при этом против сил трения, Так как сила трения способна удержать груз в равновесии, то работа этой силы не может быть меньшей, чем работа А,. Минимальное значение, работы снл трения' А,=А,. Следовательно, «1 ~ 50«4. 167.
За время подъема человека по лестнице шар опустится на некоторую высоту Ь. Следовательно, работа, совершенная человеком, пойдет на увеличение потенциальной энергии человека на величину тя(! — Ь) и на увеличение потенциальной энергии шара на величину шяЛ (на шар беэ человекв действует подъемная силн тя, направленная вверх); отсюда А = тй (! — Ь) + шяЬ = тя!. Этот результат можно получить сразу, рассчитывая пэботу человека в системе, связанной с лестницей. Если человек поднимается со скоростью о относительно лестницы, то относительно Земли он имеет скорость и — о„ где и, †скорость шара во время подъема человека. По закону сохранения количества движения (о — ог)я=Мом Отсюда о,= о.
168. Для того чтобы прогнать за единицу времени вдвое большее количество воды, нужно сообщить вдвое большей массе воды вдвое большую скорость. (Рябота мотора идет нв сообщение воде кинетической энергии пюз(2.) Поэтому мощность мотора должна быть увеличена в восемь раз. 169. 1) На подъем воды из ямы затрачивается работа Н 3 3 А г = ря — 5 ° — Н = — рйЗН«, 2 4 8 где р — плотность воды. На сообщение воде кинетической энергии затрачена рабата 1 Н А = — р — Яоз. 2 2 Скорость о, с которой вытекает вода из трубы на поверхность земли, определяется иэ соотношения (Н)2)Я=пН«от.
Полная работа равна Н«З« 8 Рэ +Гб! п«Н«т' 21« 2) Работа, затраченная на подъем воды во втором случае, мень'ше А, на величину ЛА,'=рйЗ,Ь(Н вЂ” И2). Работа, затраченная на 1 (НБ/2 — й21)з сообщение вйде кинетической энергии, равна Аз = — р 2 пзЕчтз Полная работа А'=Аз — ЬАд+ А' 179. Проще всего решить задачу в системе координат, связанной с эскалатором. Человек пройдет относительно него расстояние 1= = й/эш а+от, где от — путь, пройденный зскалатором.
При этом он должен совершить работу А=(й/шла+от)тлз(па, так как во время подъема сила ти была приложена ва пути 1 н составляла с ним угол 90' — а. Часть работы хндй идет на увеличение потенциальной энергия человека, другая часть работы, илэч з)пи, вместе с работой мотора, првводшцего эскалатор в движение, идет на преодоление . снл треннв. 171.
Энергия пружины, оттянутой за среднюю точку О, равна йтт=(2й)х'/2. Когда яружяну отпустилн, ее энергия стала равной йу =йхз/2, так как за время перераспределения. упругих деформаций в йружкие масса и не успевает сдвинутьая. Следовательно, потери энергии в пружине %',— йтз= йхз/2. Зто, конечно, грубая оценка. 172. Человек, действуя с силой Г иа пружину, совершает работу Ат — Г/.. Одновременно на иол вагона сэ стороны человека действует сила трения Г. Работа втой свлы Аз= Г/.. Следовательнсч '.
полная работа, совершенная 'человеком в системе координат, связанной с Землей, равна нулю, так же как н в системе, связанной ч с поездом. 173. В системе поезда совершенная работа равна погенциальной энергии растянутой пружины А= й/з/2, так как сила трения между человеком и полом вагона в этой системе не совершает работы. В системе, связанной с Землей, работа человека по растажению пружины равна произведению средней силы И/2 на пройденный путь й — 1, т. е. Аг=(И/2)(Š— 1).
На- пол вагона человек действует с той же средней силой И/2. Ее работа Аз=(И/2)х'.. Полная работа в данной системе координат А = А,+ А, Из/2 та же, что и в системе вагона. 174. На основании законов сохранения количества двшкения и энергии можно записать следующие уравнения: тгэг+ т,о, тго'+ т,о', + + з 2 2 2 где и,' и о,' — скорости шаров после соударения. Решая данную сис- тему уравненкй, получим (тг — т~) о, + 2тзоз ° (тз — т,) о, + 2тго, о,'= ез = и,+т, ' т,+те 1) Если второй шар до удара покоился (из=0), то и'=(т,— т,)ог/(т,+тз), о'=2т1эг/(и, (-те).
При т, > т, первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Если т, < т„то 218 первый шар отскакивает после удара назад. Второй шар будет двигаться в ту же сторону, в которую двигался до удара первый шар. 2) Если т,=та, то и' = 2тог/2т = о„о' = 2то !2т = ог. Шары при ударе обмениваются скоростями.
17б. Энергия упругой деформации станет максимальной тогда, когда относительная скорость шаров станет равной нулю. Для этого момента времени закон сохранения механической энергии и закон сохранения количества движения можно записать следующим образом: т,оэ тэоз (т,( т,) — г+ — '= ' ' и'+й', 2 2 2 тго, + тэо, = (тг+ т,) и, где и — абсолютная скорость шаров в тот момент, когда онн обладают максимальной энергией йг упругой деформации. Следовательно, та4 'т,о, *(тгог+ т,о,)' т,т,(о, — о,)* 2 2 2(тг+та) 2(тг+тэ) 179.
В результате упругого соудареыия левый бруозк приобретает скорость о. Правый брусок в этот момент времена еще покоится, так нак пружина не деформирована. Обозначим через ит и и, скорости левого и правого брусков в произвольный момент времени, а через х — абсолютное удлииеиые иружиыы в тот же момент времени.
На основании законов сохранения количества движения ы внергми имеем т (из+ и,) = то, ти~г тиз йхэ тоа — '+ — *+ — =— 2 2 2 2 или йхэ=т1оз — (й+и~)). Заменяя в последнем уравненвя о через ид+ и„получим йхз = 2аш,иа. Следовательно, и,и =йха/2т н иг+и, о. Из двух последних выражений видно, что иг и иа будут 'иметь один и тот же знак — оба бруска двнжугсн в одну сторону. Величина х' будет иметь максимальное значение тогда, когда произведение скоростей и, н из будет максимальным.
Следовательно, для ответа на второй вопрос, поставвамньгй в задаче, нужно найти максимальное значение произведения и,и, при условии, что сумма иг+ и, постоянна и равна о. Рассмотрим очевидное неравенство (и,— иа)з)0, илн из — 2и,из+из)0. Прибавим Ъс правой и левой частЯм неРавенства йитиа. Тогда игз+2игиз+иза)4и,иа, или (и + +и,)з)4и,иа. Так как и, )-из=о, то 4и,из~от. Следовательно, наибольшее значеыие и,и, равно оз/4, и оно достигается прн из=из=о/2. Расстояные между брусками в этот момент равно 1 ш хмаз =1 ш о г' т(2И. 177.
До тех пор, пока нижняя пластинка лежит на съьт, нз закона сохраненми механической энергии следует: йхз йрз еза 2 2 — — тлх = — +еду + —, 2 (1) 219 где у — удлинение пружины,,и — скорость верхней пластинки. В момент отрыва нижней пластинки от стола йу=тй, р=тд!М прячем о > О. Учитывая эти соотношения, получаем иэ (1) тоз йхз З зйз — = — — тйх — — — > О. 2 28 (2) Для того чтобы выполнялось (2), должно быть х > Зтй(й. Скорость ос центра масс в момент отрыва нижней пластинки от стола равна ос= о(2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
