1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как центр тяжесгн катушки по условию должен оставаться в покое, то изменение потенциальной энергии равно тяй. Если о — снорость движения груза массы т, то скорость точек катушки, отстоящих на расстояние Й от оси вращения, равна о)с(г. Следовательно, кинетическая энергия системы равна шпэ Моз !рэ Е= — + — —. 2 2 гз' Из закона сохранения энергии следует: (ш-(-М!!з(гз) оь/2=пщй, или о= 2шяЛ и+ Ьяз!гз Отсюда ускорение груза а=, з. Зная ускорение груза, на- ши и-(- М)1з/гз' ходим натяженне нити: М)зе(гз Т=ш(я — а)=тя Таким образом, для з!на получаем выражение 1 ''" "=М(~4,а()В Центр тяжести катушки может покоиться тонько в том случае, если М!ш+ гааз э 1.
225. Если скорость доски равна о, то скорость центра тяжести каждого катка о!2 (см. задачу 57). Кинетическая энергия системы (доски и обоих катков) равна Мое 2люз М '+ ш — + — = 2 4 2 оз. Приравнивая кинетическую знергию работе силы Ц на пути 3, получим — зк — ьа МЗ, и М+е Г 2(~8 У м+т (рис. 374). (Силы трения работы не совершают, так как проскальзывание отсутствует.) Из выражения для скорости движения доски следует, что ускорение ее равно а=Я/(М+т). Для определения силы трения, действующей со стороны катка на доску, напишем уравнение движения доски: Ма= й — 2Р.
Подставляя сюда значение ускорения а, получим Р=еф2(М+т). а Рис. 374. Так как скорость центра тяжести катка в два раза меньше скорости доски, то н ускорение центра тяжести катка будет в два раза. меньше ускорения доски. 'Поэтому уравнение движения центра тяжести катка будет иметь вил та/2=Р— /. Из этого уравнения вытекает, что /=О. 226. Предположим для определенности, что т,/7 > т,г. В этом случае первый груз будет опускаться, а второй — подниматься.
Пусть первый груз опустится на л. Тогда второй груз поднимется на бган. Убыль потенциальной энергии при этом будет равна т гад — езайг//7 = йй (т, — т,г//7 ). Если абсолютное значение скорости первого груза о, то скорость второго груза будет равна ог/)г. Все точнн первой ступени блока имеют скорость о, а все точки второй ступени блока имеют скорость ог/й. Кинетическая энергия системы будет равна т,+Мт, е,+М, гз 2 г 2 /7з Из закона сохранения энергии следует: тг+М1 з та+Ма гз / г нли 2 (тт — тзг//7) ай (ет+М )+(тз+ Мз) гз//7з ' Отсюда ускорение первого груза ег — вгзг/)с (ел+ Мх) + (та+ Мз) ге//(з ~ Иэ соотношения аг/аз=/7/г, где а,— ускорение второго груза, найдем аз= „, . Натяжения нитей Т, и Т, на осио(глг г//г)кг//г ванин второго закойа Ньютона равны г гз М +улз ц +щ(Из+Ма) т шгй, юг+ Мг+(тз+ Мз) — э г / г 'г т,+М,+ — ~т,+Мз — ) /7 (, т шзя.
гэ шг+Мг+(ш +Мз) —, Сила г, с которой система действует на ось блока, равна г=т +т +(М +м )и. 22?. Пусть путь, пройденный центром тяжести цилиндра за время С равен Я, а скорость центра тяжести к этому моменту времени равна о (рис. 375). Тогда Ю на основании закона сохранения энергии имеем Мо'= М88 з)п а.
Отсюда скорость равна о= зз = )/88 з)па, и, следовательно, Рис. 375. ускорение а=я з1п се/2. Скорость центра тяжести цилиндра и угловая скорость его вращения будут равны о=(л з!и а/2) С ы=(я ип а/2/7) г 9 9. Закон всемирного тяготения 228. По второму закону Ньютона т/й=р, где т/ — инертная масса, т.
е. величина, характеризующая способность тел приобретать то нли иное ускорение под влиянием определенной силы. С другой стороны, по закону всемирного тяготения Т= уткМ //7з, где коэффициент пропорциональности у — так называемая гравитационная постоянная, а тя и М вЂ” гравитационные массы взаимодействующих тел.
Гравнтациойная масса определяет силу гравитационного притя. жения и в этом смысле может быть названа «гравитационным зарядомз. Заранее ие очевидно, что ш;.—.т . Однако лишь при выполнении этого равенства (достаточно и пропорциональности) ускорение свобод ного падения одинаково для всех тел, так как при подстановке силы тяготения во второй закон Ньютона массы т; и ш можно сократить, и 8=ТМЯз. Только сила тяготения сообщает всем телам одинаковые ускорения, не зависящие от их масс. 229.
Ускорение я=уМ//7з (см. задачу 228). Принимая я= =9,81 м/с', найдем 7=6,6/ 1О-ы мз/кг сз. 230. Тела внутри космического корабля перестанут оказывать давление на его стенки, если они будут иметь такое же ускорение как н корабль. Одинаковое усноренне в данном участке простран. 281 Ъ ч \ 1 1 ! г 1 э а г т А т % Рнс. 376. 234. Под влвянием сопротивления атмосферыспутник постепенно с течением времеви приближается к Земле.
Радиус егоорбвтыуменьшается Так как в верхних слоях сопротивление мало, то за одна оборот это уменьшение радиуса незначительно. Считав орбиту приближенно круговой, можно записать шоэЯ ултМ/Кэ, где )7 — радиус орбиты. Отсюда о= )/уМ//7, т. е. сиорость спутника возрастает прв уменьшения )7. Наглядно этот результат можно повешпь следующим образом. Вследствие сопротивления атмосферы движение спутника, выведенного, например, иа круговую орбиту ства всем телам независимо от их массы может сообщить только сала тяготения. Следовательно, необходимо, чтобы двигатель корабля был выключен и сопрптввленне внешней среды отсутствовало.
Движение же корабля может происходить в любом направлении по отношению к направлению сил тяготения. 23П Сила тяжести сообщает одинаковое ускорение маятнику и рамке. Никаких деформаций за счет тяготения при свободном падении в системе не возникает. Поэтому относительно рамки маятник будет двигаться так, как если бы тяготения не было (см.
решение задачи 230). Он будет вращаться с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока длится падение рамки. 232. На участке ВСА (рис. 376) сала тяготении совершает положительную работу (угол 6, острый) и, следовательно, скорость планеты возрастает.
В точке А скорость достигаетсвоегомакснмального значения. На участке А(7В сила тяготения совершает отрицательную работу (угол 8э тупой), в, следовательно, при движении по этому участку скорость планеты убывает, доститая минимального значения в точке В. 233. Чтобы спутник двигался по замкнутой орбите (окружности радиуса Я+3), на него должна действовать сила, направленная к центру. Этой силой в данном случае является сале притяжения Земли.
По второму закону Ньютона тоэ/Я+ Ь) = ушМ/Я+ й)э, где М вЂ” масса Земли, )7=6370 км — радиус земного шара, у — гравитациоицаа постоЯннаЯ. На повеРхности Земли.УЯиИ//7э=тл. Слез довательно, о= )/д)7э/(/7-)-л) ш 7,5 км/с. (пунктир иа рис. 377), будет в действительности происходить по некоторой спирали (сплошная линия на рис'.
377). Поэтому проекция г" силы тяготения на направление скорости спутника о отлична от нуля. Работа силы г" (сила г больше силы сопротивления атмосферы /) и яриводит к увеличению скорости. При движении в атмосфере полная механическая энергия спутника уменьшаегся, но потенциальная энергия при приближении к Земле убывает быстрее, чем полная. За счет этого кинетическая энергия растет. Следует подчеркнуть, что в плотных слоях атмосферы нз-за большой величмиы силы сонротивлеина мы не можем даже приближенно рассматривать движение спутника как вращеине по окружности, и наш вывод несправедлив. 235.
Если бросить контейнер против движения спутника А, то он начнет двиглться по некоторому эллипсу 2, расположенному внутрм орбиты спузвкка (рнс. 378). Период обрицения контейнера будет немного меньше периода обращения спутника В. Поэтому они могут встретиться в точке соприкосновения орбит только после соаершеная большого числа оборотов. Контейнер нужно бросить в направлении движения спутнииа А.
Он начнет 'двнгаться по эллипсу 3. Скорость и нуапго подобрать. так, чтобы за время одного оборота контейнера спулнш В также сделал один оборот и дополнительно прошел путь АВ. Это вполне возможно, так как период обращения по эллипсу йнесколько больше периода обращения по круговой орбнте 1. Контейнер встретится со спутником в точке соприкосновения орбит д и 1. Аг Рис. 379. Рис.
378. 236. Считая приближенно орбиту Земли круговой, для силы тяготения можно записать выражение Р=шмз/7, где т †мас Земли, а ы= 2п/Т вЂ углов скорость Земли (Т вЂ 3 дней).. С другой стороны, согласно закону тяготения г =утМ/Щ где М вЂ мас Солнца. Отсюда 2шМ//7з = вкэз/7, или М =аз/7з/у 2 (Ош кг. 237.
Поскольку как Луна, так н спутнин движутся в поле тяжести Земли, применим третий закон Кеплера: Т,'/Т,*=(Л+ И+ та)з/8Вз (рнс. 379). Отсюда 3=2Я(Тд/Тз) /' — Н вЂ” аз — — 220 ша. 238. Так как масса шарика больше массы воды в том же объеме, то поле тяготения больше вблизи шарика, чем вдали ог него.
Соответственно вода возле шарика дополнительно сжата. Сила давления жидкости, действующая на пузырек слева, будет несколько меяьше, чем села, действующая справа. С другой стороны, сила тяготения между воздухом и пузырьке и шариком больше силы притяжения между воздухом и выделенным — — — — пунктиром объемом воды (объем а : г ° : О: — — †,-,: на рис. 380). Так как масса воз: — эз — '.:- — духа в цузырьке очень мала, то — — решающим оказывается действие /у /у й~. ~ первого фактора. Пузырек будет отталкиваться от шарика.
Рис. 380. Движение железного шарика, напротив, будет определяться тем, что сила притяжения между воздухом в пузырьие и шариком много меньше силы притяжения между шариком и выделенным пунктнром объемом воды (рис. 380, объем Ь). Вычисление силы проводится путем следующих рассуждений. В однородной среде (водз) имеется сфера с почти полным отсутствием массы (пузырек) и сфера с избыточной массой (шарик). Формально это можно рассматривать как наличие отрицательной и положительной масс. Сила взаимодействия между сферами в жидкости равна силе взаимодействия в пустоте отрицательной лгассы, равной массе воды а объеме пузырька, и положительной массы, равной избытку массы железного шарика над массой воды в том же объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
