1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Следовательно, /ч= — Ттг(тз — тг)//2э. Здесь т, — масса воды в сфере радиуса г, шэ †мас железного шарика. 239. Вблизи пузырька поле тяготения меньше, чем в однородной жидкости. Жидкость соответственно сжата здесь меньше. Поэтому в участок жидкости возле одного пузырька устремляется другой, н наоборот.
Пузырьки будут притягиваться. Два пузырька в однородной жидкости, массы ноторых пренебрежимо малы, можно рассматривать формально как отрицательные массы, наложенные нэ положительную массу т среды в объеме пузырька: г' = у ( — гл) ( — т)/Кз = утз//ге. 240. Если бы шар был-сплошным, то сила тяготения Г,= ТМгл//э, где М=ч/зя/гзр — масса шара без полости. Наличие полости экви- Рис. 38П взлентно появлению силы отталкивания ге = утш/3, где ш' = /эпг р, а 5 в расстояние между центром полости и материальной точкой. Искомая сила г" является геометрической суммой сил Е, и гз (рис. 381).
По теореме косинусов 4 /Яз гв 2Язгзсоз() = — пушр ~/ — + — — ш 8,7 18-ч Н. 3 У 1ч ((з-бз)з 1 ((з-Л) 241. Искомая сила притяжения будет являться геометрической суммой сил притяжения, создаваемых отдельными элементами сферы. Малые элементы и, и и (рис. 382) вырезаются из сферы конусами с вершиной в точке А, которые получаются при вращении образующей ВС вокруг оси 5,5,. Площади элементов равны соответственно (А5г)з ю1соа и, и (А5з)зы)соз а„э их массы (А5,)зыр/соз пх н Рис. 382.
(А5 )гзгР)соз ню где ю — телесный Угол, под котоРым видны оба элемента из точки А; р — поверхностная плотность сферы (масса, приходящаяся на единицу плошади); б". а, = ~ а„так как треугольник 5,05, равнобедренный. Силы притяжения, создаваемые элементами, соответственно равны т (А5,)з ыр ивуар е (А5,)з юр авар (А5,)' соз а, У соз ах ' (А5,)' соз аз У соз аз' где т — масса тела, и направлены в противоположные стороны. Их равнодействующая равна нулю.
Проводя аналогичные рассуждения для других соответствующих элеыентов сферы, убеждаемся, что все они попарно компенсируют друг друга. Следовательно, сила притяжения, которая действует со стороны сферы на тело, помещенное внутри нее, равна нулю. Заметим, что данный результат справедлив и для сферы конечной толщины, так как ее можно разбить на сколь угодно тонкие сферические оболочки, для каждой нэ которых справедливо доказанное выше утверждение. 242.
Сила притяжения равна силе, с которой тело массы т притягивается к шару радиуса г и плотности р. Внешние слоитолщи Земли не оказывают, как доказано в задаче 241, на тело никакого 243 действия. Поэтому искомая сила (4и/3) ргзт 4и гз 3 =7 р""' Эта сила убывает пропорционально г по мере прнблшиения к центру Земли. $10.
Гидро- и изрости'гика 243. Уровень воды не изменятся, так хан количество вытесненной воды остается тем же. 244. Равновесие не нарушится, так иак согласно захонуПаскаля давление на дно сосуда будет всюду одинаковым. 245. !) Так каи кусок льда плавает, вес воды, вытесненной им, равен весу самого льда илн получившейся из него воды. Поэтому вода, образовавшаяся после таяния льда, займет объем, равный объему погруженной части куска, и, следовательно, уровень воды не изменится. 2) Объем погруженной части куска с камнем больше 'суммы объемов камня и воды, получившейся после таяния льда.
Следовательно, уровень воды в стакане понизится. 3) Вес вытесненной воды равен весу льда (вес воздуха в пузырьке можно не принимать во внимание). Поэтому, как и в случае 1), уровень воды не изменится. 246. Вес тела,'погруженного в жидкость, в первом случае равен Р,=(г1 — г(г) У; во вшром случае Рз=~й — 6з) У, где У вЂ объ тела. Отсюда г(=(РФ вЂ” Рхбзр (Рз — Рг). 247. Только в небольших водоемах лед может удерживаться на весу с помощью бершовой кромки, В центре больпюго озера он обязателъно планиет. Отношение плотностей льда и воды равно 0,9. Следовательно, 0,9 всей толщины льда находится в воде.
Расстояние' от поверхности льда до воды равно 1 м. 243. После снятия камня коробка стала легче на вес камня, н, следовательно, объем шатесяенной ею воды уменьшился на величину У,= Р)иг, где Р†в камня, Их †удельн вес воды. При погружении в воду камень вытеснит объем воды, равный своему обьему Уз=Р(г(„ где Из †удельн вес вещества камня. Так как И > бь то У, > Уз. Следовательно, уреееиь воды в чаше понизится. 249.
В обоих случаях работа насосов одинакова, таи пан одно н тв же количество перенвчвнвой воды вынимается на одну н ту же высоту. йбй. Г-образная фигура устойчиво стоек ин дие пустого сосуда, тшг иак иерпендвиуляр, штущенный на центра тяжести фягуры, не ишодит аа пределы площади опоры. По мере иаливаияя воды в сосуд будет расти вытазинвающая еяла, действующая на нрямоугольнии (предполагается, что вода имеет возможность подтекать под фигуру). При глубине воды в сосуде, равной О,ба, сумма моментов сил, стремящихся повернуть тело о часовой стрелке, будет равна сущие моментов сил, стремящяхся повернуть тело против часовой стреляи. Прн дальнейшем ааполненви сосуда фигура упадет.
251. Длина трубы х найдется из условия дх=ае(х — И), выражающего равенство давлений на глубине нижнего конца трубы. Здесь 55 — Удельный вес воды. Отстала Х=бзд/(бе — г()=50 см. 252. Давление на дно равно р= рй(Н+И) ч. (рис. 383). С другой стороны, так кац сосуд цилиндрический р=(Р+тя)/п)7з. Высоту И можно определить, пряравнивая друг другу силы, действующие на поршень: рйИп (/!в — гз)=Р. Отсюда 1 / Р Н= — ~т —— 11 т 10 см. пА'~р ( 5 /7з — гз/ 253. Используя закон сохранения энергии н закон Архимеда, приходим к уравнению /4 шах=-1 — Щзр — т) 5И, (,3 Рис. 383. где Р— плотность водй, а х — исиомаа высота. Отсюда х=(з/зпЯзР— — т) И/т.
254. Из равенства моментов относительно точки А (ряс. 384) ° действующих иа доску сил имеем Р,(! †а х/2) сова. = Р (!/2 в а) соз щ где Рз = Вхбз, а Р=ЗЫ, 3 — плошддь поперечного сечения доски, аз †удельн вес воды. Отсюда х = (! — а) х (! — а)' †(5/йо)!(! — 2а).
Так как х < ! — а, то имеет смысл только одно решение: х = (! — а) — )/ (! — а) з — (5И(е) ! (! — 2а). 255. Человек не достиг своей цели, так как, увеличив выталкивающую силу, ои вместе с тем более значительно увеличил вес своей ноши (плотность сжатого воздуха в камере больше плотности наружного воздуха). 256.
Показания зесов,увеличатся, если средняя плотность взвешиваемого тела меньше плотности разновесов. Показания весов уменьшатся, есле средняя плотность тела больше плотности разиовесок. В случае, если разновески н тело имеют одинаковуюсреднюю плотность, равновесие весов не нарушится. 257.
Истинная масса тела М= Мг+4~((г — Мг/51) т 801,16г, 247 Допущенная относительная ошибка в процентах равна Ыт !00% О !4% Ревел = (О+ Р6Л)/2. Сила, с которой действует жидкость иа боковую рвана рдЬ И Ь Ь Р= . —.И=ра 2 юла 2зш а' наклонную стенк! Сила /, с которой боковые стенки действуют на дно, направлена вверх и равна /= 2Р соз а = рййзЬ с15 и.
(Вертикальная составляющая полной силы, действующей на дно сосуда, будет равна, разумеется, силе тяжести налитой жидиости. В самом деле, р яйоб — ) = рйИЬ (а — Ь с(5 сс) = Рйр, где У вЂ” объем налитой жидкости.) 261. Сила, с которой жидкость поднимает вверх сосуд, равна Р=п()2з — г') ряЬ. Следовательно, и Рз — га) рйЬ=Р, р= Р п(Яз-ге) яЬ 262, Давление на «дно» сосуда равно ряЬ.
Сила, с которой заштрихованная часть жидкости (рис. 385) давит иа стол, равна рйдя(2КЬ(йа — Ьз16за). По третьему закону Ньютона такая же сила действует на жидкость. Условие равновесия жидкости в момент, когда сосуд перестает давить на стол, имеет вид Р+ Р, = рйЬп (2)сЬ 16 се — Ьз 1йз гх), 258. Нормальное атмосферное давление равно приблизительно !Оа Па.
Значит, вес атмосферного столба воздуха площадью в 1 ме равен 1О'Н. Зная поверхность земного шара, можно подсчитать массу всей атмосферы Земли. Поверхность Земли 5=4яйз, где Я=5370 км — средний радиус Земли. Масса атмосферы М гч 4я)!ех Х ! кг/смз ю 5 !0'з тонн. 259. Представим себе, что внутренность бутылки заполнена стеклом. Если производить давление на наружную поверхность, то такое же давление возникнет во всех участках внутри стекла. При этом произойдет сжатие н объем внутренней части бутылки уменьшится.
Не важно, чтб производит давление на внутреннюю поверхность бутылки — вода или стекло, заполняющее ее внутренность. Если бутылна подвергнется с наружной и внутренней стороны давлению р, то вместимость ее уменьшится. 260. Давление жидкости в точке !) равно нулю, а в точке Л равно ряЬ. Так как давление на боковую стенку линейно возрастает, то среднее давление равно где Р,— вес заштрихованной части жидкости (усеченный конус минус объем цилиндра): Р,= — (пгг + Рйй = 3 .(- п(Я вЂ” 'Ь(8 п)з+п)2(Р— д Гй п))— — рйдп(рь — Ийсг)э.
Отсюда ЗР пййз 18 а (З)г — й 18 гх) 263. В цилиндрическом сосуде дно отпадет во всех трех случаях, так как сила давления на дно сосуда све х б дет каж ый аз о ной н Р у у д р д той же. В сосуде, суживающемся Рис. 385. кверху, дно отпадет только при налнванин масла,"гак как уровень масла здесь будет выше, чем в цилиндрическом сосуде. В сосуде, расширяющемся кверху, дно отпадет при наливании ртути, которая будет стоять выше, чем в цилиндрическом сосуде, а также при опускании гири, вес которой распределится в данном случае на меньшую площадь, чем в остальных двух случаях. 264.
Если уровень воды в сосудах одинаков, то н уровень ртути до того, как положили кусочеи дерева, будет одинаков. Внесение в сосуд кусочка дерева совершенно равносильно доливанню количества воды, которое вытесняется этим кусочком, т. е. количества воды, равного ему по весу. Следовательно, если сечение сосудов одинаковое, уровни воды н ртути в обоих сосудах будут совпадать. Если же сечения не одинаковы, то вода будет стоять выше, а ртуть ниже в том сосуде, сечение которого меньше. Это произойдет потому, что добавление одинаковых по весу (и по объему) количеств воды в сосуды с разным сечением приведет к различному увеличению давления на поверхность ртути. 265. После опускания кубика во второй сосуд уровень ртути в обоих сосудах повысится на величину х и займет положение АВ Рис. 386.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
