1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 12
Текст из файла (страница 12)
16. Доказать, что при каждом n ∈ N верноравенство:1 · 2 + 2 · 5 + . . . + n(3n − 1) = n2 (n + 1).Решение. Мы проверяем равенство при n = 1. Затем, используя индукционное предложение 1·2+2·5+. . .+n(3n−1) = n2 (n+1), доказываем последнееравенство 1·2+2·5+. . .+n(3n−1)+(n+1)(3n+2) = n2 (n+1)+(n+1)(3n+2) =(n + 1)2 (n + 2).Задача 04. [3], §2, N 8.2, стр. 16.
Доказать, что при каждом n ∈ N числоn(2n2 − 3n + 1) кратно 6.Решение. Рассмотрим число An = n(2n2 − 3n + 1). Отметим, что A1 = 0,A2 = 6. Представим An+1 = (n+1)(2(n+1)2 −3(n+1)+1) = (n+1)(2n2 +n) =n(2n2 + 3n + 1) = An + 6n2 .Задача 05. [3], §2, N 8.3, стр. 16. Доказать, что при каждом n ∈ N число62n−2 + 3n+1 + 3n−1 делится на 11.Решение. Рассмотрим число An = 62n−2 +3n+1 +3n−1 . Отметим, что A1 = 11.Представим An+1 = 36 · 62n−2 + 3 · 3n+1 + 3 · 3n−1 = 3An + 33 · 62n−2 .Задача 06.
[3], §2, N 8.4, стр. 16. Доказать, что при каждом n ∈ N числоn5 − n делится на 5.Решение. Решение. Рассмотрим число An = n5 − n. Отметим, что A1 = 0,A2 = 30. Представим An+1 = (n + 1)5 − (n + 1) = An + 5n4 + 10n3 + 5n2 .Рассмотрим неравенство An > Bn . Проверим при n = 1 (n = n0 ). Используя индукционное предположение An > Bn и неравенство An+1 − An >Bn+1 − Bn , получим An+1 > Bn+1 .13n+1 > 1.Решение. Мы проверяем неравенство при n = 1: 21 + 13 + 14 = 1312 > 1. Используя111индукционное предположение An > 1, где An = n+1+ n+2+ .
. . + 3n+1, нужно1111проверить неравенство An+1 − An = 3n+2+ 3n+3+ 3n+4− n+1> 0, котороеЗадача 07. [3], §3, N 10.1, Стр. 16.1n+157+1n+2+ ... +эквивалентно 9(n+1)2 > (3n+2)(3n+4). Складывая An > 1 и An+1 −An > 0,получим An+1 > 1.1n+11324 , ∀n ≥ 2.13Решение. Мы проверяем неравенство при n = 2: 13 + 14 = 1424 > 24 . Исполь111зуя индукционное предположение An > 1, где An = n+1+ n+2+ . . . + 2n,111нужно проверить неравенство An+1 − An = 2n+1+ 2n+2− n+1> 0, котороеЗадача 08. [3], §3, N 10.2, Стр. 16.+1n+2+ ... +12n>эквивалентно 2n + 2 > 2n + 1. Складывая An > 1 и An+1 − An > 0, получимAn+1 > 1.Задача 09. [2], N 10.1 a).
Доказать неравенство 1 + √12 + . . . + √1n >∀n ≥ 2.Решение. Мы проверяем неравенство при n = 2: 1 +√12>√n при√2. Используя√индукционное предположение An > Bn , где An = 1 + √12 + . . . + √1n , Bn = n,√√1> Bn+1 − Bn = n + 1 − n,нужно проверить неравенство An+1 − An = √n+1которое эквивалентно6√1n+1>√1√.n+ n+1Seminar n. 06Рассмотрим неравенство An > Bn .
Проверим при n = 1 (n = n0 ). ПустьAn+1 = Cn · An , где Cn > 0. Используя неравенство An > Bn , умноженное наCn , и неравенство Cn · Bn > Bn+1 , получим An+1 > Bn+1 .Задача 01. [2], N 7. Неравенство Бернулли. Доказать, что если x > −1, тосправедливо неравенство(1 + x)n ≥ 1 + nx (n > 1).Причем знак равенства имеет место лишь при x = 0.Решение. При n = 1 неравенство верно. Умножим индукционное предположение на (1 + x): (1 + x)n+1 ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + (1 + n)x + nx2 . Используемнеравенство 1 + (1 + n)x + nx2 ≥ 1 + (1 + n)x.Задача 02. [2], N 10.
Доказать неравенство An = 12 · 34 ·. . .· 2n−12n <√ 12n+1= Bn ,n ∈ N.Решение. Мы проверяем неравенство при n = 1:5812<√1 .3Используем индук-2n+12n+2 :ционное предположение, умноженное наAn+1 = An ·2n − 1 2n + 12n + 1 1 3= · · ... ··<2n + 2 2 42n2n + 212n + 12n + 1√·= Bn ·.2n + 22n + 1 2n + 22n+12n+2Нужно доказать, что Bn ·=2n+1√ 12n+1 2n+2<√ 12n+3= Bn+1 . Следовательно(2n + 1)(2n + 3) < (4n2 + 8n + 4).Задача 03. [2], N 10.1 г).
Доказать неравенство методом математической индукции (2n)! < 22n · (n!)2 .Решение. Мы проверяем неравенство при n = 1: 2 < 4. Умножим неравенство An = (2n)! < 22n · (n!)2 = Bn на (2n + 2) · (2n + 1):An+1 = (2n + 2)! = (2n + 2) · (2n + 1) · An = (2n + 2) · (2n + 1) · (2n)! <(2n + 2) · (2n + 1) · 22n · (n!)2 = (2n + 2) · (2n + 1) · Bn .Нужно доказать, что (2n + 2) · (2n + 1) · 22n · (n!)2 < 22(n+1) · ((n + 1)!)2 =4(n + 1)2 · 22n · (n!)2 .Задача 04. [2], N 8.n+1 n3n+1 n∀n2n+1 n∀n ≥ 2.2< n! <Решение. Докажем, что n! <≥ 2.(n+1)n+1(n+1)n+1n+1.Нужнопоказать,что< ( n+2. Это2n2n2 )n+1n+11n+1неравенство эквивалентно n+2= 1 + n+1> 1 + n+1= 2.n+1nДокажем, что n! > n+1∀n ≥ 1.
Из индукционого предположения следует,3n+1(n+1)n+1n+2 n+1что (n + 1)! = n!(n + 1) > (n+1).Нужнодоказать,что>.3n3n31 n+1< 3.Это неравенство эквивалентно неравенству 1 + n+1Одно из правил вычисления сумм: дано множество чисел {ak }n+1k=1 :nP(n + 1)! = n!(n + 1) <(ak − ak+1 ) = a1 − a2 + . . . + an − an+1 = a1 − an+1 .k=1Пример.nPk=11k(k+1)nPПример. Найти(n + 1)3 − 1 =nPk=1nP=nP( k1 −k=11k+1 )=1−1n+1 .k2:k=1((k + 1)3 − k 3 ) = 3k=1k 2 = 13 ((n + 1)3 − 1) −n(n+1)2−n3=nPk2 + 3nPk=1k=1n(n+1)(2n+1).659k + n. Таким образом,Бином Ньютона.Рассмотрим число сочетаний Cnk =n!=n!k!(n−k)!=n·...·(n−k+1).k!kВ комбинаторике сочетания из n по k называется набор k элементов, вы-бранных из данного множества, содержащего n различных элементов.Свойства1. Cn0 = Cnn = 1,2. Cnk = Cnn−k ,k3.
Cnk + Cnk−1 = Cn+1.Легко показать, чтоn!n!+=k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)!n!11k+= Cn+1.(k − 1)!(n − k)! k n − k + 1Cnk + Cnk−1 =Для любых чисел a, b и любого n ∈ N справедлива формула бинома Ньютона(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + . . . + Cnk an−k bk + . . .
+ Cnn bn .Доказательство(a + b)n+1 = (a + b)(Cn0 an + . . . + Cnn bn ) =Cn0 an+1 + an b(Cn1 + Cn0 ) + . . . + abn (Cnn + Cnn−1 ) + Cnn bn+1 =an+1 + an b(n + 1) + . . . + abn (1 + n) + bn+1 .Задача 5. [3], §4, N 23.1, стр. 32. Вычислить сумму:Решение.nP(k + 1)Cnk = nk=1nPr=0(n−1)!(n−1−r)!r!+nPk=1nP(k + 1)Cnk .k=1n!(n−k)!k!= n2n−1 + 2n − 1.Задача 6. [3], §4, N 22.1, стр. 32.
Найти коэффициент многочлена (1−x+x2 )3при x3 .Решение. (1−x+x2 )3 = (1−x(1−x))3 = 1−3(1−x)+3x2 (1−x)2 −x3 (1−x)3 .Коэффициент при x3 равен −C32 C21 − C30 = −7.60Задача 7. [3], §4, N 22.3, стр. 32. Найти коэффициент многочлена (1+x2 −x3 )9при x8 .23 929Решение. (1 + x − x ) = (1 + x (1 − x)) =9PC9k x2k (1 − x)k . Коэффициентk=08при x равенC32 C93+C94 .√Задача 8. [3], §4, N 21, стр.
32. Найти член разложения ( x +1 16√3 x) ,содер-жащий x3 .√Решение. ( x +1 16√3 x)5= x8 (1 + x− 6 )16 .6 3xОтвет: C16nPЗадача 9. [3], §4, Пример 6, стр. 28. Вычислить сумму(Cnk )2 .k=02nPk kx = (1 + x)n (1 + x)n =Решение. Рассмотрим тождество (1 + x)2n =C2nk=0 n nnn PnPP k kP r n−rP(Cnk )2 ==Cn xCn xCnk Cnr xn−r+k . Следовательно,r=0k=0n.C2nk=0 r=0k=0Задача 10. Доказать, неравенство (1 + n1 )n < e =(1 + n1 )n < 3.Решение. ПредставимnPk=01k!<1+nPk=112k−1(1+ n1 )n=nPk=0Cnk n1k=nPk=0∞Pk=01k! .Можно доказатьn·(n−1)·...·(n−k+1)nk k!=nPk=0(1− n1 )·...·(1− k−1n )k!= 1 + 2(1 − 2n ) < 3.Задача 11.
§4, N 32, стр. 33. Пусть a > 0, n ∈ N, k ∈ N, k ≤ n. Доказать,что(1 + a)n > 1 + Cnk ak .7Seminar n. 07Самостоятельная работаЗадача 01. [3], §4, N 31, стр. 33. Доказать неравенство√ √Подсказка. Покажите, что k n − k + 1 < n.nPk=1√ √1k n−k+1Задача 02. [3], §4 Пример 3, стр. 26. Вычислить сумму Sn (x) =nPk=161> 1.sin kx.<Решение. Пусть sin x2 6= 0. Рассмотрим равенствоnPSn (x) =k=1sin kx sin x2.sin x2Так как sin kx sin x2 = 21 (cos(k − 21 )x − cos(k + 12 )x), тоnPSn (x) =k=1nPsin kx sin x2sinx2=k=112 (cos(k− 12 )x − cos(k + 21 )x)=sin x2111nsin n+12 (cos 2 x − cos(n + 2 )x)2 x sin 2 x=.sin x2sin x2Когда sin x2 = 0, то Sn (x) = 0.Задача 03. [3], §3, N 11, стр.
21. Пусть X, Y – непустые ограниченные множества неотрицательных действительных чисел, XY – множество всевозможных чисел xy, где x ∈ X, y ∈ Y . Показать, что XY – ограниченное множество, причем sup XY = sup X · sup Y , inf XY = inf X · inf Y .Подсказка. Докажем равенство sup XY = sup X · sup Y . Для этого нужнопоказать два неравенства: sup XY ≤ sup X · sup Y и sup XY ≥ sup X · sup Y .√Задача 04.
Доказать, неравенство n < 1 + √12 + . . . + √1n при ∀n ≥ 2.Подсказка. Используя индукционное предположение, нужно показать спра√√1ведливость неравенства n + √n+1> n + 1. Тогда√√11111 + √ + ... + √ + √> n+ √> n + 1.nn+1n+1215PЗадача 05. Найти коэффициент многочлена(1 + x)k при x3 .k=3Решение. Можно воспользоваться формулой15Xk=3Ck3=15X15Ckk−3k=315X14!1X=k(k − 1)(k − 2) =3!k=3(k + 1)k(k − 1)(k − 2) − k(k − 1)(k − 2)(k − 3) =k=313 · 14 · 15 · 164= C16= 1820.4!62nPОбратите внимание на формулу(ak − ak−1 ) = a1 − a0 + . .
. + an − an−1 = an − a0 ;k=1и задачи[3], §8, N 16. 5.nP[3], §8, N 24. 4.k=1mPk(k + 1)(k + 2) =n(n+1)(n+2)(n+3);4n+1n= Cn+m+1.Cn+kk=08Seminar n. 08Числовые последовательностиЧисловой последовательностью называется отображение из N в R (или в C).Определение. Число a называется пределом последовательности {xn }n∈N ,если для любого ε > 0 существует Nε ∈ N, такое, что |xn − a| < ε для всехn > Nε .В символьном виде это определение записывается следующим образом:(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) ((n > Nε ) ⇒ |xn − a| < ε).Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.Если предел последовательности существует и равен какому-либо числу a,то говорят также, что последовательность сходится к a.Этот факт обозначается так: lim xn = a или xn → a при n → ∞.n→∞Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.Теорема.
Последовательность может иметь только один предел.Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.Задача 01. [2], N 41. Пусть xn =nn+1 ,(n = 1, 2, . . .). Доказать, что lim xn =n→∞1, определив для каждого ε > 0 число Nε такое, что |xn − 1| < ε, если n > Nε .Решение. ∀ε > 0 из неравенства 1 −тельно, Nε >1−εε .nn+1< ε следует, что n >1−εε .Следова-Можно выбрать Nε = [ 1−εε ] + 1.Задача 02.
Доказать, что xn (n = 1, 2, . . .) есть бесконечно малая (т.е. имеетпредел, равный 0), указав для всякого ε > 0 число, N = Nε такое, что |xn | < ε63при n > Nε , если xn = n1 .Решение. ∀ε > 0 из неравенства | n1 | < ε следует, что n > 1ε . Следовательно, Nε = 1ε + 1.Задача 03. [2], N 42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
