1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 10
Текст из файла (страница 10)
|x|,3. sin x,4. arcsin x5. cos x,6. arccos x,7. ex ,8. ln x,9. tg x,4410. arctg x.Домашняя работа:1. [3], §1, N 6, Стр. 9. Доказать, что:1) (A ∪ B)\C ⊂ A ∪ (B\C),2) (A ∪ C)\B ⊂ (A\B) ∪ C.2. [3], §1, N 7.3, Стр. 9. Определить, в каком отношении (X ⊂ Y , X ⊃ Y ,X = Y ) находятся множества X и Y , если X = A\(B ∪ C), Y = (A\B) ∪(A\C).2Seminar n. 02Отображения.2Пусть X и Y – множества. Нестрого говоря, отображение множества Xв множество Y есть правило (или закон), согласно которому каждому элементу множества X ставится в соответствие один элемент множества Y .
Приэтом X называется областью определения отображения. В качестве синонимов термина "отображение"мы, в зависимости от ситуации, будем использовать термины ”функция”, ”преобразование”, ”оператор” и другие.Определение. Отображением множества X в множество Y называется подмножество G декартова произведения X × Y , такое, что ∀x ∈ X ∃!y ∈ Y :(x, y) ∈ G.Определение.• Отображение F : X → Y называется сюръективным (или накрывающим), если imF = Y , т.е. ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : F (x) = y.• Отображение F : X → Y называется инъективным (или взаимно-однозначным)если(∀x1 , x2 ∈ X)(x1 6= x2 ⇒ F (x1 ) 6= F (x2 )).2Теоретический материал взят из [7].45• Отображение F : X → Y называется биективным, если оно сюръективнои инъективно.Задача 1. Построить биектиное отображение, которое бы соспотавляло каждой паре натуральных чисел, соотвественно, натуральное число, т.е.
F : N2 →N.Решение. Нужно пронумировать пары (i, j) ∈ N2 , i + j ≥ 2, F (1, 1) = 1,i+j−2Pk + j = (i+j−2)(i+j−1)i + j > 2, F (i, j) =+ j.2k=1Задача 2. Привести пример сюръективного и инъективного отображения.Решение. X = [0, π2 ], Y = [0, 1], F (x) = sin x.Задача 3. Привести пример сюръективного, но неинъективного отображения.Решение. X = [0, π], Y = [0, 1], F (x) = sin x.Задача 4. Привести пример инъективного, но несюръективного отображения: X = [0, π2 ], Y = [0, 2], F (x) = sin x, imF = [0, 1] b Y .Задача 5. Самостоятельно построить пример сюръективного, но неинъективного отображения.Задача 6.
Самостоятельно построить пример инъективного, но несюръективного отображения.Определение. Отображение G : Y → X называется обратным к отображению F : X → Y , если F ◦ G = IY и G ◦ F = IX .Обратное к F отображение обозначается F −1 .Задача 7. Построить обратное отображение к F (x) =√x, где X = [0, 1],Y = [0, 1].Задача 8. Построить обратное отображение к отображению F (x) =√1 − x2 ,где X = [0, 1], Y = [0, 1].Задача 9. Построить обратное отображение к отображению F (x) = x1 , гдеX = (0, +∞), Y = (0, +∞).Теорема.
Для того, чтобы отображение имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным.Задача 10. Построить обратное отображение к отображению F (x) = sin x,где X = [− π2 , π2 ], Y = [−1, 1]. Проверить равенства F ◦ F −1 = IY и F −1 ◦ F =46IX .Решение. Для существования обратного отображения нам нужно доказать,что выполнено условие теоремы о существовании обратного отображения.Очевидно, что imF = Y . Обоснуем строгую монотонность функции F (x), изкоторой следует инъективность.
Пусть x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 . Тогда(x2 − x1 )(x2 + x1 )cos> 0.22Следовательно, F – биективное отображение. Таким образом, сушествует обsin(x2 ) − sin(x1 ) = 2 sinратная функция F −1 (y) = arcsin(y).Задача 11. Построить обратное отображение к отображению F (x) = cos x,где X = [0, π], Y = [−1, 1]. Проверить равенства F ◦F −1 = IY и F −1 ◦F = IX .Решение. Для существования обратного отображения нам нужно доказать, что выполнено условие теоремы о существовании обратного отображения. Очевидно, что imF = Y . Обоснуем строгую монотонность функцииF (x), из которой следует инъективность. Пусть x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 .
Тогда(x1 − x2 )(x2 + x1 )sin< 0.22Следовательно, F – биективное отображение. Таким образом, существует обcos(x2 ) − cos(x1 ) = 2 sinратная функция F −1 (y) = arccos(y).Задача 12. Построить обратное отображение к отображению F (x) = ex ,где X = (−∞, +∞), Y = (0, +∞). Проверить равенства F ◦ F −1 = IY иF −1 ◦ F = IX .Решение. Для существования обратного отображения нам нужно доказать, что выполнено условие теоремы о существовании обратного отображения. Очевидно, что imF = Y . Обоснуем строгую монотонность функцииF (x), из которой следует инъективность.
Пусть x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 . Тогдаexp(x2 ) − exp(x1 ) = exp(x1 )(exp(x2 − x1 ) − 1) > 0.Следовательно, F – биективное отображение. Таким образом, существует обратная функция F −1 (y) = ln(y).Задача 13. Построить обратное отображение к отображению F (x) = tg x,где X = (− π2 , π2 ), Y = (−∞, +∞). Записать равенства F ◦ F −1 = IY и F −1 ◦47F = IX .Решение. Для существования обратного отображения нам нужно доказать,что выполнено условие теоремы о существовании обратного отображения.Очевидно, что imF = Y .
Обоснуем строгую монотонность функции F (x), изкоторой следует инъективность. Пусть x1 , x2 ∈ X. Случай − π2 < x1 < 0 ≤x2 <π2очевиден, посколькуtg(x2 ) ≥ 0 > tg(x1 ).В случае 0 ≤ x1 < x2 <π2мы используем формулу тангенса разности углов:tg(x2 − x1 ) =tg(x2 ) − tg(x1 ).1 + tg(x1 ) tg(x2 )Из неё мы получимtg(x2 ) − tg(x1 ) = tg(x2 − x1 ) (1 + tg(x1 ) tg(x2 )) > 0.В случае − π2 < x1 < x2 ≤ 0 строгая монотонность доказывается аналогично.Следовательно, F – биективное отображение.
Таким образом, существуетобратная функция F −1 (y) = arctg(y).Домашняя работа.Задача 1. Построить биективное отображение, которое бы сопоставлялокаждой тройке натуральных чисел, соответственно, натуральное число, т.е.F : N3 → N.Задача 2. Построить обратное отображение к отображению F (x) = ctg x,где X = (0, π), Y = (−∞, +∞). Записать равенства F ◦ F −1 = IY и F −1 ◦ F =IX .3Seminar n. 03Мощность. Кардинальные числа.3Скажем, что множество A равномощно множеству B, если существует би-ективное отображение F : A → B, такое, что F (A) = B.
Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности, так как онообладает следующими очевидными свойствами:3Теоретический материал взят из [7].481) любое множество равномощно самому себе (рефлексивность);2) если A равномощно B, то B равномощно A (симметричность);3) если A равномощно B и B равномощно C, то A равномощно C (транзитивность).Тот факт, что множества A и B равномощны, мы будем обозначать A ∼ B.Все множества можно разбить на непересекающиеся классы равномощныхмножеств.
Мощностью (или кардинальным числом) множества назовём классэквивалентности, которому это множество принадлежит. Мощность какоголибо множества A мы будем обозначать через cardA. Выражение cardA =cardB означает, что множества A и B равномощны, то есть что A ∼ B.Если A – конечное множество, то принято определять cardA как количество элементов множества A.Определение. Если множество A равномощно множеству N, то говорят, чтоA – счетно.
Множество называется не более, чем счётным, если оно конечноили счётно.Множества мощности континуума. Скажем, что множество имеет мощность континуума, если оно равномощно отрезку [0, 1]. Для обозначения мощности континуума мы будем использовать латинскую букву c. Любой промежуток вещественной прямой (как и вся прямая) имеет мощность c.Задача 01. Доказать, что множество четных натуральных чисел являетсясчетным.Задача 02. [11], §2, N 2.1, Стр. 14.
Пусть множества Aj , j ∈ N , – не более∞SAj не более чем счётно.чем счётные. Доказать, что множество A =j=1Решение. Пусть B1 = A1 иBn = An \n−1[Ajj=1при n = 2, 3, . . .. Ясно, что тогда все Bj не более чем счётны иA=∞[Aj =j=1∞aj=149Bj .ijПусть Bj = {bj,i }i=1при j ∈ N, где ij могут быть конечными или бесконечны-ми. Занумеруем элементы множества следующим образом. Пусть a1 = b1,1 ,a2 = b1,2 , a3 = b2,1 , a4 = b1,3 , a5 = b2,2 , a6 = b3,1 и т.
д.: в порядке возрастаниясуммы индексов, а при фиксированной сумме индексов – в порядке возрастания первого. Если очередной элемент bi,j не существует, т. е. i > ij , то мы егопропускаем. Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствиемежду множествами и N (или между и некоторым конечным множеством,Pеслиij < ∞).jЗадача 03. [11], §2, N 2.2, Стр. 14. Доказать, что множество Q ∩ [0, 1] счётно.Решение. Пусть An = { mn : m = 0, 1, . . . , n} при n ∈ N. Очевидно, что Anконечно для каждого n иQ ∩ [0, 1] =∞[An .n=1Так как множество Q ∩ [0, 1] бесконечно, то в силу результата задачи 2.1 оносчётно.Задача 04.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
