1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . . . . . . . . . . . . . . 75724.3Пример на стр. 265, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75824.4Задача 141 на стр. 332, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 75824.5Задачи 146-152 на стр. 333, [14] . . . . . . . . . . . . . . . 75924.6Задачи 159-161 на стр. 333, [14] . . . . . .
. . . . . . . . . 75924.7Задача 115 на стр. 274, §10, [5] . . . . . . . . . . . . . . . 760Seminar on 02.05.2019. Формула Грина. Формула Стокса. . . . 76025.1Пример на стр. 271, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76125.2Пример на стр. 273, [14] . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 76325.3Задача 100 на стр. 272, §10, [5] . . . . . . . . . . . . . . . 76325.4Задача 103.5 на стр. 272, §10, [5] . . . . . . . . . . . . . . 76325.5Пример на стр. 275, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76425.6Пример на стр. 276, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76625.7Задача 103 на стр. 272, §10, [5] . .
. . . . . . . . . . . . . 76825.8Пример на стр. 273, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76825.9Задача 61 на стр. 293, §11, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 76925.10 Задача 62 на стр. 293, §11, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 7693726Seminar on 06.05.2019. Формула Гаусса-Остроградского . .
. . . 76926.1Задача. Cм. формулы (27), (28) на стр. 300, §12, [5] . . . 77026.2Задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77126.3Пример на стр. 306, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77126.4Пример на стр. 308, [14] . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 77326.5Задача 45 на стр. 291, §11, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 77626.6Задача 46 на стр. 291, §11, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 77626.7Задача 49 на стр. 291, §11, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 77727Seminar on 13.05.2019. Подготовка к контрольной работе . . . . 77728Seminar on 16.05.2019. Коллоквиум. Дополнительные вопросы по трем контрольным работам 10, 17, 27 . . .
. . . 77829Seminar on 20.05.2019. Коллоквиум. Дополнительные вопросы по трем контрольным работам 10, 17, 27 . . . . . . 77830Seminar on 23.05.2019. Подведение итогов и формированиесписка оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7783132Additional Seminar 01. Равномерная сходимость рядов Фурье . . 77831.1Задача . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77931.2Задача 129, §22, [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779Additional Seminar 02. Ориентация кусочно-гладкой кривой L ⊂R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7793332.1Пример на стр.
221, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78132.2Пример на стр. 221, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78132.3Пример на стр. 221, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78232.4Пример на стр. 227, [14] . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 783Additional Seminar 03. Ориентация кусочно-гладкой поверхности в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78433.1Задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78833.2Задача . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7893834Additional Seminar 04. Координатный вид кососимметрическихформ. Координатный вид дифференциальных форм. Точные изамкнутые дифференциальные формы. Сужение дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 78934.1Задача № 3, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78934.2Задача № 4, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78934.3Задача № 12, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 78934.4Задача № 13, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79034.5Задача № 16, Стр. 320, [14] .
. . . . . . . . . . . . . . . . 79034.6Задача № 17, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79034.7Задача № 18, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79034.8Задача № 20, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79034.9Задача № 21, Стр. 320, [14] . . . . . .
. . . . . . . . . . . 79034.10 Задача № 22, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79134.11 Задача № 24, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79134.12 Задача № 25, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79134.13 Задача № 26, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79134.14 Задача № 27, Стр. 320, [14] .
. . . . . . . . . . . . . . . . 79134.15 Задача № 28, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79134.16 Задача № 29, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79234.17 Задача № 30, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79234.18 Задача № 31, Стр. 320, [14] . . . . .
. . . . . . . . . . . . 79234.19 Задача № 32, Стр. 320, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79234.20 Задача № 33, Стр. 321, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79234.21 Задача № 34, Стр. 321, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79234.22 Задача № 35, Стр. 321, [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 79235Additional Seminar 05. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 79335.136Задача. С. 248. [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793Additional Seminar 06. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79636.1Задача 64 на стр. 311, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 79636.2Задача 65 на стр. 311, §12, [5] .
. . . . . . . . . . . . . . . 7963936.3Задача 97 на стр. 316, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 79636.4Задача 98 на стр. 316, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 79636.5Задача 99 на стр. 316, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 79736.6Задача 120 на стр. 319, §12, [5] . . . . . . . . . . .
. . . . 79736.7Задача 121 на стр. 319, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . 79836.8Задача 131 на стр. 320, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . 79836.9Задача 132 на стр. 320, §12, [5] . . . . . . . . . . . . . . . 79840Глава 1Semester I1Seminar n. 01Элементы теории множеств.1Кванторы.• ∃ существует (Exists)• ∀ для всех (for all)Другие обозначения• ⇒ следует• ⇔ тогда и только тогда, когда• ∼ эквивалентно• ∈ принадлежит• ∨ или• ∧и• A = {x : x ∈ A} множество всех таких x ∈ A• A ⊂ B (A есть подмножество B) ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ BОперации над множествами.1Теоретический материал взят из [7].41• A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}• A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}• A t B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B, A ∩ B = ∅}• A\B = {x ∈ A ∧ x ∈/ B}• A 4 B = {x : x ∈ A\B ∨ x ∈ B\A} = (A\B) ∪ (B\A)Задача 1.
[3], §1, N 1 Стр. 9. Даны множества A, B, C. С помощью операций объединения и пересечения записать множество, состоящее из элементов,принадлежащих:1) всем трём множествам:Ответ:A ∩ B ∩ C = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}.2) хотя бы одному множеству:Ответ:A ∪ B ∪ C = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}3) по крайней мере двум из этих множеств:Ответ:(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C) ={x : {x ∈ A ∧ x ∈ B} ∨ {x ∈ B ∧ x ∈ C} ∨ {x ∈ A ∧ x ∈ C}}.Задача 2. [11], §1, N 1.41 Стр. 9. Пусть даны множества A, B и C.
Выразитьследующее множество через A, B и C при помощи операций ∪, ∩, \ и 4:множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B, ноне принадлежащих C.Ответ:(A ∪ B)\C = {x : {x ∈ A ∨ x ∈ B} ∧ x ∈/ C}.42Задача 3. [3], §1, N 1 Стр. 9. Доказать, что равенство 1) A ∪ B = B вернотогда и только тогда, когда A ⊂ B.Решение. Из равенства 1) следует A ⊂ B. Предположим противное: ∃x :x∈A∧x∈/ B. В силу равенства 1) ⇒ x ∈/ A. Получили противоречие.Докажем, что из A ⊂ B следует равенство 1).
Показать самостоятельно.A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Нужно показать что выполнены два включения:B ⊂ A ∪ B, A ∪ B ⊂ B.Задача 4. [11], §1, N 1.1, Стр. 7. Пусть A, B и C – произвольные множества.Доказать следующее равенство(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).Решение. x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇔ {x ∈ A ∨ x ∈ B} ∧ x ∈ C ⇔ {x ∈ A ∧ x ∈C} ∨ {x ∈ B ∧ x ∈ C} ⇔ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).Задача 5. [11], §1, N 1.2, Стр. 7.
Пусть A, B и C – произвольные множества.Доказать следующее равенство(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).Решение. x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇔ {x ∈ A ∧ x ∈ B} ∨ x ∈ C ⇔ {x ∈ A ∨ x ∈C} ∧ {x ∈ B ∨ x ∈ C} ⇔ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).Задача 6. [11], §1, N 1.3, Стр. 7. Пусть A и B – произвольные множества.Доказать следующее равенствоA ∩ B = A\(A\B).Решение. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈/ A\B ⇔ x ∈ A\(A\B).Задача 7. [11], §1, N 1.4, Стр. 9.
Пусть A, B и C – произвольные множества.Доказать следующее равенствоA\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).Решение. x ∈ A\(B\C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈/ B\C ⇔ {x ∈ A ∧ x ∈/ B} ∨ {x ∈A ∧ x ∈ C} ⇔ x ∈ (A\B) ∪ (A ∩ C).43Задача 8. [11], §1, N 1.5, Стр. 7. Пусть A, B и C – произвольные множества.Доказать следующее равенство(A\B)\C = A\(B ∪ C).Решение. x ∈ (A\B)\C ⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈/ C ⇔ {x ∈ A ∧ x ∈/ B} ∧ x ∈/C⇔x ∈ A\(B ∪ C).Задача 9. [11], §1, N 1.12, Стр.
8. Пусть A и B – произвольные множества.Доказать следующее равенствоA4B = (A ∪ B)\(A ∩ B).Решение. x ∈ A4B ⇔ {x ∈ A ∧ x ∈/ B} ∨ {x ∈ B ∧ x ∈/ A} ⇔ {x ∈ A ∨ x ∈B} ∧ x ∈/ A ∩ B ⇔ x ∈ (A ∪ B)\(A ∩ B).Задача 10. [3], §1, N 7.1, Стр. 9.Определить, в каком отношении (X ⊂ Y , X ⊃ Y , X = Y ) находятся множества X и Y , если X = A ∪ (B\C), Y = (A ∪ B)\(A ∪ C).Решение. Подсказка: нужно показать, что Y = B\(A ∪ C), X = A ∪ Y .Самостоятельная работа в конце занятия на 10 минут – нарисовать графики функций:1.x2 −1x−1 ,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
