1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 13
Текст из файла (страница 13)
a) Доказать, что xn (n = 1, 2, . . .) есть бесконечно малая(т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого ε > 0 число, N = Nε такое,что |xn | < ε при n > Nε , если xn =Решение. ∀ε > 0 из неравенства тельно, Nε = 1ε + 1.(−1)n+1.n(−1)n+1| n |< ε следует, что n > 1ε . Следова-Задача 04. [2], N 42. a) Доказать, что xn (n = 1, 2, . . .) есть бесконечно малая(т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого ε > 0 число, N = Nε такое,что |xn | < ε при n > Nε , если xn =nn3 +1 .Решение.
∀ε > 0 из неравенства 0 <h i1n > √ε . Следовательно, Nε = √1ε + 1.nn3 +1=1n2 + n1<1n2< ε следует, чтоЗадача 05. Доказать, что lim q n = 0, q ∈ (0, 1).n→∞ln 1Решение. ∀ε > 0 из неравенства q n < ε следует, что n > ln 1ε . Следовательно,qh 1iln εNε = ln 1 + 1.q√Задача 06. [2], N 63. Доказать, что lim n a = 1, a > 1.n→∞√ln an.Решение. ∀ε > 0 из неравенства a − 1 < ε получим n > ln(1+ε)Число a не является пределом последовательности {xn }n∈N , если существует такое число ε > 0, что для любого натурального N найдется номерn ≥ N такой, что|xn − a| ≥ ε,короче,∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N :|xn − a| ≥ ε;на языке окрестностей: если существует окрестность числа a, вне которойнаходится бесконечно много членов последовательности.Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом, другими словами, если для любого числа a существуеттакое число ε > 0, что для любого натурального N найдется номер n ≥ N64такой, что|xn − a| ≥ ε,короче,∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀N∃n ≥ N :|xn − a| ≥ ε.Задача 07.
[3], §8, N 12, 1. Доказать, что число a не является пределомпоследовательности {xn }n∈N , если xn = (−1)n , a = −1.Решение. Рассмотрим подпоследовательность x2n − a = 2 ∀n ∈ N.Задача 08. [3], §8, N 12, 3. Доказать, что число a не является пределом1последовательности {xn }n∈N , если xn = cos nπ3 , a = 2.Решение. Рассмотрим подпоследовательность x6n − a =12∀n ∈ N.Задача 09. [3], §8, N 13, 1.
Доказать, что последовательность {xn }n∈N расходится, если xn = (−1)n .Решение. Пусть a 6= −1. Рассмотрим подпоследовательность x2n−1 , ∀n ∈ N.Тогда |x2n−1 − a| = |1 + a| =6 0.Пусть a 6= 1. Рассмотрим подпоследовательность x2n , ∀n ∈ N. Тогда |x2n −a| = |1 − a| =6 0.Задача 10. [3], §8, N 13, 2. Доказать, что последовательность {xn }n∈N расходится, если xn = n.Задача 11.
[3], §8, N 13, 5. Доказать, что последовательность {xn }n∈N расходится, если xn = sin n.рим подпоследовательность {ynk }k∈N : yn2k−1 → α ∈n2π ∈ (0, 2π). Рассмот5π 7π[ π4 , 3π4 ], yn2k → β ∈ [ 4 , 4 ].Решение. xn = sin n = sin yn ∈ (−1, 1), yn = n − 2π ·Следовательно, xn2k → sin α > 0, xn2k → sin β < 0.Задача 12. [3], §8, N 20. Доказать, что последовательность {xn }n∈N расходится, если xn =2n+1 −(−3)n(−2)n +3n+1 .n+1 2 n( 3 ) +1)n+1 (2(−1)Решение. xn = (−1)9((−1)n ( 23 )n +3)(2(−1)n+1 ( 23 )n +1) 1= 3.2n→∞ ((−1)n ( 3 )n +3), limSeminar n. 0965Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.Задача 01. [3], §8, N 89. 1.
Записать с помощью символов ∀, ∃ определениетого, что lim xn = ∞.n→∞Решение. ∀ε > 0 ∃ Nε ∈ N: |xn | >1ε∀n > Nε .1n→∞ xnЗадача 02. [3], §8, N 84. 1. Пусть xn 6= 0, lim xn = 0. Доказать, что limn→∞=∞.Решение. ∀ε > 0 ∃ Nε : |xn | < ε| x1n | >1ε∀n > Nε . Следовательно, ∀ε > 0 ∃ Nε ∈ N:∀n > Nε .1n→∞ xnЗадача 03. [3], §8, N 84. 2. Пусть xn 6= 0, lim xn = ∞. Доказать, что limn→∞=0.Решение.
∀ε > 0 ∃ Nε : |xn | >| x1n | < ε1ε∀n > Nε . Следовательно, ∀ε > 0 ∃ Nε ∈ N:∀n > Nε .Арифметические свойства пределов.Теорема. Пусть {xn }n∈N и {yn }n∈N – сходящиеся последовательности и lim xn =n→∞α, lim yn = β. Тогдаn→∞а) lim (xn + yn ) = α + β;n→∞б) lim (xn yn ) = αβ;n→∞xnn→∞ ynв) если β 6= 0 и yn 6= 0 для всех n ∈ N, то lim= αβ .г) если β 6= 0 и yn > 0 для всех n ∈ N, то lim yn xn = β α .n→∞nPЗадача 04. [3], §8, N 41. Пусть |q| < 1, Sn =a1−q .Решение. Sn =aq k . Доказать, что lim Sn =k=0nPk=0n+1)aq k = a (1−q(1−q) .(1+a+a2 +...+an )2n ,n→∞ (1+b+b +...+b )Задача 05.
[2], N 50. lim66(|a| < 1, |b| < 1).n→∞Решение.1 + a + a2 + . . . + an=n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn(1 + a + a2 + . . . + an )(1 − a)(1 − b)lim=n→∞ (1 + b + b2 + . . . + bn )(1 − a)(1 − b)1−b(1 − an+1 )(1 − b)=.limn→∞ (1 − bn+1 )(1 − a)1−alimЗадача 06. [3], §8 N 45. 1. Найти lim xn , если xn =n→∞√n8−1√.n16−1Решение. В силу арифметических свойств пределов√√√√( n 8 − 1)( n 2)3 − 1( n 2)2 + n 2 + 1√√lim √= lim √= lim √n→∞ ( n 16 − 1)n→∞ ( n 2)4 − 1n→∞ ( n 2)3 + ( n 2)2 + n 2 + 1√√lim ( n 2)2 + lim n 2 + 13n→∞n→∞√√√==.lim ( n 2)3 + lim ( n 2)2 + lim n 2 + 1 4n→∞n→∞n→∞√√Задача 07. [3], §8 N 53.
1. Найти lim xn , если xn = n2 + 1 − n2 − 1.n→∞√√22Решение. n + 1 − n − 1 = √n2 +1+2 √n2 −1 = √ 1 2 √ 1 · n1 .Задача 08. [3], §8 N 53. 1. Найти lim xn , еслиn→∞1+ n2 + 1− n2√n2 +1−n√ .xn = √n+1−nРешение.√√√√√n2 + 1 − n( n2 + 1 − n) ( n2 + 1 + n) ( n + 1 + n)√√√√ = √√√n + 1 − n ( n + 1 − n) ( n2 + 1 + n) ( n + 1 + n)qq√√11 + n + n1n+1+ n1= √= · q.n1n2 + 1 + n1 + n2 + 110Seminar n.
10Теорема. (Принцип двух полицейских) Пусть {an }n∈N и {bn }n∈N – числовыепоследовательности, сходящиеся к одному и тому же пределу p. Если an ≤cn ≤ bn для всех n ∈ N, то последовательность {cn }n∈N также сходится к p.Задача 09. Доказать, что lim q n = 0, q ∈ (0, 1).n→∞Решение. Пусть a =1q> 1, b = a − 1. Тогда, q n =671an<11+nb<1nb .nknn→∞ anЗадача 10. [2], N 60. Доказать, что lim= 0 (a > 1).Решение. Пусть a = (1 + b). Тогда a = (1 + b)n > Cnk+1 bk+1 . Следовательно,при n > 2knknknk (k + 1)!<=<anCnk+1 bk+1n(n − 1) · .
. . · (n − k)bk+12k (k + 1)! 1(k + 1)!<· .bk+1nn(1 − n1 ) · . . . · (1 − nk )bk+1loga n= 0, a > 1.n→∞ nРешение. ∀ε > 0 из неравенства logna n < ε получим (anε )n <nЗадача 12. [2], N 61. Доказать, что lim an! = 0, a ∈ R.n→∞Задача 11. [2], N 64. Доказать, что lim1.Решение. Пусть |a| ≤ k ∈ N. Тогда nn−knn−kkk a |a|k|a||a||a|(k+1)|a| =<=. n! k! (k + 1) · . . . · nk! k + 1k!k+1Поскольку|a|k+1< 1, то по принципу двух полицейскихan= 0.n→∞ n!√Задача 13. [2], N 65. Доказать, что lim n n = 1.n→∞√Решение. Пусть αn = n n − 1. Покажем, что lim αn = 0.
Следовательно,n→∞qn(n−1) 2nn = (αn + 1) > 1 + 2 αn . Таким образом, αn < n2 .limТеорема (Вейерштрасса) . Ограниченная и монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность имеет конечный предел.Задача 01. Последовательность xn = (1 + n1 )n , n ∈ N, строго возрастает, т. е.∀n xn < xn+1 , ограниченна: 2 ≤ xn < 3, поэтому имеет предел, обозначаемыйe, lim (1 + n1 )n = e.n→∞Решение. Рассмотрим 2n+11 n+11 + n+1n + 2n(n + 1)xn+1===nxn(n + 1)2n1 + n1n+11(n + 1)1(n + 1)1−>1−= 1.(n + 1)2n(n + 1)nПокажем ограниченность последовательности: xn = (1 + n1 )n = 1 + Cn1 ·1n+11Cn2 · n12 + .
. . + Cnn−1 · nn−1+ n1n < 1 + 1 + 2!1 + . . . + n!1 < 1 + 1 + 12 + . . . + 2n−1< 3.6811Seminar n. 11Задача 02. Последовательность yn = (1 + n1 )n+1 , n ∈ N, строго убывает, т. е.∀n yn+1 < yn , ограниченна 2 < yn ≤ 4, поэтому имеет предел, обозначаемыйe, lim (1 + n1 )n+1 = e.n→∞Решение. Рассмотримn+1n+21 + n1yn(n + 1)2n===·1 n+2yn+1(n + 2)n(n + 1)1 + n+1n+211(n + 1)n1+> 1+·= 1.·(n + 2)n(n + 1)nnЗадача 03. [2], N 71. Пусть {pn }n∈N – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +∞, и {qn }n∈N – произвольная п оследовательность чисел,стремящаяся к −∞ (pn , qn ∈/ [−1, 0]). Доказать, чтоpq1 n1 nlim 1 += lim 1 += e.n→∞n→∞pnqnРешение. Пусть 0 < kn − 1 < pn ≤ kn ∈ N, ∀n > n0 , kn = dpn e = min{k ∈Z : k ≥ pn }n∈N .
Следовательно,k −1 k −1 p1 n1 n1 n≤ 1+≤ 1+1+≤knpnpnkkn1 n11+≤ 1+.pnkn − 1k −1kkn1 n1 nlim 1 += limlim 1 += e,n→∞ kn + 1 n→∞n→∞knknkn(kn −1)+111lim 1 += lim 1 += e.n→∞n→∞kn − 1kn − 1Здесь kn → ∞ может и не являтьсямонотоннойпоследовательностью. Такимknобразом, последовательности 1 + k1nи(kn −1)+11 + kn1−1могут и не являться подпоследовательностями последова69тельностей (1 + n1 )n и (1 + n1 )n+1 . Можно выбрать in = inf{kr |r > n} – монотонно возрастающая последовательность.
Имеемik1 n1 n1+≤ 1+< e,inkne< 1+1kn − 1(kn −1)+1≤ 1+1in − 1(in −1)+1.Представимq−|qn | |qn |1 n1|qn |1+= 1−==qn|qn ||qn | − 1|qn | |qn |−1 111= 1+1+.1+|qn | − 1|qn | − 1|qn | − 1Пример. Пусть {zn }n∈N — бесконечно большая последовательность. Используяlim 1 +n→∞получим lim 1 +n→∞1 zn xnzn1 zn= e,znlim x= en→∞ n .Задача 04. [3], §8. N 166. 1. Найти lim xn , где xn = 1 +nn→∞ n+kРешение. limlimn→∞n→∞11+n+kn= limn→∞11+n+kn(n+k) n+kn→∞= e.1 n2n ;n2n 21√11= lim 1 +lim 1 += e.n→∞n→∞2n2nЗадача 06.
[3], §8. N 166. 6. Найти lim xn , где xn = 1 −n→∞Решение.k ∈ N.= 1.Задача 05. [3], §8. N 166. 5. Найти lim xn , где xn = 1 +Решение.1 nn+k ,1 nn ;n(−n)(−1)111lim 1 −= lim 1 −= .n→∞n→∞nneЗадача 07. [3] §8. N 163. 2. Доказать, что последовательность {xn }n∈N сходится, если xn = 1 +122+133+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
