1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Cуществует φ1≠φ2. Иными словами существуетu∈X*:φ1(u)≠φ2(u).Среди таких u (их, вообще говоря может быть много). Выберем какое-нибудь u∈X^n снаименьшим n>1 (при =1 имеем φ(u)=α(u) и по построению φ1(u)=φ2(u)). Тогда u=(u1,...un).Обозначим (u1,...u(n-1)) как v. Тогда u=v+un и так как φ1,φ2 — гомоморфизмы то φ(v o un)=φ1(v)*φ1(un), φ(v o un)=φ2(v)*φ2(un).
По нашему предположению φ1(v)*φ1(un)≠φ2(v)*φ2(un),но φ1(un)=φ2(un)=α(un). К тому же поскольку мы взяли u как наименьший по модулю элементΧ*, для которого выполняется наше предположение, то для всех элементов меньших u помодулю φ1=φ2. Но |v|=|u|-1. Следовательно φ1(v)=φ2(v). Получаем противоречие.У читателя может возникнуть вопрос: а как же доказательство существования и единственностикакого-то гомоморфизма доказывает наше утверждение.Заметим что ввиду того что φ: X* → A, s: M(X) → X* отображение φ(x) можно записать к φ(s(t)),где t — некоторый терм. Тогда очевидно что если t1=t2 то φ(s(t1))=φ(s(t2)). Пусть t=t1*t2*...tn,тогда s(t)=s(t1) o s(t2) o … o s(tn).Тогда φ(t)=φ(t1)*φ(t2)...*φ(tn)=α(t1)*α(t2)*...*α(tn)=α(t1*t2*...tn)=α(t), что и требовалось.Единственность же гомоморфизма предупреждает ситуацию, когда термы, неэквивалентные водном отображении оказались эквивалентны в другом (что невозможно по определению s) /Как следствие, значение терма в полугруппе не зависит от расстановки скобок.ГруппыОпределение 4.5Алгебраическая система (А;*) с одной бинарной операцией называется группой, если:1)(a*b)*c=a*(b*c) (* ассоциативна)2)существует такой элемент e что a*e=a Для любого а ∈А (нейтральный элемент)3)для любого элемента а∈А существует такой элемент а^-1∈A что а*а^-1=e (обратныйэлемент)К тому же если для всех a,b∈A a*b=b*a группа называется абелевой (или коммутативной).Нетрудно заметить что e единственен, и для каждого а -а также единственен (доказательствобыло дано для полей в курсе математического анализа).Если бинарная операция группы называется «сложением», то группа называется аддитивной.Если операция называется «умножением», то группа называется мультипликативной.Пример: (Ζ;+) (аддитивная группа Z),Если F — поле, то(F;+) (аддитивная), (F\{0};*) (мультипликативная) группы F.Также группами являются (Gln(F);*), где Gln(F):={A∈Mn(F)|det(A)≠0) — общая линейнаягруппа F^n.(Sln(F);*), где Sln(F):={A∈Mn(F)|det(A)=1} — специальная линейная группа F^n.(On(F);*), где On(F):={A∈Mn(F)|Α*ΑΤ=Ε} — ортогональная группа пространства F^n.Определение 4.6Пусть <G;*> - группа , a∈GПорядком элемента а называется наименьшее натуральное Ν такое что а^Ν=e, e- единичныйэлемент G.
(обозначается |a|=N)Если такого порядка N не существует, то a называется элементом бесконечного порядка (|a|=∞)Лемма 4.1Пусть <G;*> - группа a∈G, |a|=N<∞ e — единичный элемент G.Тогда для любого n∈Z a^n=e <=> n=Nq, q∈ZДоказательство:Пусть a^n=e. n≥e, так как Ν по определению наименьшее число такое что a^N. При N=nочевидно верно, пусть n>N. Тогда поделим n на Ν с остатком (n=N*q+r) q,r<NНо тогда e=a^n=a^N*q+r=a^N*q*a^r=a^N^q*a^r но a^N=e а значит что a^N^q=e.Тогда имеем что e=e*a^r, но поскольку r<N, а Ν по определению наименьшее натуральное, такоечто a^N=e то r=0, что и требовалось.Определение 4.7Пусть <G;*> - группа, H⊊G — непустое подмножество G.H называется подгруппой G если H является группой относительно операции умножения * намножестве G.Лемма 4.2Пусть H — подгруппа группы <G;*>.
Тогда:1)Для любых a,b∈H → a*b ∈ Η2)Единичный элемент группы G eG лежит в H.3)Для любого а∈H его обратный в группе G а^(-1) ∈H.Доказательство:1)Поскольку H — подгруппа <G;*>, то a*b∈Η (замкнутость относительно операции *)2)Пусть eH — единичный элемент в Η. Докажем что eH=eG: заметим что для любого h∈Hh*eH=h. Тогда домножим обе части равенства h^(-1), обратный h в группе G слева (поскольку,вообще говоря, коммутативности нет). Тогда h^(-1)*h*eH=h^(-1)*h. Но тогда eG*eH=eG, нопоскольку eH ∈ G, то eG*eH=eH, но тогда имеем что eH=eG, что и требовалось.3)Пусть a^(-1)h — обратный а в Η (так как Η группа, то он существует).
Покажем, чтоa^(-1)g=a^(-1)h.По пункту 2 имеем a*a^(-1)h=eH=eG=a*a^(-1)^g то есть a^(-1)h=a^(-1)g, поскольку обратныйэлемент является единственным.Лемма 4.3Пусть <G;*> - группа, H⊊G — непустое подмножество G. ТогдаH≤G (H является подгруппой в G) <=> Для любых a,b∈H a*b^(-1) ∈HДоказательство:=>По 3 пункту леммы 4.2 b∈H, b^(-1)∈H, а также поскольку H — подгруппа то a*b^(-1)∈H(замкнутость)<=Пусть a=b → b*b^(-1)=e∈Η (в Η лежит единичный элемент)Тогда пусть a=e и e*b^(-1)∈Η но тогда для каждого элемента b∈H → b^(-1)∈H (в H у каждогоэлемента есть обратный)Наконец проверим что a*b∈H, но заметим что b=b^(-1)^(-1), но по доказанному ранее b^(-1)∈Hтогда a*b^(-1)^(-1)=a*b∈HЧто и требовалось.Лемма 4.4Пересечение набора подгрупп группы G является подгруппой в G.Доказательство:Пересечение не пусто, так как в нем лежит единичный элемент.Пусть a,b∈⋂Hi (Hi — подгруппа), но так как b∈⋂Hi , то b лежит в каждой подгруппе, но тогда иb^(-1) лежит в каждой подгруппе, но тогда a*b^(-1)∈⋂Hi, и следовательно ⋂Hi≤G.ПримерГn — множество корней n степени из 1 являетс подгруппой в мультипликативной группе полякомплексных чисел <С*;*>Определение 4.8Пусть <G;*> - группа, M⊊G — подмножество (не обязательно подгруппа)Обозначим через M` множество всех таких подгрупп H≤G что M⊊Η.Положим <Μ>=⋂ Η∈Μ`≤G — наименьшая подгруппа, содержащая Μ (является подгруппой полемме 4.4).<Μ> называется подгруппой группы G, порожденной множеством М.Если <Μ>=G, то говорят, что группа G порождена множеством М.Если группа G порождена каким то своим конечным подмножеством, то она называетсяконечнопорожденной.Если G не порождается никаким своим подмножеством, то она называетсябесконечнопорожденной.Определение 4.9Группа называется циклической, если она порождена одним из своих элементовG=<{a}>=[a], для некоторого а∈GДля каждого n∈Z определим a^n по индукции:a^0=ea^1=aa^(n+1)=a^n*a, n≥1a^-n=a^n^(-1)Лемма 4.5Пусть G — группа, a∈G, H=<a>≤G.
Тогда любой элемент b∈H имеет вид b=a^n для некоторогоn∈ZДоказательство:Рассмотрим множество M:={a^n|n∈Z}. Докажем что оно является подгруппой, тогда этомножество и будет группой Η.Воспользуемся леммой 4.3: c*b^(-1)∈H. Заметим что c=a^m, b=a^-n. Но из теоремы ообобщенной ассоциативности следует что a^m*a^-n=a^m-n ∈H, что и требовалось.Следствие 4.5.1Все циклические группы абелевы:<a>={a^n|n∈Z}≤GДоказательство:a^n*a^m=a^(n+m)=a^m*a^n (т.к. сложение в Z коммутативно)Теорема 4.2Пусть <G;*> - циклическая группа. Тогда, если |G|=∞ то G изоморфна аддитивной группе целыхчисел, а если |G|=k<∞ то G изоморфна группей корней k-ой степени из единицы.Доказательство:Заметим, что <G;*> = <a>={a^n|n∈Z}.1)Пусть |G|=∞Тогда возьмем отображение φ G→ Z: n → a^n.
Покажем, что φ — изоморфизм.Заметим что n1≠n2 то a^n1≠a^n2 и для любого g∈G существует n:g=a^n (т. к. G — циклическаягруппа). Таким образом мы доказали биективность φ.Покажем, сохранение операций: φ(n+m)=a^n+m=a^n*a^m=φ(n)*φ(m), что и требовалось2)Пусть |G|=N<∞Тогда в G есть повторяющиеся элементы (например a^1=a^(N+1)). Тогда можно заметить, что вомножестве G ровно N элементов (по определению замкнутости группы на операции). Тогдаопределим отображение φ:G → Γ a^n → ζ^n.Биективность доказывается аналогично предыдущей части доказательства.Покажем, что φ сохраняет операции: φ(a^n*a^m)=φ(a^(n+m))=ζ^(m+n)=ζ^m*ζ^n=φ(a^m)*φ(a^n),что и требовалось.Определение 4.10Пусть <G;o>, <H;*> - группы. Отображение φ: G→ H такое что φ(x o y)=φ(x)*φ(y) называетсягомоморфизмом групп.Предложение 4.1Пусть φ — гомоморфизм из определения выше. Тогда1)φ(eG)=eH2) φ(x^(-1))=φ(x)^(-1)3)φ(G) является подгруппой в группе HДоказательство:1)φ(eG ο eG)=φ(eG)=φ(eG) * φ(eG) .
Домножив последнее равенство слева на обратный кφ(eG)^(-1) элемент из Η. Тогда имеем что eH=φ(eG)2)φ(x*x^(-1))=φ(x)*φ(x^(-1)). Но выражение слева= φ(eG)=eH Но тогда имеем что φ(x)*φ(x^(1))=eH И получаем что φ(x^(-1))=φ(x)^(-1) (поскольку обратный элемент в группе единственен).3)Докажем что φ(G)≤H. Понятно, что φ(G)≠∅ (в нем есть eg)Тогда пусть a,b∈φ(G) a=φ(x) b=φ(y). Докажем что a * b^(-1)∈φ(G) но a*b^(-1)=φ(x) ο φ(y)^(-1)=φ(x) ο φ(y^-1)= φ(x o y^-1)∈φ(G), что и требовалось.Перестановки(Вообще у нас в лекциях подстановки но в опросе на моей страничке в вк сосчетом 3:1 побеждают перестановки)Определение 4.11Пусть M — непустое множество.Перестановкой на множестве М называется любое биективное отображение σ: M → MM={1..n} — множество из n элементов.Sn — множество всех перестановок на множестве из n элементов.σ τ ∈Sn => στ∈Sn (суперпозиция отображений)Sn образует группу относительно суперпозиции.Запись элемента группы перестановокτ∈Sn: {1...n} → {1..n}12…nτ(1) τ(2) … τ(n)Поскольку все элементы τ(i) различны то Sn содержит n! Элементов.Перестановки можно представить в виде матриц:Пусть F — любое поле (например Q)Отображение ρ: Sn → Mn(F) определим такρ(τ)=sum(i=1 to n, e(τ(i),i)Например перестановка 1 2 3 → 3 1 2 => e31+ e12+ e23=(0 1 00011 0 0)Подстановки применяем справа налевоТеорема 4.3Отображение ρ: Sn → Mn(F) является инъективным гомоморфизмом в группу On(F)Доказательство:Пусть σ, τ ∈ Sn.
А=ρ(τ), Β=ρ(σ)Для начала докажем, что A,B∈GL(n) (т. е. Что det(Χ)≠0), показав таким образом, что r(Χ)=nДокажем индукцией по nn=1 А=(1) |Α|=1n-1 → nРазложим определитель по 1 столбцу. Поскольку в нем есть только одна единица (а остальныеэлементы — нули) то имеем что |Α|=(-1)^(τ(1)+1)*A(τ(1),1). Но по предположению индукцииA(τ(1),1)=1 (поскольку матрица размером (n-1) x (n-1)) получаем что |Α|=+-1≠0Теперь докажем что ρ сохраняет операции: имеем ρ(τ)*ρ(σ)=Α*Β=sum(i=1 to n, e(τ(i),i)*sum(j=1to n, e(σ(j),j)=sum(i=1 to n, sum(j=1 to n, e(τ(i),i)*e(σ(j),j)))Тогда заметим что ρ(τσ)=sum(i=1 to n, e(τσ(i),i)=sum(i=1 to n, e(τ(σ(i)),i)=sum(i=1 to n, sum(j=1 ton, e(τ(i),i)*e(σ(j),j))), что и требовалось.Теперь докажем, что ρ(τ^(-1))*Α=Ε (т.е что А∈On(F)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
