1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 4
Текст из файла (страница 4)
над F относительно операций, определенных следующим образом:v+U+w+U=(v+w)+Ua*(v+U)=av+UДоказательство:Для начала проверим замкнутость относительно операций:v1+U=v2+U <=> v1-v2∈Uw1+U=w2+U <=> w1-w2∈UДоказать: (v1+w1)+U=(v2+w2)+U и av1+U=av2+UЗаметим что v1+w1-(v2+w2)=(v1-v2)+(w1-w2)∈U (По лемме о подпространстве)Также a(v1-v2)∈U (по той же лемме)Осталось лишь проверить выполнение аксиом в.п.:Аксиомы группы очевидно выполняются:1)v1+U+v2+U=(v1+v2)+U=(v2+v1)+U2)(v1+(v2+v3))+U=((v1+v2)+v3)+U3)v1+U + 0+U=(v1+0)+U=v1+U4)v1+U +(-v)+U=0+UПроверим выполнение аксиом умножения на элементы поля:5)a((v1+v2)+U)=a(v1+U +v2+U)=av1+U + av2+U6)a(b(v+U)=a(bv+U)=abv+U=ab(v+U)7)1*v+U=1v+U=v+UУтверждение доказаноЭто пространство называется фактор-пространством векторного пространства V поподпространству U.Теорема 3.6 (О размерности фактор пространства)Пусть V — в.п.
над полем F.U — подпространство VТогда dim V/U=dim(V)-dim(U)Доказательство:Пусть u1...uk — Базис U. Тогда по лемме 3.5 мы можем дополнить его до базиса V. Пустьu1,...un, v1...vk — базис V. Докажем теперь что (v1+U,v2+U...vk+U) — базис V\U (В такомслучае мы получим требуемое утверждение, т. к. k=n+k-n и dim (U)=n)Сначала докажем линейную независимость этих векторов. Предположим противное:Тогда a1(v1+U)+...+ak(vk+U)=0, один из a1...ak≠0Или, по определению операций в фактор-пространстве:(a1v1+a2v2+...+akvk)+U=0Представим 0 как 0+U (0 принадлежит любому векторному пространству, а значит и факторпространству, следовательно представим в таком виде)(a1v1+a2v2+...+akvk)+U=0+Ua1v1+a2v2+...+akvk-0∈U => a1v1+...akvk∈U.Тогда разложим a1v1+...akvk по базису U.
a1v1+..akvk=b1u1+...bnun или a1v1+..akvk-b1u1-...bnun=0. Но т. к. a1..ak,u1...un — базис V, то нулю равна только их тривиальная линейнаякомбинация => следовательно мы получаем что исходная комбинация линейно независимая, ноэто противоречит нашему предположению.Теперь докажем что L(v1+U...vk+U)=V/UДоказательство включения вправо тривиально (Линейная оболочка векторов из пространствавсегда принадлежит пространству)Докажем включение влево:Пусть v+U∈V/U. Разложим v по базису V: v=a1v1+...akvk+b1u1+….bnunv+U=(a1v1+...akvk)+U (b1u1+...bnun ∈U, его можно занести в U)Но тогда a1v1+...akvk-v=-b1u1-...-bnun∈UИз чего следует, что v=a1v1+...akvk∈L(v1+U1+...vk+Uk) (Например можно взять U1=..=Uk=0)Что и требовалось.ГомоморфизмТеорема 3.7 (О гомоморфизме для векторных пространств)Пусть φ: V → W — линейное отображение в.п.
Тогда Im(φ) изоморфен V/Ker(φ)(Фактор-пространство по ядру изоморфно образу)Доказательство:Рассмотрим θ: V/Ker(φ)→ φ(v)=Im(φ), заданное правилом v+Ker( φ)= φ(v)Докажем сперва что отображение задано корректно:Иными словами Доказать: v1+Ker( φ)=v2+Ker( φ) => φ(v1)= φ(v2)Заметим что из условия следует что v1-v2 ∈Ker(φ) => φ(v1-v2)=0Но φ(v1-v2)= φ(v1)-φ(v2)=0 => φ(v1)=φ(v2)Теперь докажем биективность θ:Для начала докажем Инъективность:(Как ни странно, проведя обратные предыдущим рассуждения мы получим доказательствоинъективности)Пустьφ(v1)=φ(v2) φ(v1)-φ(v2)=0 =φ(v1-v2) => v1-v2 ∈Ker(φ) Получаем v1+Ker(φ)=v2+Ker(φ)Докажем сюръективность:Нужно доказать: ∀ y∈φ(v) ∃x: θ(x)=yЗаметим что y=φ(v)Возьмем x=v+Ker(φ)Тогда θ(x)=φ(v)=yСюръективность доказана.Наконец, докажем линейность отображения:Требуется доказать что θ(α(v1+Kerφ)+β(v2+Kerφ))=αθ(v1+Kerφ)+βθ(v2+Kerφ)или же что θ(αv1+βv2)+Ker(φ))=α*θ(v1+Kerφ)+β*θ(v2+Kerφ) (из определения операций в факторпространстве).
Применяя отображение получаем что нужно доказать чтоφ(αv1+βv2)=αφ(v1)+βφ(v2). Но это следует из определения φ.Следовательно наше отношение линейно и, как следствие, является изоморфизмом.ЧтдСледствие 3.7.1Любое подпространство является ядром некоторого линейного отображения.τ: V→ V/U τ(v)=v+uДоказательство:По определению фактор пространства τ: v → v+uПусть w∈Ker(φ), но тогда τ(w)=0=w+U=0+UИз этого следует w-0∈U и w∈U.
Следовательно Ker(φ)=U.Следствие 3.7.2Пусть V — в.п. над полем F. U,W — подпространства V. Тогда(U+W)/U изоморфно U/(U⋂W).В частности V=U⊕W <=> V/W изоморфно UДоказательство:Пусть ψ: U+W → U/(U⋂W)ψ: {u+w| u+ U⋂W}Докажем корректность отображения: Доказать u1+w1=u2+w2 =>ψ(u1+w1)=ψ(u2+w2)Заметим что u1-u2(∈U)=w1-w2(∈W) => u1+w1∈ U⋂W, u2+w2 U⋂W. => u1+ U⋂W=u2+ U⋂WПусть u∈Ker(φ), Тогда ψ(u+u)=u+U⋂W =0+ U⋂W => u ∈ U⋂W => u∈W => Ker(ψ)=WЗаметим что ψ очевидно сюръективно (В каждый элемент U/(U⋂W)<=U Можно перевестиэлемент, содержащий U) и по теореме 3.7 следствие доказано.Пространства линейных отображенийОпределение 3.16Пусть V — в.п.
над FHom(V.W)=HomF(V,W):={φ(v):V→ W|φ — линейно} (Множество всех линейных отображенийиз V в W)Операции в Hom(V,W):Сложение — (φ+μ)(v)=φ(v)+μ(v)Умножение на скаляр:(α*φ)(v)=a(φ(v))Утверждение:Ηom(V,W) является в.п. относительно заданных операций.Докажем замкнутость на операциях:φ(v)+μ(v)=w1+w2∈WДокажем что φ(v)+μ(v) — линейноφ(αv+βv1)+μ(εv+δv1)=αφ(v1)+εμ(v)+βφ(v1)+δμ(v1)Но так как оба отображения линейны то φ(αv+βv1)=αφ(v)+βφ(v1), аналогично для μ.Покажем для умножения:α(φ(bv1+cv))=αc(φ(v))+αb(φ(v1)) (напрямую следует из линейности φ)Проверим выполнение аксиом в.п.:...Теорема 3.8 (О изоморфизме гомоморфизма столбцов и матриц)Векторное пространство Hom(F^n,F^m) изоморфно пространству матриц Μ(mxn)(F)Доказательство:Построим отображение Ф M(mxn)(F) → Hom(F^n,F^m)A → φA где:φA: F^n → F^mφA(v)=A*v, v∈F^nДокажем что φA линейно:φΑ(αv1+βv2)=αφΑ(v1)+βφΑ(v2)Но A*((αv1+βv2))=α*Α(v1)+β*Α(v2), что верно ввиду дистрибутивности и свойств умноженияматриц на скаляр.Значит отображение определено корректно.Покажем что Ф биективно и линейно:Покажем что Ф инъективно, для этого посчитаем Ker(Ф):Пусть Α∈Ker(Ф) Тогда Ф(А)=φΑ=0.
Покажем что А=0Пусть А=(а11, … а1n…………am1 … amn) Тогда для любого x∈F^n A*x=0Возьмем x1=(0….1)T, x2=(0,1….0)T… xn=(0….1)ΤЗаметим что так-как А*x1=0, то первый столбец А=0Продолжая таким образом, получаем что матрица А=0Докажем что Ф— сюръективно <=> для любого φ∈Hom(F^n,F^m) существуетΑ∈Μ(mxn)(F):φ=φΑВозьмем φ(x1) -и запишем в первый столбец матрицы А, во второй запишем φ(x2).
Такимобразом заполним все столбцы. Из рассуждений выше понятно что φ(Α)=φ(e1,e2...en)=φДокажем линейность:Ф(αΑ+βΒ)=αΦ(Α)+β(Φ(Β)). ввиду свойств матриц получаем что левая часть равна Α(αv+βv)==αΑ(v)+β(Β(v) (дистрибутивность и возможность «вынести» скаляр), что равно правой части,после применения к ней Ф.Утверждение доказано.Из этого имеем что теорема доказана.Следствие 3.8.1Пусть dim(V)=m, dim(W)=nТогда Hom(V,W) изоморфно матрицам Μ(mxn)(F)Доказательство:Пусть φ: V→ W,τ: V → F^n.ρ: W → F^mЗаметим что τ,ρ — изоморфизмы (любой вектор можно перевести в вектор вида [α1,α2...ακ] егокоэффициентов.)Тогда отображение F^n→ F^m =ρ(φ(τ^-1))=Ψ(φ) (отображения применяются справа налево)Заметим что как комбинация линейных отображений Ψ(φ) — линейные и, как следствие, задаютпространство Hom(F^n → F^m)Но тогда Ηοm(V,W) изоморфно Hom(F^n,F^m) (Поскольку каждому отображению Ψединственным образом соответствует отображение φ).Но по теореме 3.8 Ηοm(F^n, F^m) изоморфно пространству матриц Μ(mxn)(F).
Таким образомпо суперпозиции изоморфизмов заметим что Hom(V,W) → M(mxn)(F).Следствие доказано.Из этого следствия следует что каждому линейному отображению V→ W можно сопоставитьматрицу. Этим мотивируется следующее определение:Матрица линейного отображения в данных базисахОпределение 3.17Пусть V, W — в.п. с базисами (v1,..vn), (w1...wm) соответственноЗаметим тогда что можно построить изоморфизмы τ:V → F^n, ρ: W → F^m (вектор → вектор егокоэффициентов). Тогда ρ(φ(τ^-1))=Ψ(φ)∈Hom(F^n,F^m)Тогда Матрица А=Ф^-1(ρφτ^-1)∈Μ(mxn)(F) (Ф — отображение Ηom(V,W) → M(mxn)(F) изтеоремы 3.8)называется матрицей отображения φ: V → W.в базисах v1...vn, w1...wm.(Обозначается [φ](v1...vn)(w1...wm), если базис один и тот же [φ](v1...vn))Теорема 3.9 (О матрице отображения)Пусть φ: V→ W — линейное отображение конечных в.п над полем Fv1...vn — базис V, w1...wm — базис W.Обозначим А=[φ](v1...vn)(w1...wm)∈M(mxn)(F)Тогда для любого v∈V[φ(v)](w1...wm)=A[v](v1...vn) (Получить отображение можно, умножив матрицу на вектор)Доказательство:Используем отображения τ,ρ из опредения 3.17Пусть базис F^n=e1,...en F^m=e1`...em`Тогда τ(v): a1v1+...anvn → a1e1+...anenЗаметим что φ(v)=a1φ(v1)+...+an(φ(vn))Но φ(v) также представимо в виде b1w1+...bm*wm, что в свою очередь переводитсяотображением ρ в b1e1`+...bm*em`.Таким образом мы можем работать в пространствах F^n → F^m (поскольку изоморфизмы салгебраической точки неразличимы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
