1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Но тогда если занулить 1 столбец с помощью преобразований второго типа мыполучим Αij, что и требовалось.Теорема 3.20 (разложение определителя по столбцу)Пусть А=(a(i,j)) ∈Mn(F). для любого j=1,...n выполняется det(A)=Σ(a(i,j)*A(i,j),i=1 to n).Доказательство:Пусть B=AT=b(ij) (bij)=a(ji)Тогда |Β|=|Α|.Но в таком случае применим теорему 3.19 для j строки и получимΣ(b(j,i)*B(j,i))=Σ(a(i,j)*A(i,j)=det(A), чтд.Теорема 3.21Пусть А, В ∈Mn(F), тогда |ΑΒ|=|Α|*|Β|Доказательство:r(A)< n или r(B)<n.Тогда r(AB)<n => |AB|=0 и |Α|=0 v |B|=0.2)r(A)=r(B)=nA → C — diagBT → D — diag (транспонируем для простоты дальнейших рассуждений)|A|=(-1)^k c1...cn|B|=|BT|=(-1)^g d1...dnC=T1...Tn*AD=S1..Sn*BTDT=B*SnT...S1T (SiT — все еще элементарное преобразование).Но т. к.
D — diag, DT=D => C*D=T1...Tn*A*B*SnT...S1T|C*D|=c1*d1*c2*d2..cn*dn|T1...Tn*A*B*SnT...S1T|=(-1)^(k+g)*|AB|Но заметим что |Α|*|Β|= (-1)^k*c1...cn*(-1)^g*d1...dn. Таким образом мы получили требуемоеравенство.Определение 3.39Для любой квадратной матрицы А∈Mn(F) построим матрицу B=(b(i,j)), где b(i,j)=A(j,i). МатрицаxB называется присоединенной для матрицы А и обозначается А .Теорема 3.22 (О нахождении обратной матрицы)xПусть А∈Mn(F), det(A)≠0. Тогда А^(-1)=А /det(A)Доказательство:Заметим что A*A^-1=E и det(A*A^-1)= det(A)*det(A^-1)=det(E)=1xДокажем что Α*А =det(A)*E (таким образом домножив слева на матрицу Α^-1 мы получимтребуемое равенство).xОбозначим Α*А =C=(c(i,j)), где c(i,j)=sum(k=1 to n, aik*bkj)=sum(k=1 to n, aik*Ajk), что равноdet A при i=j и 0 в остальных случаях.
Докажем вторую часть этого утверждения (Первая частьверна ввиду того что aik*Ajk в этом случае как раз является формулой определителя). Пусть i=1,j=2. Тогда c(1,2)=sum(k=1 to n, a1k*A2k). Рассмотрим D — матрицу A с двумя повторяющимисястрочками. Тогда det(D)=0, но он также равен, если разложить его по второй строке,а11*А21+а12*А22+...=sum(k=1 to n,a1k*bk2)=c(1,2)(т.е c12)=det(D)=0 => c12=0. Аналогичным образом показывается что и все остальные cij при i≠j=0.Следствие 3.22 (Формулы Крамера)Пусть Ax=B — квадратная невырожденная система линейных уравнений (в которой числоуравнений совпадает с числом неизвестных).Тогда xi=det(A(1),..A(i-1),B,A(i+1),..A(n))/det(A)Доказательство:Поскольку система невырожденная, то det(A)≠0 и существует обратная матрица.
Домножив нанее получим что x=A^-1*B => xi=A(i)^(-1)*b=1/det(A)*(A1i,...Ani)*(b1,..bn)T=1/det(A)*sum(j=1to n, Aji*bj) (из теоремы 3.22)Но тогда заметим что det(A(1),..A(i-1),B,A(i+1),..A(n)), если раскладывать его по столбцу b равенb1*A1i+b2*A2i...bn*Ani=sum(j=1 to n, Aji*bj) то есть то же самое что мы получили ранее. Чтд.Определение 3.40Пусть А∈M(mxn)(F). Тогда для некоторых строк i1,...ik и столбцов j1,...jk минором порядка kназывается определитель квадратной матрицы, состоящей из элементов стоящих на пересечениистрок i1...ik, и столбцов j1..jk.Строки и столбцы матрицы, проходчщие через нулевой минор линейно независимы (если мы неможем выразить часть строки/cтолбца как линейную комбинацию других, то мы не можемвыразить и саму строку/столбец.Минор k порядка называется базисным если он не равен нулю, но любой другой минорбольшего порядка равен 0.Теорема 3.23Ранг матрицы равен r тогда и только тогда когда в матрице А найдется базисный минор порядкаr,=>Поскольку ранг матрицы равен r то в ней есть r линейно независимых строк.
Возьмем их иудалим все остальные. Также из равенства столбцевого и строкового рангов имеем что у нас естьr линейно независимых столбцов. Аналогично вычеркиваем все кроме них. Таким образом мыполучили квадратную матрицу rxr с ненулевым определителем, то есть базисный минор порядкаr (мы не можем добавить еще строку или столбец по построению, иначе минор будет нулевой)<=Заметим что если у нас есть базисный минор порядка r то в самой матрице А есть хотя бы rнезависимых столбцов т.е r(A)>=r, но если r(A)>r то мы пользуясь первым утверждением этойтеоремы могли получить ненулевой минор порядка r(A).
Но так как исходный минор базисныйполучаем противоречие. Значит r(A)=r.Определение 3.41Пусть i,j — строка и столбец, не лежащие в миноре i1,...ik, j1..jk. Тогда минор i,i1..ik, j,j1..jkназывается окаймляющим для исходного минора.Определение 3.42Минор называется максимальным ненулевым, если он ненулевой, но любой окаймляющий егоминор равен нулю.Теорема 3.24 (Об окаймляющем миноре)Минор является базисным <=> минор максимальный ненулевой.Доказательство:=>Базисный минор по определению максимально ненулевой( так как сам он ненулевой и любойминор порядка большего чем он нулевой)<=Рассмотрим максимальный ненулевой минор M(a1..ak,j1...jk).Рассмотрим его столбцы А(1), … Α(k). Так как они проходят через ненулевой минор то онилинейно независимы.
Тогда докажем что любой столбец А` матрицы А представим в виделинейной комбинации этих столбцов (из этого следует искомое утверждение).Пусть j — столбец, не входящий в этот минор. Также рассмотрим строку i, также не входящую вминор.Рассмотрим матрицу в которой между столбцов j(t-1) и jt стоит столбец j а между i(l-1) и il стоитi.Тогда если i не равно ни одному из i1..ik то минор равен 0 (т. к. исходный минор максимальныйненулевой)иначе ввиду кососимметричности определитель также равен 0.Приведем столбец j на самое правое место, а строку i сделаем последней. Тогда определительполучившейся матрицы все еще равен 0 (преобразования Ι типа меняют знак определителя, ноон равен 0) и разложим определитель по последней строке.0=sum(p=1 to k, (aij)p*C(k+1)p)+aij*M(i1,...ik,j1,..jk), где коэффиценты C не зависят от i (C(k+1,p)— алгебраическое дополнение по k+1 строке, в которой находится строка i, но вырезаяпоследний столбец и последнюю строку( так как мы по ней раскладываем) мы получимисходный минор).Из этой формулы можно вывести aij.
Таким образом aij выражается в виде линейнойкомбинации aij1,..aijk . Тогда обозначим αjp как -sum(C(k+1)p/M(i1,...ik,j1,..jk),p=1 to k)(коэффицент при aijp.. Тогда А(j) равен линейной комбинации исходных столбцов, а именноA(j)=sum(αjp*A(jp), p=1 to k), что и требовалось.Тема 4Группы, кольца, поляОпределение 4.1n-арной алгебраической операцией на множестве Α (n∈N) называется отображение f: A^n → A.Например n=1 f: A → A — унарная операцияn=2 f: AxA → A — бинарная операция.Алгебраической системой (алгеброй) называется непустое множество с набором алгебраическихопераций: (A,(fi),i∈I), где А — непустое множество , fi i-арные алгебраические операции.Набор арностей (ni),i∈I:={(ni,i)|i∈I} называется типом алгебраической системы.Например (Ν;+); (N;*); (Z;+,*); (Q\{0};*); (Q;+); (Mn(F);+,*)Векторное пространство V над полем F можно рассматривать как алгебраическую систему.(V;+,a`, a∈F) , где +: VxV → V, а:V → V — умножение на скаляр a (Здесь а` обозначаетбесконечное множество операций, так как каждый скаляр является в таком пониманииотдельной операцией).ПолугруппыОпределение 4.2Полугруппой называется алгебраическая система (А;*) с одной бинарной операцией *:AxA → Aудовлетворяющей аксиоме ассоциативности: (a*b)*c=a*(b*c)Если a*b=b*a для всех a,b∈A, то полугруппа называется коммутативной.Например Hom(V,V) с операцией суперпозиции будет являться полугруппой.
Также ей будетявляться множество всех слов алфавита А с операцией конкатенации (см. конспекты поДискретной математике).Определение 4.3Пусть А`=(А;(fi)i∈I) и B`= (B;(gi)i∈I) — алгебраические системы одного типа (ni)i∈I.Отображение φ: A→ B называется гомоморфизмом, если оно является линейным по всемоперациям, иными словами φ(fi(a1,...ai)=gi(φ(a1),..φ(ai)) для всех i∈I, aj∈A.Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.Например две полугруппы (A;*), (B;o) — две полугруппы.
Отображение φ:A → B называетсягомоморфизмом полугрупп если φ(a*b)=φ(a) o φ(b) для любых a,b∈A.Например φ(x)=x является гомоморфизмом между (N;+) и (Ζ;+), а φ(x)=det(x) Переводит(Mn(F),*) в (F,*)Отображение векторных пространств является гомоморфизмом только когда оно являетсялинейным т.е φ(a+b)=φ(a) + φ(b) и φ(α`(a*b))=α`φ(a)Определение 4.4Пусть X — непустое множество. Определим понятие терма на множестве X:1)x∈Х — терм.2)Если t1, t2 — термы, то (t1*t2) — терм.3)Других термов нет.Обозначим через Μ(x) множество всех термов.((x*y)*((z*x)*y)), (((x*y)*z)*(x*y)), (((x*(y*z))*x)*y) — различные термы.Утверждение 4.1Определим отображение s:M(X) → X* («стирание скобок») индукцией по длине терма:Если t=x∈X, то s(x)=x∈XЕсли t=(t1*t2) то s(t)=s(t1) o s(t2) — конкатенация слов.Назовем термы эквивалентными если s(t1)=s(t2)Тогда пусть Χ — непустое множество.
(А;*) - полугруппа.α: X → A — отображение множеств.Для любого t∈M(X) определим α(t)∈A — значение терма t в полугруппе А индукцией по длинетерма:Если t=x∈X, α(t)=α(x) ∈AЕсли t=(t1*t2), то α(t)=α(t1)*α(t2) ∈AТеорема 4.1 (Об обобщенной ассоциативности)Термы t1 и t2 эквивалентны <=> для любой полугруппы (А, *) и для любого α:X → Aвыполняется равенство α(t1)=α(t2).Доказательство:Χ*=∪X^n (Звезда Клини).<=Заметим что поскольку утверждение верно для любой полугруппы то возьмем <A;*>=<X*; o> иопределим α(t)=t.
В этом случае очевидно из равенства α(t1)=α(t2) следует равенство t1=t2=>Определим φ: Χ^n → A:n=1φ(x)=α(x) и тогда φ(t1)=φ(t2) (по построению α)n-1 → nПусть (x1,...x(n-1)=v и для любого v определено φ. Тогда (x1...xn)=(x1,...x(n-1)) o xn = φ(v)*α(xn)Теперь проверим что построенное отображение — гомоморфизм полугрупп (X*;o), (A;*)То есть докажем что φ(u o v)=φ(u)*φ(v) для любых u∈X^k, v ∈ X^mДокажем это равенство индукцией по m.m=1 φ(u o x)=φ(u)*φ(x), но это тот самый случай, разобранный при переходе n-1 → n впостроении φ (φ(u o x)=φ(u)*α(x))m-1 → m.Определим u=(x1,..xk), v=(y1,...ym) Тогда u o v=(x1,...xk,y1,...ym) обозначим (y1,...y(m-1)) как w.Тогда φ(u o v)=φ(u o(w o ym))=φ((u o w) o ym)=φ(u o w)*φ(ym)=φ(u)*φ(w)*φ(ym)=φ(u)*φ(v)(большинство равенств верны по построению φ (случай перехода m-1 → m) а также φ(u ow)=φ(u)*φ(w) по предположению индукции так как |w|=m-1.)Докажем что такой гомоморфизм единственен:Предположим противное: т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
