1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда все смежные классы по подгруппеH содержат одинаковое число элементов, равное порядку подгруппы H: |aH|=|H|=|Ha| для всехa ∈GДоказательство:Построим отображение φ: H → aH, h∈H → ahДокажем, что оно биективно, для этого для начала докажем инъективность:пусть h1≠h2 но ah1=ah2. Умножив на a^(-1) слева получаем противоречие.Сюръективность показывается тем, что существует такой k что k*h=ah, k=a.Аналогичными рассуждениями строится отображение τ: H → Ha.Следствие 4.7.1 (Теорема Лагранжа)Если <G,*> - конечная группа, H≤G, то |H| делит |G|Доказательство:Заметим, что поскольку все классы эквивалентности не пересекаются и на них, и H можноразбить всю G то |G|=k*|aH|+|H|+|Ha|*t, но по ранее доказанному мы имеем |G|=p|H|.Тогда можно заметить что p — количество классов эквивалентности.
Это число называетсяиндекс G по H и обозначается [G:H]Следствие 4.7.2Если G — конечная группа, a∈G, то |a| делит |G|Доказательство: (Шта)|a|=|<a>| => делит |G|Нормальные подгруппыОпределение 4.17Пусть G - группа H≤GПодгруппа H называется нормальной в G, если h^x=x^(-1)*h*x∈H для всех h∈H, x∈G.Обозначение Η◀GПредложение 4.3Подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда левый и правый смежные классылюбого элемента x∈G по H совпадаютΗ◀G <=>xH=Hx, x∈GДоказательство:=>Докажем равенство также в обе стороны:Пусть h∈H. Тогда имеем что x^(-1)*h*x∈H, возьмем его за h1. Но тогда xh1=x*x^(-1)*h*x=h*x.Аналогично доказывается в обратную сторону.<=Пусть xH=HxПусть h∈H.
Тогда заметим что hx∈Hx=xH, значит существует такой h1∈H что hx=xh1,домножив слева на x^(-1) получаем что x^(-1)*h*x=h1∈H, что и требовалось.УтверждениеПусть H — нормальная подгруппа в группе G. Обозначим через G/H множество смежныхклассов по H:G/H = {aH|a∈G}. Определим на G/H бинарную операцию по правилу (aH)(bH)=(ab)H, a,b∈GОперация определена корректноДоказательство:А теперь докажем что если [a]=[a1] и [b]=[b1] то [ab]=[a1b1] То есть a1*a(^-1)∈H, b^(-1)*b1∈Hнам в таком случае требуется доказать что (a*b)^(-1)*(a1*b1)∈H Но несложнымипреобразованиями b^(-1)*a^(-1)*a1*b*b^(-1)*b1, что и требовалось.Определение 4.18Множество G/H={aH|a∈G} с операцией (aH)(bH)=(ab)H является группой, которая называетсяфактор-группой G по H.Напомним что если G1, G2 — группы, а φ: G1 → G2 — гомоморфизм этих групп, то ядромгомоморфизма φ называется множество всех таких элементов a∈G1, что φ(a)=e∈G2 (единичныйэлемент)Теорема 4.81)Ядро любого гомоморфизма — нормальная подгруппа в G12)Любая нормальная подгруппа — ядро некоторого гомоморфизма из G1 в какую то группу G2.Доказательство:1)Покажем сначала, что ядро является подгруппой, иными словами нужно показать что еслиa,b∈Ker(φ), то a*b^(-1)∈Ker(φ) но тогда заметим что φ(a*b^(-1))=φ(a)*φ(b^(-1))=e*e=e.Докажем теперь, что подгруппа является нормальной:Пусть h∈Ker(φ), x∈G1Докажем что h^x=x^(-1)*h*x∈Ker(φ).
Имеем что φ(x^(-1)*h*x)=φ(x^(-1))*φ(h)*φ(x)=φ(x^1)*e*φ(x)=φ(x^(-1)*x)=φ(e`)=e (поскольку единичный элемент всегда переходит в единичный)2)Пусть K◀G1. Докажем что K=Ker(φ), где φ — отображение из G1 в какую то G2.Возьмем в качестве G2 G1\K и построим φ:G1 → G1\K таким образом что g∈G1 → gK.Докажем, что φ гомоморфизм и Κ =Ker(φ). Покажем что φ(g1*g2)=φ(g1)*φ(g2) то есть(g1g2)K=g1K*g2K (По определению умножения hK). Докажем теперь, что K =Κer(φ)Пусть k∈K. Тогда заметим что kK=φ(k)=1K <=>k∈KТеорема 4.9 (Теорема о гоморфизмах для групп)Пусть G1, G2 — группы φ: G1 → G2 — гомоморфизм. Тогда φ(G1) является подгруппой в G2причем φ(G1) изоморфно G1/Ker(φ)Доказательство:τ: a+Ker(φ) → φ(a) — искомый изоморфизм.
Достаточно доказать его корректность,биективность и линейность. (Я сам еще не доказал, тут нужно проверить, но вроде оно)КольцаДалее очень часто будет встречаться символ R. Поскольку вещественные числа в этомразделе встречаются не часто то им по умолчанию обозначается кольцо.Определение 4.19Пусть <R, +,*> - алгебраическая система с двумя бинарными операциями.+: RxR → R (a,b) → a+b*:RxR → R (a,b) → a*b=ab<R, +, *> называется (ассоциативным) кольцом, если• По одной из операций является абелевой группой (чаще всего для +)• По другой операции является полугруппой (чаще всего в таком амплуа используют *)• Выполнены тождества левой и правой дистрибутивности a*(b+c)=a*b+a*c,(a+b)*c=a*c+b*cЕсли в R существует такой элемент «e» что для любого x ∈ R e*x=x то R называется кольцом сединицей.Если для x,y∈R x*y=y*x, то R называют коммутативным кольцом.Далее будем опускать символ умноженияПростейшие свойства колец:a0=0a=0 для всех a∈RДоказательство: a0=a(0+0)=a0+a0; 0=a0-(a0)=a0+a0-(a0)=a0+0 => a0=0.
Аналогично для 0а(-a)b=a(-b)=-(ab)ДоказательствоДокажем что (-a)b+ab=0 b(a-a)=0 a-a=0 b*0=0 по ранее доказанному. Аналогично для обратногоПример Пусть M — множество, <R;+;*> - кольцо. Множество всех отображений f из M в Rявляется кольцом относительно заданных следующим образом операций (f+g)(m)=f(m)+g(m),(fg)(m)=f(m)*g(m), m∈MДоказательство:Достаточно заметить что f(m)∈R, g(m)∈R, но тогда f(m)+g(m)∈R, f(m)*g(m)∈R следовательнодля них выполняются все свойства сложения и умножения из R. ПроверимОпределение 4.20Пусть <R;+;*> - кольцо, S — непустое подмножество R.
Если S является кольцом относительнотех же операций, что и R, то S называется подкольцом R.Лемма 4.7Непустое подмножество S является подкольцом кольца R тогда и только тогда когдаa,b∈S => a-b∈S, ab∈SДоказательство:Можно понимать a-b∈S как a+-b∈S, но в таком случае доказательство аналогично Лемме 4.3Замкнутость по умножению является аксиомой кольца.Определение 4.21Пусть <R;+;*> - кольцо, <S;+`;*`> - другое кольцо.
Если φ: R → S — такое отображение, чтоφ(a+b)=φ(a)+`φ(b), φ(ab)=φ(a)*` φ(b) для всех a,b∈R, то φ называется гомоморфизмом из кольцаR в кольцо S.Изоморфизм = биективный гомоморфизм. (Кольца изоморфны, если между ними существуетизоморфизм)Лемма 4.8Если φ — гомоморфизм из кольца R в кольцо S, то φ(R) — подкольцо кольца S.Доказательство:Пусть a=φ(i), b=φ(t). Тогда заметим что a-b=φ(i)-`φ(t)=φ(i)+`φ(-t)=φ(i-t)∈φ(R)ab=φ(i)*`φ(t)=φ(i*t)∈φ(R)Определение 4.22Пусть F — некоторое поле.Кольцо <R;+;*> называется алгеброй над полем F, если R дополнительно снабжено унарнымиоперациями α`: R → R, a∈F.
α`: x → αx, x∈R, такими что <R;+;a`> - векторное пространство,операция * → RxR → R является билинейной: (αa)b=α(ab)=a(αb), α∈F, a,b∈R.Например любое поле F — алгебра над самим собой, Μn(F) — алгебра матриц над F.Подалгебра алгебры над полем F: подпространство + подкольцо;Гомоморфизм алгебр над полем F ; линейное отображение + гомоморфизм колец.Определение 4.23Если <R;+;*> - нетривиальное кольцо с единицей 1 и для любого a∈R , a≠0, существуетобратный элемент a^(-1) такой что a*a^(-1)=1 это кольцо называется телом или кольцом сделителем (коммутативное тело =поле)ПримерМножество матриц вида(a, b-b, a) образует подкольцо в М2(R) являющееся полем, это поле изоморфно полю комплексныхчиселОпределение 4.24Пусть <R;+;*> - кольцо.Элемент а∈R называется левым делителем нуля, если a≠0 и существует b∈R, b≠0 такой чтоab=0.Элемент a∈R называется праым делителем нуля если a≠0 и существует b∈R, b≠0 такой что a\ba=0.Говорят, что a — делитель нуля в кольце R, если а является левым или правым делителем нуля вR.Нетривиальное кольцо (не состоящее только из единицы), не содержащее делителей нуля,называется областью целостности.Лемма 4.9Кольцо с делением является областью целостностиДоказательство:Предположим противное:Пусть R — кольцо с делением, пусть ab=0 и при этом a,b≠0.
Тогда заметим что b=a^(-1)*a*b=a^(1)*0=0, противоречие.Определение 4.25Пусть R — кольцо. Рассмотрим множество R[[x]] всех бесконечных последовательностей {an}n,n≥0, an∈R. Каждую такую последовательность запишем в виде формальной бесконечной суммы(формального ряда)a0+a1x+a2x^2+… ai∈R. Символ x называется формальной переменной.Определим операции + и * на множестве R[[x]] для f=a0+a1x+a2x^2+…, g=b0+b1x+b2x^2+…положим f+g=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+…fg=c0+c1x+c2x^2+…, где ck=sum(i=0 to k, ai*b(k-i))Множество R[[x]] относительно введенных операций является кольцом. Построенное кольцоназывается кольцом формальных степенных рядов над кольцом R от переменной x.Если R — коммутативное кольцо с единицей, то R[[x]] — тожеЕсли R — область целостности, то R[[x]] — тожеЕсли R — алгебра над полем F, то R[[x]] — алгебра над полем F`:f=a0+a1x+… => α(f)=αf=αa0+αa1x+…Определение 4.26Подмножество R[[x]], обозначаемое R[x], состоящее из всех тех рядов, в которых содержитсятолько конечное число ненулевых коэффициентов, удовлетворяет условиям Леммы 4.7f=a0+a1x+...anx^n g=b0+b1x+...+bmx^mf-g, fg ∈ R[x].
Следовательно, (R[x];+;*) образует кольцо (подкольцо в R[[x]]).R[x] называется кольцом многочленов над кольцом R от переменной x.Если R — коммутативное кольцо с единицей, то R[x] — тожеЕсли R — область целостности, то R[x] — тожеЕсли R — алгебра над полем F, то R[x] — алгебра над полем F`:Определение 4.27Пусть <R;+;*> - кольцо, I — непустое подмножество R.I называется идеалом кольца R если:• a,b∈I → a+b∈I• a∈I → -a ∈ I• a∈I, x∈R → x*a, a*x∈IОбозначение I◀RМожно заметить что первые два условия обозначают, что I является подгруппой R по сложению,поэтому их можно заменить на условие a,b∈I => a-b∈IПредложение 4.4Пересечение любого семейства идеалов снова является идеалом.ДоказательствоПусть x,y∈⋂IA => для любого А x,y∈IA => x-y∈IA => x-y∈⋂IA. Аналогично с другимтребованием.Определение 4.28Пусть R — кольцо, M — подмножество R.Идеал Ι, порожденный множеством М = пересечение всех идеалов, содержащих M =наименьший, идеал содержащий M (хотя бы один идеал, содержащий M существует так как Rсамо является своим идеалом (называется несобственным идеалом), а также идеалом любогокольца является 0 (называется нулевым))Такой идеал обозначается I=(M)Предложение 4.5Пусть R — коммутативное кольцо с единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
