1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Β линейно выражается через А(1)...А(n) то[1]=[2] и таким образом мы получаем требуемое.<=L(A(1),..A(n),B) = L(A(1),...A(n))Заметим что [2] все еще верно. Тогда размерности пространств совпадают и тогда совпадаютсами пространства.Тогда Β=α1Α(1)+...+αn(A(n)). Тогда v=(α1...αn) => v — решение.Следовательно утверждение доказано.ОпределительОпределение 3.22Отображение f:V1xV2...xVn → W(v1...vn) → f(v1,...vn)называется полилинейным если оно линейно по каждому аргументу (Если фиксировать всепеременные кроме vi и полученное отображение Vi → W f(v1,...vi-1,au+bv,...vn) линейно. (Есливзять все остальные переменные как константы, а одну оставить переменной и отображениебудет линейно.
И так с каждым пространством)Пример: Скалярное произведение (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w); (w, au+bv)= a(u,w)+ b(u,v)Определение 3.33Полилинейное отображение называется кососимметрическим если ((vi=vj) ^(i≠j)) => f(v1,..vn)=0Определение 3.34Отображение D называется нормированным если D(E)=1Определение 3.35 (Определитель)Функция D: Mn(F) → F обладает свойствами определителя если D как функция строк матрицыявляется полилинейной, кососимметрической и нормированной.Лемма 3.9 (О свойстве кососимметричности)Значение кососимметричного отображения меняет знак при перестановке двух аргументовДоказательство:Рассмотрим f(v1,...vi+vj,...vi+vj,..vn)=0 (ввиду кососимметричности), при этом никакие другиестроки не совпадают. Но по полилинейности это равно f(v1,...vi,...vi+vj,...vn)+f(v1,...vj,...vi+vj,...vn), что в свою очередь равно f(v1...vi...vi...vn)+f(v1...vj...vi...vn)+f(v1...vi...vj...vn)+f(v1,...vj,...vj,...vn)(также по полилинейности).
Заметим что 1 и 4 слагаемые покососимметричности равны 0, а 2 и 3 слагаемое в сумме дают 0 => различаются знаком (неравны нулю, так как мы потребовали это ранее). Но они являются значениями отображения спереставленными аргументами, что и требовалось.Простейшие свойства функции, D(Mn(F)) → F, обладающей свойствами определителя:1)Если Α` получается из А э.п. строк Ι типа то D(A`)=-D(A)(напрямую следует из Леммы 3.8)2)Если Α` получается из А э.п.
строк ΙΙ типа то D(A`)=D(A)Доказательство:D(A`)=D(A(1),A(2)...A(i)+αА(j)...A(j)...A(n))=D(A(1),...A(i),...A(j)...A(n))+α*D(A(1)...A(j)...A(j)...A(n)) (ввиду полилинейности). Заметим что ввиду кососимметричностивторое слагаемое =0 из чего получаем доказываемое равенство.3)Если в А хоть одна строка нулевая, то D(A)=0Доказательство:D(Α(1),...0,...Α(n))=D(Α(1),...0*0,...Α(n))=0*D(Α(1),...0,...Α(n))=0Второй вариант:D(Α(1),...0,...Α(n))=D(A(1),...0,...A(n))+D(A(1),...0...A(n))Тогда замечаем что x=2x => x=04)Если r(A)<n, то D(A)=0Доказательство:Если r(A)<n то в ней есть хотя бы одна строка, выражаемая через другие.
При приведении кступенчатому виду эта строка обратится в нулевую, а по следствию 3 в таком случае D(A)=05)Если Β=diag(b1,...bn) то D(B)=b1*...*bnДоказательство:D(b1e1,...bnen)=b1*D(e1,b2e2,...bnen)=...=b1*...*bn*(D(e1,…,en))=b1*...*bn (мы можем вынестискаляры из за полилинейности и ввиду нормированности определитель получившейся справаматрицы Ε=1)6)Если r(A)=n то А → … → C=diag(c1,...cn) (элементарными преобразованиями строк Ι иΙΙ типа) и при этом D(A)=(-1)^k*c1*...*cn, k — количество э.п. первого типа.Приведем матрицу к ступенчатому виду, поскольку ранг матрицы=n то в ней все строкиненулевые, тогда n строкой зануляем n столбец, n-1 — n-1-ый и так далее.Теорема 3.15 (Существование определителя)Для любого n>=1 существует функция Dn: Mn(F) → F, обладающая свойствами определителя.Доказательство:Докажем индукцией по nn=1 A=a11 D1(A)=a11. Очевидно нормированная, Полилинейность также верна:D(a*v+b*u)=a*v+b*u=a*D(v)+b*D(u).
Кососимметричность проверять нет нужды, т.к. всего однастрока.База доказанаПусть Верно для D(n-1), докажем для DnОбозначим Μi матрицу, получающуюся удалением из А первого столбца и 1 строки и зададимDn(A)=Σ(k=1,n) (-1)^(k+1), ak1*D(n-1)(Mk)[*]Проверим что Dn полиномиальноПусть А`=(Α(1)+...αΑ(i)+βΒ(i)...A(n)), где Α(i) — i строка АДокажем, что Dn(A`)=α*Dn(A(1)...Ai...An)+β*Dn(A(1)+...Β(i)+...Α(n))В то же время D(A`)=(-1)^2*a11*D(n-1)(M1)+...+(αai1 + βbi1)*(-1)^(i+1)*Μi+...(-1)^n+1*an1*D(n1)Mn. Заметим, что, по предположению индукции, Каждая матрица, кроме Mi(A`)раскладывается на две матрицы (-1)^(k+1)*ak1*(α*D(n-1)Mk+β*D(n-1)Mk). ТогдаD(A`)=α*sum(k=1 to n, ak1*(-1)^(k+1)*D(n-1)Mk) +β*sum(k=1 to n, ak1*(-1)^(k+1)*D(n-1)Mk) (Μiне раскладывается, но при нем уже имеет нужные множители в виде первого элемента (вовтором слагаемом последней суммы у i строки ak1=bi1, но это не портит формулу, так как намтребуется как раз такое равенство, но в формулу его вписывать неудобно).
Таким образомполучим как раз нужную нам формулу (α*Dn(A(1….Ai….An)+β*Dn(A(1),...B(i),...B(n)), что итребовалось.Проверим косоcимметричность:Пусть в Α A(i)=A(j), i≠j. Тогда по предположению индукции в [*] все элементы суммы кроме какпри k=i и k=j. Равны 0 Т.к. Μk кососимметричны (по предположению индукции) и имеют двеодинаковых строчки.Таким образом получаем D(A)=ai*(-1)^(i+1)*J+aj*(-1)^j+1*I, где Ι=J с точностью до позицииодной строки. (Одна из двух совпадающих строк была выкинута в каждой из этих матриц).Заметим также что ai=aj так-как 1 элемент в одинаковых строчках очевидно одинаковый.Передвинем с j позиции строку на позицию i (без ограничения можно считать что i>j). для этогоприменим к матрице А j-i+1 преобразований первого типа.
Таким образом получимсовпадающие матрицы Ι и D(A)=ai*(-1)^i+1*J+ai*(-1)^j+1-(j-i+1)*J=ai*(-1)^(i+1)*J+ai*(1)^i*J=ai*I*(-1)i(-1+1)=0 Чтд.Проверим нормированность:Пусть Аn=En. Покажем что D(An)=1. Заметим что в нашей формуле [*] все слагаемые кроме 1будут равны 0, так-как a1i=0, i≠1.Тогда имеем a11*(-1)^2*D(M(1)), но a11=1 а D(M(1)) по предположению индукции =1следовательно произведение=1.Таким образом мы доказали существование искомой функции.Теорема 3.16 (О единственности определителя)Для любого n существует только одна функция D: Mn(F) → F, Обладающая свойствамиопределителя.Доказательство:Предположим противное:Найдутся D1≠D2 со своими определителями:D1,D2:F1x...Fk → FmЕсли D1≠D2 не совпадают, то найдется такая матрица А что D1(A)≠D2(A)Тогда приведем А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.Рассмотрим два возможных случая:1)Пусть r(A)<n => D1(A)=0=D2(A) (из свойства определителя).
Получаем противоречие2)Пусть r(A)=n тогда А можно привести к диагональной матрице С=(с1,с2….сn) элементарнымипреобразованиями строк. Тогда ни один определитель не изменится. Но по свойству фукнции,обладающей свойствами определителя D1(A)=c1*c2*...cn=D2(A). Получаем противоречиеТаким образом мы получили противоречие в каждом из возможных случаев, значит исходноепредположение не верно.Определение 3.36Матрица А∈Mn(F) называется вырожденной, если det=0, в противном случае А —невырожденная матрица.Также можно заметить что вырожденность матрицы <=> r(A)<nНевырожденность же <=> r(A)=nОпределение 3.37Матрица А∈Μn(F) называется блочно-диагональной, если она имеет вид А1, А2,...Аk, гдеАi∈Mni(F), n1+...nk=nПредложение 3.9Определитель блочно-диагональной матрицы равен произведению блоков.Доказательство:Так как матрица является диагональной, то ее определитель равен произведению диагональныхэлементов, но так как они являются матрицами, то определитель равен произведениюопределителей.Теорема 3.17 (О элементарных преобразованиях столбцов и определителе)Пусть А, Β ∈Μn(F)1)Если Β получена из А элементарным преобразованием столбцов 1 типа, то det B= -det A.2)Если Β получена из А элементарными преобразованиями столбцов второго типа тоdet B= det A(Иными словами, преобразования столбцов действуют аналогично преобразованиям строк)Доказательство:1)r(A)<n тогда det (A)=0 но так как элементарные преобразования не меняют ранг то det(B)=0.2)r(A)=nТогда элементарными преобразованиями строк можем привести А к диагональной матрице С,или же T1...Tk*A=C Τ1...Τk — элементарные преобразования строк.
Тогда определитель будетиметь вид (-1)^g*c1*..cn g — количество преобразований Ι типаПо условию Β=ΑTТогда Т1...Τk*B=CTРассмотрим тогда 2 вида возможных элементарных преобразований:1)Τ=S(i,j) (1 типа)Тогда если C имеет вид c1, с2… ci, … cj, ..cn), то CT переставляет i и j столбцы местами, такимобразом сj стоит на позиции (i,j) и ci наоборот. Но заметим что если поменять местами i и jстроки то мы получим матрицу С.Таким образом Τ`CT=C|A|=(-1)^g*CB=ATT1...Tk*AT=CTT`*T1..*Tk*B=T`CT=CНо тогда |C|=(-1)^(g+1)*|B| (добавилось дополнительное преобразование 1 типа).Тогда |B|=|C|*(-1)^(g+1)=-|A|, что и требовалось.2)Τ=Τ(j,i)(a) (2 типа)В таком случае CT получается прибавлением к i столбцу j столбца, умноженного на a (то есть на(j,i) стоит а*cj.Заметим что преобразование строк вида Τ(i,j)(-a*cj/ci)*C*T=C (обращаем acj в ноль).Но тогда Τ1..Tk*A=CT1..Tk*AT=CTT` T1...Tk*A*T=T`*T1...Tk * B=CНо поскольку Τ` - преобразование строк второго типа, то оно не меняет знак определителя и |C|=(-1)^g*|B|, что и требовалось.Теорема 3.18 (О определителе транспонированной матрицы)Для любой матрицы А det(A)=det(AT)Доказательство:1)r(A)=r(AT)<n => |AT|=02)r(A)=nТогда приведем матрицу к диагональной СΤ1..Tk*A=C Но тогда CT=AT*TnT...T1T.Заметим что CT=C и также что Если транспонировать элементарную матрицу, она все ещеостанется элементарной.
Таким образом преобразования строк превратились в преобразованиястолбцов. Но по теореме 3.17 эти матрицы либо меняют знак определителя либо ничего неменяют. Таким образом (-1)^k*|AT|=|C|=(-1)^k*|A| что и требовалось.Определение 3.38Величина А(i,j) (-1)^(i+j) *det(A`) где Α` - матрица А без i строки и j столбца называетсяалгебраическим дополнением места i,j в матрице А.Теорема 3.19 (разложение определителя по строке)Пусть А=(a(i,j)) ∈Mn(F).
для любого i=1,...n выполняется det(A)=Σ(a(i,j)*A(i,j),j=1 to n)Доказательство:i строка матрицы А может быть представлена в виде sum(aij*ej j=1 to n),Таким образом определитель матрицы А может быть записан как[Α1...Αι...Αn]T=[A1,...sum(aij*ej j=1 to n), ..An]TПо свойству полилинейности определителя Имеем sum(aij, j=1 to n)*[A1,...ej,..An]T(В Ι строке на j месте стоит 1)Достаточно показать что получившаяся матрица равна алгебраическому дополнению Α(i,j)/Перенесем единицу на позицию 1:1, для этого нам понадобится i+j преобразований 1 типа. Тогдаимеем (-1)^i+j.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
